2．如何计算无穷数

在上一部分我们讨论了数字，其中很多是相当大的数字。如西萨所要求的麦粒的数目，这些数字巨人虽然都大得不可思议，但它们都是有限度的，只要时间充分，我们就可以将其精确地记录到最后一位小数。

但是有一些数字是无穷大的，比无论我们花费多长时间所写下来的数字都大。“所有数字的数量”显然是无穷的，“一条线上几何点的数量”也是无穷的，除了它们都是无穷的，还有别的方法可以描述这些数字吗？例如，可以比较两个无穷数哪一个更大吗？

“所有数字的数量更大还是一条线上点的数量更大？”这样的问话有意义吗？这些乍一看很有趣的问题是由著名数学家格奥尔格·康托尔 首次提出来的，他也是名副其实的“无穷数算术”之父。

要讨论无穷数的大小，我们首先要面临一个问题，即对我们所说出的或写下的两个数进行比较，某种程度上类似于霍屯督人查看宝箱，想要知道自己拥有多少玻璃珠或铜币。但是，你应该还记得，霍屯督人最多只能数到3。那么既然他不会数到更多，他应该放弃比较玻璃珠的数量和铜币数量吗？当然不是，如果他足够机智，他完全可以将珠子与铜币一个一个地比较后得出答案。他将一个珠子与一枚硬币放在一起，第二个珠子与第二枚硬币放在一起，以此类推，如果最后珠子用完了而硬币还有剩余，那么他就可知自己拥有的铜币的数量多于玻璃珠；反之，则他拥有的玻璃珠数量更多；如果两者同时用完，那么他所拥有的两种东西数量就一样多。

康托尔提出来的比较两个无穷数的大小的方法与此一模一样：如果我们将两个无穷数所代表的对象集合进行配对，这样一个无限集合中的每一个对象都与另一个无限集合中的一个对象配成一对，到最后两个集合中都没有多余的对象，那么代表这两个集合的无穷数就是相等的。但是，如果其中一个集合有剩余，那么我们就可以说代表这个集合的无穷数比代表另一个集合的无穷数更大，或者说更强。

这明显是最合理的，也是唯一实际可行的用来比较无穷数量的办法，但是当我们真正运用这个方法时，可能会产生意想不到的结果。以所有的奇数和所有的偶数两个无穷数列为例，你肯定会直觉地认为奇数的数量和偶数的数量是一样的，运用上述的方法也是完全合理的，因为它们直接可以建立一一对应的关系：

在这个表上，每一个奇数都有一个偶数与之对应，反之亦然。因此，奇数的数量与偶数的数量是相等的，看起来相当简单！

但是，且等一下，所有数字，包括奇数和偶数的数量和仅仅所有偶数的数量相比，你认为哪一个更大呢？你当然会认为所有数字的数量更大，因为它不仅仅包含了所有偶数的数量，还包含了所有奇数的数量。但这只是你个人的判断，为了得到确切的答案，你必须用上述方法将两个无穷数进行比较。而如果你用了该法则，你会惊讶地发现你的判断是错误的。实际上，所有的数字与所有的偶数也可以建立一一对应的关系，正如下表所示：

根据我们的无穷数比较法则，我们必须承认所有偶数的数量与所有数字的数量是相等的。当然，这听起来有些荒谬，因为偶数只是所有数字的一部分，但是，别忘了我们这里所处理的是无穷数，所以必须对遇到的不同的特性有所准备。

实际上，在无穷数的世界里，“部分可能等于整体”！关于著名的德国数学家大卫·希尔伯特 的一个故事可以很好地阐释这一点。据说他曾在关于无穷数的讲座中用下面的话来说明无穷数自相矛盾的特性： ⁽⁵⁾

“让我们想象有一家旅舍，里面房间数是有限的，并假设所有房间都已客满。这时来了一个新客人想要订一间房，‘很抱歉，’老板会说，‘但是已经客满了。’现在让我们想象一个有无数房间的旅舍，并且所有的房间也已客满，而这时也来了一个新客人想要订一间房。

“‘当然可以！’老板喊道，然后他将占据了1号房间的人移到2号房间，将2号房间的人移到3号房间，将3号房间的人移到4号房间，以此类推。然后，经过这一番转移，1号房间空了出来，新房客就住到了里面。

“让我们想象一个有无数房间的旅舍，所有房间已客满。这时来了无限数目的新客人想订房。

“‘好的，先生们，’老板说，‘少安毋躁。’

“他将1号房间的客人移到2号房间，将2号房间的客人移到4号房间，将3号房间的客人移到6号房间，如此等等。

“现在所有编号为奇数的房间都空了出来，可以轻松地将无限多的新客人安置其中。”

