1．第四维—时间

第四维度的概念常招致很多神秘说和怀疑说的声音。作为只拥有长、宽、高而生于三维空间，长于三维空间的生物，我们又怎敢言及四维空间之事？是否存在这样的可能：利用我们所有的三维智慧去想象建构出一个四维的超空间？那么一个四维的立方体或是球体会是什么样子的？当我们说“想象”一条长着鳞状尾巴和火焰从鼻孔流出的巨龙，或者一架超级客机，机翼上有一个游泳池和几个网球场，你实际上是在脑海中描绘出它突然出现在你面前的样子。

若这就是“想象”这个字眼的含义，那么要在普通三维空间的基础上想象出一个四维度的形体就是不可能的，这跟将三维形体挤压入二维平面一样，都是天方夜谭。但也请少安毋躁，因为从某种意义上说，我们的确可以经由画画而将三维物体“挤压进”二维平面中。但无论如何，在完成这项工作的时候，我们都不借助液压机或者任何的其他物理压力，而只采用大家熟知的几何“投影”或阴影构建方式。

仔细观察图17，你马上就能看出将物体（比如一匹马）挤压进一个二维平面的两种方式之间的异同。

进行类比之后，我们可以说，尽管将四维物体完全“挤”进三维空间而没有些微突出是不可能的，但我们却可在仅有三维的空间中畅言各样四维形体之“投影”。而必须谨记于心的是，四维超形体在我们这个普通三维空间中的投影会是立体的空间形状，这跟三维形体在二维平面上的投影为二维或平面形状是一样的道理。

为使问题脉络更为清晰，让我们先思考一下：生活在平面上的二维影子生物是如何建构出三维立方体的概念的。其实，我们很容易就可以想象出来，因为我们作为更具优势的三维存在，可从上也就是从第三个角度观察、研究整个二维的世界。图18中所展示的就是通过“投影”将立方体“挤压”进二维平面的唯一方法。观看这样一个投影以及其他各种可经由原始立方体旋转得到的投影，我们的二维“伙伴们”将至少会对那名叫“三维立方体”的神秘形体之间的适当联系产生某种看法。他们虽不能像我们一样“跳出”自己所处的平面来观察立方体，但只要看着投影，他们就可以，例如，说出这个立方体有8个顶点和12条棱。现在我们来看图19，那些可怜的二维影子生物此刻正不停地探究一个普通的立方体投射在它们平面上的影子，你会发现自己跟它们一样，也正处于同样的境地 。事实上，图中让这一家子目露惊色的奇异结构体正是一个四维超立方体投射在我们习以为常的三维空间中的影子 。

请仔细观察这个图，你可以很容易地辨认出图中有些特征跟图25中那惯于迷惑人的影子生物一模一样：平面上的一个普通立方体其投影经由两个正方形呈现出来，它们两两相套，顶点相接；而超立方体在普通三维空间中的投影则由两个立方体构成，且两个立方体也是通过同样的顶点相连形式而相互嵌套在一起的。经过数算之后，你会很容易发现一个超立方体共有16个顶点、32条棱和24个面。就是一个立方体，不是吗？

现在让我们来看看所谓的四维球体是什么样子的。我们首先需要做的是将视线转向更为熟悉的情况上来，因为我们要探讨的是一个普通球体在平面上的投影问题。举一个例子，比如，有一个透明的地球，其表面上标有陆地和海洋，此刻正被投射在一面白色的墙壁上（图20）。当然，在投影中两个半球无可避免会重叠在一起，而通过观察投影，我们可能会觉得美国纽约跟中国北京之间的距离十分短。但那真的只是一个错觉而已。

事实上，位于这幅投影上的每个点代表的是实际球体上截然相反的两个点，而一架自纽约飞往中国的客机在地球表面的投影则会一路沿着平面投影的边移动，然后再以同样的方式全程退回来。尽管图片所显示的两条航线之投影可能是重合在一起的，但在实际的飞行过程中，只要它们是位于地球的两端，那么就绝不会发生飞机相撞的情况。

这就是一般球体的平面投影属性。现在，让我们的想象力更开阔一点，我们就能毫不费力地看到一个四维超球体在三维空间中形成的投影。这与由两个扁平光盘（点对点）放在一起，而只靠外围连接组成的普通球体所投射出的影像一样，超球体的空间投射一定会被想象成两个球形物体相互穿过并沿着它们的外表相连形成的图形。而实际上，在前面的章节中，我们已经探讨过这类特殊的结构，当时提到的是一个闭合的三维空间，作为类似于闭合球体表面的例子而提出的。因此，我们还需要做出的补充是，说白了，四维球体的三维投影就是我们先前讨论中提到过的那两个孪生苹果—两个常见的苹果沿整个外皮黏合在一起。

以同样类比的方式，我们还可以回答很多与四维形体属性相关的其他问题，但不管做出怎样的尝试，我们也无法在我们所处的物理空间中“想象”出第四个独立方向。

但要是你再略加思索一下，你就会发现：为了想象出第四个方向而变得神神道道是完全没有必要的。的确，我们每天都会用到一个词，来指明在物质世界中可以而且实际上应该被视为第四个独立的方向。那就是我们这里将要提到的“时间”，它通常与空间一起被用来定义和描述我们周围所发生的事。当我们谈论宇宙中发生的任何事情时，无论是在街上偶然遇到一个朋友，还是在遥远的星球上爆炸，我们通常不仅要说发生在哪里，还要说发生在什么时候。就这样，除了描述方位时用到的三个方向指示词外，我们又加进了另一个词—时间。

