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可以根据 f（·）的具体形式给出冲突经济学中出现的五种冲突成功函数，并分析其不同的性质。
如果取
，其中0<<1，萨e（0,0，那么（l.D式可以具体地表示为（仅以参与者1的冲突成功函数为代表进行说明，参与者2的类似，下同）
如果考虑一种更加具有一般性的情况，取
，其中0<μ≤1,μ∈（0,1]，那么参与者1获胜的概率可相应地表示为
这里的参数是具有实际意义的：bi衡量了每单位军事能力的有效性；μ是一个决定系数，它衡量了双方军事能力的相对大小在多大程度上可以转化为冲突成功的概率。由于 f（·）采取了幂函数形式，因此它被称为“幂形式”的冲突技术，但更是由于在（1.4）式中，获胜概率由双方军事能力的比值决定，因此它更多地被称为“比率形式”（ratio form）的冲突成功函数。比率形式的冲突成功函数也是使用最为广泛的函数形式之一，它由戈登·塔洛克（1974,1980）提出，所以有时也称其为塔洛克函数。
不难证明（1.4）式给出的比率形式的冲突成功函数具有这样几个特点：第一，军事能力强的一方并不意味着必然成为冲突的获胜者，只是获胜的可能性较高而已。第二，如果冲突一方的军事能力为0,则他获胜的概率也必然为0。第三，若在两两冲突的博弈中，以比率形式的冲突成功函数确定获胜概率，那么在任何纳什均衡中，至少有一个冲突参与者会选择正的军事能力。第四，获胜概率只决定于双方军事能力的比值，当他们的军事能力扩大相同倍数时，获胜概率不发生变化，因为（1.4）式是零阶齐次的。即如果k为任意常数，则下面的式子成立
第五，当μ≤1时，提高军事能力增加获胜概率的边际回报是递减的。而当μ>1时，在军事能力等于对手之前的一个区间内，提高军事能力的边际回报是递增的；当超过对手军事能力之后，边际回报率开始递减。如图1.1所示。
图1.1 比率形式的冲突成功函数
资料来源：Hirshleifer,J.“The Macrotechnology of Conflict,” Journal of Conflict Resolution ，2000,44（6）:773-792.
如果取
，μ>0,则（1.1）式可以具体表示为
这种形式的冲突成功函数意味着获胜概率由冲突双方军事能力的差值来决定，所以被称为“差分形式”的冲突成功函数，有时也被称为“符号逻辑（logistic）形式”的冲突成功函数。由于双方的获胜概率仅由军事能力的差距决定，因此在一般情况下，双方的军事能力增加相同的程度不会改变他们各自的获胜概率，即
+M1），其（Mμ2e中c是一个任意常数。
类似地，（1.5）式也很容易扩展至冲突双方具有不对称优势的情况。如果
，且μ>0,则有
（1.6）式具有一些与（1.3）式相同或不同的性质：第一，差分形式的冲突成功函数也表明军事能力强的一方不会必然获胜。第二，即使某一方的军事能力为0,他也有可能获胜，这一点不同于比率形式的冲突成功函数。第三，在（1.6）式的设定下，可能一些定义良好的模型不存在纳什均衡。这个特点使得符号逻辑或者差分形式的冲突成功函数不像比率形式的冲突成功函数使用得那么广泛，即使它也具有解析方面的优势。第四，（1.6）式中的参数也具有实际意义，即b1衡量了每单位军事能力的有效性；μ是一个决定系数，表明军事能力转化为冲突胜利的程度。决定系数对双方获胜概率的影响可从图1.2中得以体现。图1.2中，参与者1提高军事能力的边际回报（获胜概率）在
之前是递增的，随后，边际回报递减。后一个特征反映了战争的一个“典型事实”——如果己方军备投入比敌手稍微多一点，那么胜利的可能性就大得多。
图1.2 差分形式的冲突成功函数
资料来源：Hirshleifer,J.“The Macrotechnology of Conflict,” Journal of Conflict Resolution ，2000,44（6）:773-792.