因为当时正处于战争时期，即使在华盛顿，希尔伯特所描述的状况也很难被人理解，但是这个例子生动形象地描述出无穷数的特性与我们平时算术中所遇到的状况截然不同。

按照康托尔比较两个无穷数的法则，我们现在可以证实，所有的如 或 这样的分数的数量与所有的整数的数量是相等的。事实上，我们可以将所有的普通分数按照以下规则排成一列：先写下所有分子与分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即 ；然后写下所有分子与分母之和为3的分数： 和 ；接着是分子与分母之和为4的分数： ， ， 。以此类推。在这个过程中我们应该会得到一个无穷的分数序列，其中包含了所有的分数。现在，在这个分数序列上面写下整数序列，这样你就可以得到分数序列与整数序列之间的一一对应关系，因此它们的数量是相等的！

“好吧，这些都很有意思，”你可能会说，“但是这是不是意味着所有的无穷数都是相等的呢？如果是的话，它们之间还有什么好比较的呢？”

不，并不是这样的。我们可以轻松找出一个比所有的整数的数量和所有的分数的数量都大的无穷数。

实际上，如果我们将本章前面所提到的一条线上所有点的数量问题与所有整数的数量进行对比并加以研究，我们会发现这两个无穷数是不相等的，一条线上点的数量要多于所有整数的数量或分数的数量。为了证实这一结论，让我们试着将一条长度为1英寸的线段上的所有的点与整数序列建立一一对应关系，每一个点都可以用它到线段的一个端点之间的距离来表示，而这个距离可以被写成无穷小数的形式，例如，0.735 062 478 005 6…或者是0.382 503 756 32… 因此我们要比较的就是所有整数的数量与所有无穷小数的数量。那么以上给出的无穷小数与 和 这样的普通分数有什么区别呢？

你一定还记得算术课上学的所有的普通分数都可以转换成一个无限循环小数，如 ， 。我们已经证实所有的普通分数的数量与所有的整数的数量是相等的，所以，所有循环小数的数量与所有整数的数量也是相等的。但是一条线上的点并不一定由一个循环小数来表示，其中大部分反而是由非循环无限小数来表示的。由此可见，在上述情况下，我们是无法建立一一对应关系的。

假设有人声称他已经建立好这样的关系，如下表所示：

N

1　0.3 860 256 307 8…

2　0.5 735 076 205 0…

3　0.9 935 675 320 7…

4　0.2 576 320 045 6…

5　0.0 000 532 056 2…

6　0.9 903 563 856 7…

7　0.5 552 273 056 7…

8　0.0 527 736 564 2…

·　…………………………

·　…………………………

·　…………………………

当然，要将所有的整数和所有的小数挨个写下来是不可能的，所以能做出上述声明意味着作者要遵循某种规律（类似于我们写出所有普通分数的规律）来构建上述表格，并且这个规律必须保证所有的小数早晚都会出现在这张表格上。

但是，我们总是可以写出一个不在上述表格中的无穷小数，所以可以轻而易举地证明任何一个这样的声明都是站不住脚的。那么要怎么写呢？噢，很简单！只要在第一个小数位写上与表中1号小数的第一位数不同的数，第二小数位上写上与2号小数的第二位数字不同的数，并以此类推。你写下来的数字可能是这样的：

并且无论你怎么找，这个数字都不在上面的表格里。如果表的作者告诉你，你写的这个数字在他的表格中位列137号（或任何其他号），你可以立刻回答：“不是的，你表格中的137号小数的第一百三十七位数与我的小数的第一百三十七位数不一样。”

因此，线段上的点与所有的整数之间是无法建立一一对应关系的，这也表明“代表一条线上所有的点的无穷数要大于，或者说强于代表所有整数或分数数量的无穷数”。

一直以来，我们讨论的都是长度为1英寸的线段上的点数，但是，根据我们的“无穷数算术”法则，我们很容易证明任何长度的线都是一样的。事实上，“无论一条线长1英寸、1英尺还是1英里，上面的点的数量都是一样的”。图1可以证明这一点，图中将两条不同长度的线段 AB 和 AC 上的点的数量进行比较。为了建立两条线之间的一一对应关系，我们过 AB 上的每一个点作 BC 的平行线，将平行线与 AB 和 AC 的交点进行两两配对，例如，点 D 和 D′ ，点 E 和 E′ ，点 F 和 F′ ，等等。 AB 上的每一个点，在 AC 上都有一个与之对应的点，反之亦然。这样根据我们的法则，代表这两条线段上的点的无穷数是相等的。

