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数学通常被人们，尤其是数学家们，看作是科学中的女王，而作为女王，她自然要尽量避免屈就于其他学科。举例来说，希尔伯特在参加一次“纯数学与应用数学联合大会”时，受邀发表一次公开演讲，以打破这两派数学家之间的敌对状态，他是这样说的：
“经常有人说纯数学和应用数学是彼此相对的。这句话不对，纯数学和应用数学并不是互相对立的，这两者之前没有互相对立过，以后也不会互相对立，这是因为纯数学和应用数学之间没有任何共同点，根本没有可比性。”
虽然数学家们希望保持数学的纯粹性，对其他学科敬谢不敏，但是其他学科，尤其是物理学却颇为青睐数学，竭力与其建立“友好关系”。事实上，现在纯数学的每一个分支几乎都被用来解释物理宇宙中的这个或那个特性。其中包括抽象群理论、非交换代数、非欧几何这种一直被认为是绝对纯粹，不会有任何实用性的科目。
然而，迄今为止，数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用，简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”（这里指整数），数学中最古老的分支之一，也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。
不可思议的是，作为数学中最纯粹的一部分，数论从某个方面来说却可以被称为一门经验科学甚至是一门实验科学。事实上，数论中的大部分定理都是人们在处理不同的数字问题时构思出来的，正如物理学中的定律是人们处理与实物相关的问题得到的成果。而且也像物理学一样，数论中的一些定理已经“从数学的角度”得到了证实，还有一些却仍停留在纯经验阶段，挑战着最优秀的数学家的大脑。
以质数问题为例，所谓质数，就是不能用两个或两个以上比其更小的数字的乘积来表达的数字。像1，2，3，5，7等这样的数就是质数，而12就不是质数，因为12可以被写成2×2×3。
质数的数量是无限的，还是存在一个最大质数，所有比之大的数都可以用我们已知的几个质数的乘积来表示？这个问题是欧几里得
最早提出并研究的，他给出了一个简洁明了的论证方法，证明了质数的数量是无穷的，因此并不存在所谓的“最大质数”。
为了验证这个问题，我们假设所有已知质数的数量是有限的，并用字母N来表示已知的最大质数，现在让我们计算所有已知质数的乘积并加1，用以下算式表示：
(1×2×3×5×7×11×13×…×N)+1
这个数当然比我们所提出的最大质数N要大得多，但是，这个数显然不可能被我们已知的任何质数（最大到N，也包括N）整除，因为从它的结构来看，用其他任何质数来除这个数都会留下余数1。
因此，这个数字要么本身就是个质数，要么就必须能被比N还大的质数整除，但这两种情况都与我们最开始的假设“N为已知的最大质数”相矛盾。
这种检验方法叫作归谬法，也叫反证法，是数学家们最喜欢用的方法之一。
既然我们已经知道质数的数目是无穷的，我们就要自问，是否有什么简便方法能把所有的质数一个不落地挨个写下来呢？古希腊哲学家兼数学家埃拉托斯特尼
最早提出了能做到这一点的方法，被称为“埃拉托斯特尼筛法”。你需要做的就是写下完整的整数序列，1，2，3，4等，然后删掉其中所有的2的倍数，再删掉所有3的倍数、5的倍数，等等。通过埃拉托斯特尼筛法筛选前100个整数，其中有26个质数。通过用这种简单的筛选法，我们已经得到了10亿以内的所有质数。
但是，如果能提炼出一个只能演算出质数的公式，并且能快速且自动地演算出所有的质数，那就更加简便了。然而经过了多少世纪的努力，人们还是没有得到一个这样的公式。1640年，著名的法国数学家费马
曾以为他推导出了只能算出质数的公式。
在他的公式
中，
n
指代1，2，3，4，…这样的连续自然数。
用这个公式，我们发现：
以上每一个数都是质数。但是自费马的结论公布了一个世纪以后，德国数学家欧拉
发现费马公式的第5个算式
的结果4 294 967 297不是一个质数，而是6 700 417和641的乘积。因此，费马的推算质数的经验公式被证明是错误的。
还有一个可以推算出很多质数的公式也值得一提： n 2 - n +41。
其中， n 也是指1，2，3等这样的数。人们已经证实，当 n 在取1到40之间的数时，以上公式的结果都是质数，然而不幸的是，当 n 取41时，这个公式就失效了：
事实上，(41) 2 -41+41=(41) 2 =41×41，这是一个平方数，而不是质数。
还有一个失败的公式是：
n 2 -79 n +1601
当 n 取79及以下数值时得到的都是质数，但 n 取80时就无效了。
因此，找到一个能只推算出质数的通用公式的问题仍然是一个未解之谜。