无论在（1.3）式的冲突成功函数中还是在（1.6）式的冲突成功函数中，关于决定系数μ，下面三条性质都是成立的：
第一，决定系数越低，参与者可能越会倾向于选择以和平方式解决分歧，或者总会降低冲突的强度。
第二，决定系数越低，冲突双方在军备投入上的差异对最终结果的影响越小。有时甚至会出现军备投入少的一方获胜概率更大，或者在最终产出中占更大份额的现象。
第三，决定系数越高，冲突双方在军备投入上微小的差异所造成的获胜结果的差异越大，优势越会向较强大的一方倾斜。
如果冲突成功的概率主要由双方军事能力的“差分”决定，那么下面的（1.7）式可能是更为直观的一种差分形式的冲突成功函数。
其中，α∈（0,1），并且
和
必须满足一定的约束条件使得
。
虽然（1.7）式并不符合（1.1）式所规定的一般形式，但在竞赛理论中也有一定的应用，如柏克（Baik,1998）、车和盖尔（Che and Gale,2000），什卡佩尔达斯和韦德亚（Skaperdas and Vaidya,2010）以及考库和达赫姆（Corchon and Dahm,2010）的研究。
阿麦盖石（Amegashie,2006）提出了另外一种形式的冲突成功函数。在（1.1）式中，令
，则新形式的冲突成功函数为
。或者更一般地，令
，且a,b>0,则参与者1获胜的概率为
（1.8）式与比率形式的冲突成功函数（1.3）式非常相似，因为当（1.8）式中的参数b=0时，它就变成了（1.3）式。因此，比率形式的冲突成功函数实际上就是阿麦盖石（2006）构造的函数的特例。尽管阿麦盖石（2006）的研究目的是从理论分析的角度给出一种性质更好、更便于求解的冲突成功函数，但他并没有给出参数b的具体经济含义，只是根据达斯古帕塔和恩梯（Dasgupta and Nti,1998）所讨论的竞赛模型，把它称为“噪声”。但我们确实可以通过对（1.8）式性质的分析，给出对b的解释，并描述（1.8）式可能的适用情况。
不妨令
，它是冲突双方军事能力的平均值。可以发现，在（1.8）式所代表的两两冲突中，超过平均军事能力的一方获胜的概率超过二分之一，而低于平均军事能力的一方获胜的概率低于二分之一，即
而且当军事能力低于平均水平时，“噪声”越大，参与者获胜的概率越大；当军事能力高于平均水平时，“噪声”越大，参与者获胜的概率越小；而当“噪声”足够大时，双方获胜的概率将趋近于1/2,而双方的军事能力对比将不再对是否获胜发挥作用。这些性质可以通过下面的几个式子表示出来：
根据上面对（1.8）式性质的描述，我们可以把参数b解释为冲突成功的概率对单个参与者军事能力的敏感程度。b越小，冲突成功函数对军事能力的敏感程度越高，也就是冲突成功概率主要由参与者的军事能力来决定;b越大，这种冲突的技术就越偏向于军事能力较弱的参与者；而当b→∞时，根据
法则，在两方冲突的情况下
，在有N个参与者的冲突中，
，也就是在冲突中获胜的概率完全取决于参与者的运气，无论每个参与者的军事能力如何，他们获胜的概率都相同。
（1.8）式所示的冲突成功函数与比率形式的冲突成功函数还有一个不同之处，即（1.8）式是非齐次函数。
由此可以看出，该函数并不满足齐次的性质。而且，如果假设b>0,λ>1,那么当
时，
。也就是，当参与者1和参与者2的军事能力分别扩大相同的倍数时，参与者2军事能力的变化相对于参与者1而言是更加有效的。
当b≠0时，即使某个参与者i的军事能力为0,其他参与者的军事能力全部大于0,参与者i也仍然有可能在冲突中获胜。如格罗斯曼和金（1995）的研究指出，如果进攻性武器不是那么有效的话，则可能会出现这种情况。在有第三方干预的情况下，也可能会出现这种情况。
到目前为止，我们所讨论的冲突成功函数满足所有参与者获胜概率之和为1的性质。但是在某种情况下，平局或僵局可能是一个合理的结果。为了能够包含这种情况，下面对（1.1）式做适当扩展：
这里s的具体数值没有任何特殊含义，因为如果我们用任意正数乘以（1.12）式的分子和分母，那么将会得到一个等价的函数形式。解释（1.12）式含义的一种方法是考虑第三方干预，比如说“自然”，它拥有恒定数量的“军事能力”。当自然“获胜”时，就出现了平局。不难得到，平局出现的概率为
。
在冲突经济学中最常用的冲突成功函数有两种类型——比率形式和符号逻辑/差分形式。而其他三种冲突成功函数可能更加符合某种特定的情景，因此也有着较多的应用。我们在本章其余部分重点分析比率形式和差分形式的冲突成功函数。