通过对无穷数的分析，还可以得到一个更难以置信的结论：“一个平面上所有的点的数量与一条线上所有的点的数量是相等的。”为了证明这个结论，让我们来看一下一条长度为1英寸的线段 AB 上的点和边长为1英寸的正方形 CDEF 上的点（图2）。

假设用一个数字，如0.75 120 386…来表示线段 AB 上某个点的位置，我们可以将这个小数上的奇分位和偶分位上的数字分别选出来组成两个新的小数，得到了0.710 8…和0.523 6…。

在正方形 CDEF 中测量出这两个数字所代表的水平距离和垂直距离，从而得到一个点，我们称之为原来线段上的点的“对偶点”；反过来，我们取正方形内一点，假设其以0.483 5…和0.990 7…表示，如果我们将这两个数字合并，就可以得到该点在线段上相应的“对偶点”0.498 930 57…。

显然，两组点在这一过程中建立了一一对应的关系。线段上的每一个点都在平面上有一个对应点，平面上的每一个点也都在线段上有一个对应点，一个多余的点也没有。根据康托尔准则，代表一个平面上所有点数的无穷数与代表一条线上所有点数的无穷数是相等的。

用类似的方法就不难证明代表一个立方体里所有点的数量的无穷数与代表一个平面或一条线段上的所有点的数量的无穷数也是相等的。要做到这一点，我们只需要将最开始的小数分成三个部分 ⁽⁶⁾ ，然后用这样得到的三个小数来定位立方体内的“对偶点”。并且，正如两条不同长度的线段拥有同样数量的点一样，无论多大尺寸，正方形或者立方体中的点数也都是一样的。

虽然几何点的数量比所有整数或分数的数量大，但它还不是数学家们所了解的最大数字。事实上，人们已经发现，所有的曲线的样式总数比所有几何点的数量还要多，因此被描述为第三级无穷序列。

作为“无穷数算术”的创造者，康托尔认为可以希伯来字母ℵ（aleph，读作阿列夫）来表示无穷数，ℵ右下角的数字则用来表示这个无穷数的等级。这样，所有的数（包括无穷数）就排列为：

1，2，3，4，5，…，ℵ ₁ ，ℵ ₂ ，ℵ ₃ ，…

而且我们就可以像说“世界上有七大洲”或“一副扑克牌有54张”一样来陈述“一条线上有ℵ ₁ 个点”或者“曲线的样式有ℵ ₂ 种”了。

总结一下我们关于无穷数的讨论，我们指出只需几个等级就可以容纳我们所能想到的所有无穷数。我们认为ℵ ₀ 代表所有整数和分数的数量，ℵ ₁ 代表所有几何点的数量，ℵ ₂ 代表所有曲线样式的数量，但迄今为止，还没人能说出需要用到ℵ ₃ 的无穷数（图3）。

似乎这三个无穷数已足以数完所有我们能想到的数，这正好与我们的老朋友—有很多数要数却只能数到3的霍屯督人的情况完全相反。

(1)

或者简单地记为10 ⁶³ （1后面有63个0）。

(2) 这位聪明的宰相所要求的麦粒的数量可以用以下式子表达：

1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +…+2 ⁶² +2 ⁶³

在算术中，一个数列中的每一项都等于前一项乘上一个常数（在这个例子中是2倍），那这就是一个等比数列。在等比数列中，所有项之和可以用该常数（本例为2）的项数（本例为64）次幂减去第一项（本例为1）然后除以上述常数与1的差，在本例中可以这样表示：

直接写出来就是18 446 744 073 709 551 615。

(3) 引自：鲍尔（W．W．R．Ball）《数学游戏与欣赏》（ Mathematical Recreations and Essays , The Macmillan Co.，纽约，1939）。

(4) 如果我们只有7个圆盘，则需要的步数是：

1+21+22+23+…，或者2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127

如果你非常迅速且无误地移动圆盘，大概需要一个小时才能完成这项任务。如果有64个圆盘，那么需要移动的总步数就是：

2 ⁶⁴ -1=18 446 744 073 709 551 615

这正好是西萨所要求的麦粒的数目。

(5) 选自R.柯朗（译者注：Richard Courant, 1888—1972，美籍德国数学家）从未发表过甚至从未见诸文字但是广泛流传的《希尔伯特故事全集》（ The Complete Collection of Hilbert Stories ）。

(6) 比如从

0.735 106 822 548 312…

我们可以得到：

0.718 53…

0.302 41…

0.562 82… Mlv7Gm9UHpHP1EZhymsFHjbepfCIX4IDBcBbNeNU+bz6CU7+ayTBU0zHIx448gpw