如果你再进一步考量一下这个问题，很容易就会意识到每个物理存在体都有四个维度，亦即三个空间维度和一个时间维度。因此，你居住的房子其实是在长度、宽度、高度以及时间四个维度上延展开来的。而其最后的延展算的则是房子从动土到烧毁或是被拆或是房子“寿终正寝”，自动解体之间的时间段。

毫无疑问，时间这个方向跟其余的三个空间方向存在着很大差别。时间间隔用时钟来衡量，并分别以时钟的嘀嗒声和叮咚声暗示时间的流逝；空间则不同，相比较而言，空间间隔需要通过尺度测量得出。而且，你可以使用同样的尺度去测量空间的长、宽、高，却不能将之变成时钟来测量时间的长短。而且在空间的三个方向上，你同时可以向前、向右或是向上移动，然后再回到原地。但你却不能在时间的方向上回来，原因是时间迫使你驶离了过去而进入了未来。但是考虑到时间方向和空间的三个方向之间存在的所有差异，我们仍可用时间作为三维物理世界的第四个方向，需要特别注意的是，归根结底，时间与空间还是很不一样的。

在选择时间作为第四维度时，我们发现本章一开头就提到过的“将四维形体可视化”现在更容易做到了。还记得那由四维立方体投影剪切得到的奇形怪状体吗？它一共有16个顶点、32条棱和24个边（面）！无怪乎图19中的人会对这个几何体怪物震惊不已了。

然而，从我们的新观点来看，四维立方体不过就是存在于特定的时间段的普通立方体罢了。假设你在5月1日的时候自12条直线上构建了一个立方体，并于一个月之后将其拆解，那么这个立方体每个角上的点一定会被视为实际存在中的一条线沿着时间方向延伸一个月所得到的长度。这时候你就可以在每个顶点上附上一份日历，并每天翻一页以示时间进度。

现在，我们很容易就可以数出四维形体中的肋数（图21）。实际上，在它（这个四维形体）刚形成之际，我们就有了12条空间肋 、8条“时间肋”，其所表示的正是每个顶点所示的时间段，而到了形体存在的末期，我们还是有12条空间肋。所以，共计是32条肋。同样，通过计数我们可以得到一共16个顶点：它们分别是5月7日的8个空间顶点和6月7日的8个空间顶点。这里我们就卖个关子，把它留作练习，让读者自行使用上述所示方法来数算这个四维形体的面数。不过在做练习的过程中，希望读者能记住，这些面的其中一些会是原始立方体的一般正方形面，而另一些则会是由立方体的原始肋沿着5月7日到6月7日这个时间方向延展形成的“半时间半空间”面。

我们在这里提到的四维立方体的说法，当然可以应用到其他任何的几何体上，或者是任何活物或死物上。

具体来说，你可以将自己想象成一个四维形体，这时候你就像一根长长的橡胶条，自你出生那一刻起到生命的终结，这根橡胶条都在不断延伸。但不走运的是，没人能将四维事物跃然纸上，故在图22中，我们使用一个二维影像人为例，试图将此想法表达出来。图中所取的时间方向跟这个二维影像人所居住的二维平面垂直。这张图片只展示了这个影像人整个人生的一小部分。整个寿命应当由更长的橡胶条来表示，而且这根橡胶条开始的时候（胚胎期）较细，到了婴儿期会出现多年摇摆不定的情况，直到死亡来临时刻，橡胶条才会逐渐趋于恒定，形状也稳定下来（这是死人不再动的缘故），再接着就进入了分解状态。

更确切地说，这个四维条（指上述的橡胶条）其实是由许许多多分开的纤维组成的，而且每一条纤维也都是由各自独立的原子组成的。在整个生命的过程中，这些纤维大部分以群组的形式聚在一起，只有少数会自行脱落，比如毛发的脱落或是指甲的修剪。由于原子是坚不可摧的，所以人体在死后的分解其实应该被看作是各自分开的细丝（除了可能会形成骨头的细丝外）再朝着不同方向分散游离。

在四维时空几何语言中，历史线代表着每个物质粒子，同时被称作“世界线”。同样，我们也可以说“世界带”是由“世界线”构成的，而这些世界线是组成形体的必要条件。

在图23中，我们给出了一个天文学方面的案例，以展示太阳、地球和彗星的世界线。恰如其分地说，我们这里所讨论的是“世界线”，但若从天文学的角度来看，我们却可以将恒星和行星都看作点而非线或带。在之前所给出的跳跃人的例子里，我们在此选取了二维空间（地球轨道平面）并使时间轴与之垂直。那么太阳的世界线在图中就会用一条平行于时间轴的直线表示出来，因为我们把太阳看作是恒定不动的。 地球的世界线是一条环太阳线的螺旋线，其运动非常接近环形轨道。而彗星的世界线则是先靠近而后远离太阳线。

从四维时空几何的角度来看，我们发现宇宙的拓扑形态跟历史融合为了一幅和谐的画面，而我们现在所要考虑的只是代表原子、动物或是恒星的一束相互交缠的世界线罢了。 TcfhZehm2ACb+KbhFYmWc3Hg3slVh8mB5aH75JhgFRxrl0aAJNoY9r43upUwTdwy