数论中还有一个有趣的理论至今既没有被证实也没有被推翻，这就是哥德巴赫1742年提出的“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture），其声称：“任何一个偶数都可以表示成两个质数之和。”以一些简单的数字为例，你不难发现这句话是对的，如12=7+5，24=17+7，32=29+3。虽然数学家们在这个问题上做了大量工作，但还是没能给出一个决定性的证据证明这一陈述是绝对无误的，也没能找出一个反例证明其是错的。就在1931年，苏联数学家施尼勒尔曼
朝着决定性证据迈出了关键性的一步。他成功地证明了“任何一个偶数都可以表示成不超过300 000个质数之和”。再往后，“300 000个质数之和”与“两个质数之和”之间的差距被另一个人维诺格拉托夫（Vinogradoff）大大地缩小了，他将前者减少到了“4个质数之和”。然而从维诺格拉托夫的4个到哥德巴赫的两个质数之间的最后两步看来是最为艰难的，谁也不能肯定还要多少年或者几个世纪才能证实或推翻这一难解的命题。
好吧，看来想要导出一个能自动计算出所有的以及任意大的质数的公式，我们还任重而道远，更何况我们还不能保证这样的公式一定存在呢。
我们可以问一个稍微简单点的问题—关于在给定的数值区间内质数所占的比例的问题。随着数字变大，这个比例是否会一直保持不变呢？如果变的话，是会增大还是减小呢？我们可以通过统计在不同区间内的质数的个数，从经验主义的角度试着来解决这个问题。我们发现，取值在100以内有26个质数、1000以内有168个质数、1 000 000以内有78 498个质数、1 000 000 000以内有50 847 478个质数，用这些质数的数量除以与其对应的数值区间里整数的数量，我们得到以下表格：
首先，从这个表中可以看出，随着数值区间变大，质数所占的比例减少了，但并不存在一个质数的终止点。
数学上有没有一种简单的方法来描述这一随着数值增大而减小的比例呢？不仅有，而且质数平均分布的规律是整个数学领域最了不起的发现之一。简单来说，就是“从1到任何大于1的数字
n
之间质数所占的比例约等于
n
的自然对数”
，并且
n
越大，这两个值越接近。
上表中第四列就是 n 的自然对数。如果你将其与第三列的数值对比一下，就会发现这两列的值很接近，并且 n 越大，就越接近。
正如数论中的很多其他理论一样，上述质数理论最开始是从经验主义的角度提出的，在其后很长一段时间里都无法用严格的数学方法加以证实。直到19世纪末，法国数学家阿达马
和比利时数学家德拉瓦莱普森
才终于用一种极其复杂的方法将其证实，三言两语难以说清，此处不赘述。
既然讨论到整数，就不得不提一提著名的“费马大定理”（Great Theorem of Fermat），这可以作为讨论与质数特性无关的问题的一个例子。这个问题的根源要追溯到古埃及，当时所有优秀的木匠都知道，一个边长之比为3:4:5的三角形一定有一个直角。他们就用这样的三角形，现在被称为埃及三角形，作为自己的角尺。 (1)
3世纪时，丢番图
开始琢磨，除了3和4以外，是否还有其他两个整数的平方和等于第三个数的平方。他也确实发现了一些（实际上有无数个）具有这种性质的数字三元组，并且给出了找出这些数的基本规则。这种三条边长均为整数的直角三角形现在被称作“毕达哥拉斯三角形”（Pythagorean triangles），埃及三角形就是其中的一个典型。毕达哥拉斯三角形的构建问题可以被简单地视为一个方程等式，其中
x
、
y
、
z
都必须是整数
(2)
：
x
2
+
y
2
=
z
2
。
1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》的新法语译本，书中就讨论了毕达哥拉斯三角形。他阅读时在旁边做了一处简短的笔记，其大意是，虽然等式 x 2 + y 2 = z 2 有无数个整数解，但与其形似的等式 x n + y n = z n ，当 n 大于2时，则是永远无解的。
“我已经找到了一个绝妙的证明方法，”费马写道，“但是这里太窄了，写不下。”
费马逝世后，人们在他的资料室里发现了这本丢番图的著作，留白处的笔记内容才得以问世。那是三个世纪以前的事了，自那时开始，全世界最卓越的数学家们都曾试着重现费马在笔记中提到的他所想到的证明方法，但至今仍没有定论。但毋庸置疑，朝着这个最终目标，人们已经取得了巨大的进步，同时，在试图证明费马理论的过程中，还诞生了一门被称为“理想数理论”的全新数学分支。欧拉证明了方程
x
3
+
y
3
=
z
3
和
x
4
+
y
4
=
z
4
不可能有整数解，狄利克雷
证明了方程
x
5
+
y
5
=
z
5
也无整数解，其后，经过几位数学家的共同努力，我们已经可以证明，当
n
小于269时，费马方程都是无解的。但是至今仍然没有找到能证明指数
n
取任何值时该结论都成立的总结性论证方法，越来越多的人怀疑，要么费马自己也没有证明方法，要么就是他哪里弄错了。后来有人悬赏10万马克寻找答案，这个问题更是成了热门话题，当然那些只为求财的业余人士并没有取得任何进展。
当然，这个理论仍然有可能是错误的，只要找出一个例子，其中两个整数的 n 次幂之和等于第三个整数的 n 次幂就可以了。但是要找到一个指数 n 必须是大于269的数字这样的研究可不简单。