3．由内而外翻转空间

截至目前，我们一直在讨论各种表面的拓扑性质，也就是说，这些问题其实只涉及了至多两个维度的子空间，但很明显，与我们所生活的三维空间息息相关的类似问题也有可能被问及。因此，地图着色问题的三维概括可以由如下文字表述出来：要使用不同形状、不同材质的多块材料来建构空间镶嵌式图形，并且要保证其中用到的材料中任意两块的材质都是不同的；若材质相同，则这两块材料就不能使用同一接触面。如果是这样，那到底需要多少种不同的材料呢？

与球面或环形这类二维平面相对应的三维类比是什么呢？有没有人能想出一些特殊的三维空间，这些空间与我们所处的普通空间联系紧密，就像球或环形的表面跟普通的平面之间的关系一样？这个问题乍一听毫无讨论的必要，但事实上，我们固然可以很轻松地想到各种不同形状的表面，但还是倾向于相信三维空间的类型只存在一种的说法，而这个独一无二的三维空间也就是我们名义上所生活着的这个三维物理空间。

但这样的观点实际上是一种很危险的错觉。因为只要我们稍微发挥一下自己的想象力，其实很容易就可以想象出很多有别于欧几里得式几何教科书所研究的三维空间。

想象这类奇异空间的困难主要在于：作为三维生物存在的我们，必须从内而外地观察这个空间，而非像处理各种奇形怪状物体表面那样“由外向内”研究这个空间。但通过一些心理训练，我们还是能征服这些奇怪空间（想象这些奇形怪状空间所带来的困难）的，以至我们在未来的想象中不再感到困难重重。

首先，我们得尝试着建立一个三维空间模型，它有跟球体表面相类似的性质。当然，球体表面的主要特性是：虽然没有边界，但它仍然有一个有限的区域，它只是能自我旋转、自我闭合而已。我们能否想象出一个可以以类似方式逐渐包围自身的三维空间，且不受任何尖锐边界的限制，还有着有限的体积？请想象存在着这样的两个球体，每一个都受球面的限制，就像苹果的身体受到其外皮的限制那样。

现在想象一下，这两个球形物体被“互相穿透而过”并沿着其表面黏结起来。当然，这不是在试图告诉你，一个人可以同时“操作”两具身体，比如说我们的两个苹果，需要把它们挤压在一起，使它们的外皮粘在一起才行。但实际上是苹果会被压扁，却绝不会相互融合，结为一体。

读者最好以一个苹果为例，想象这个苹果内部有一个复杂的通道系统，而虫子正通过此系统一点点慢慢吞食苹果。而且必须有两种虫子，就比如说有黑虫跟白虫，它们互相看不对眼，所以绝不可能将自己在苹果内部的通道连接起来，即使它们很可能在苹果外皮相邻的点开始蚕食苹果。将这两种蠕虫蚕食的苹果内部剖开看起来有点像图12，分布着一个双通道网络，通道彼此紧密地交织，填满整个苹果的内部。尽管白色和黑色的通道彼此之间的距离非常近，但要从迷宫的一半到达另一半的唯一一条路径却是先得通过表面。如果你设想通道变得越来越窄，数量却越来越大，最终就会在苹果内部形成两个相互重叠的独立空间，它们只在共同表面上做连接。

你若不喜欢蠕动的虫子，那么可以想象有一个由封闭的走廊跟楼梯组成的双层系统。比方说，在上一届举办于纽约的世界博览会上，你所想象的这个双层系统就可建立在这个巨大的球形内部。届时每个楼梯系统被看作是行走贯穿球体内部的通道，但要从第一个系统的某个点到达与另一个系统相连的点，只能一路走到球体的表面（原因是两个系统是在此进行连接的），然后又沿路返回。还有，这两个球体虽是重叠却互不干扰。假设你有一个朋友，他可能离你很近，但为了见到他，跟他握手，你此时却必须绕一大圈路才能到他身边去！需要特别注意的是，两个楼道系统的连接点实际上跟球体内任意的点别无二致，因为这些点的任何一个都总是有可能使整个结构变形，因而只能将连接点向内拉，而之前就已经存在球体内的连接点此刻就会露出球体表面。关于模型的另一个要点是，尽管所有通道合起来的总长度是有限的，但其中却不存在“死胡同”。你可以在走廊和楼梯上走来走去，而不会被任何墙壁或篱笆挡住道。但如果你走得够远，毫无疑问，你会发现自己此时正站在最初的起点处。站在外面来看整个结构，一个人自己会在迷宫里走动并最终回到出发点，这只是因为走廊会逐渐转弯闭合，但是对于迷宫里的人而言，外面有什么他们是不清楚的，因为在他们看来，这个空间的大小是有限的，但其间没有任何明显的边界。正如我们接下来将会讨论的，这个“三维的自我闭合空间”没有明显的边界，但又非无限的，而这在我们探讨整个宇宙的性质时却是非常有用的。

事实上，在过去穷极望远镜观测能力的情况下所观测到的景象似乎表明了，这些跨距甚巨的空间开始弯曲，显示出了很明显的自我折返、自我闭合的趋势，就像我们所举例子中的虫子蚕食苹果而出现交错通道一样。但在开始讨论这些令人兴奋的问题之前，我们必须更多地了解空间的一些其他属性。

看来虫子蚕食苹果的话题还需要再继续下去，因为接下来的问题是：被虫子吃的苹果能否变成甜甜圈。哦，当然，我们并不是想让这个被虫子吃的苹果尝起来像甜甜圈，而只要让它看起来像一个甜甜圈就可以了。别忘了我们是在讨论几何学问题，而非烹饪技艺。让我们拿一个“双苹果”，正如前一部分所讨论的那样，让这两个新鲜的苹果“透过彼此”并经由表皮“粘在一起”。如图13所示，假设有条虫子已经在一个苹果里“蚕食”出了一条宽敞的圆形通道。你需要注意的是，虫子是在苹果的内部蚕食而非外部，故这条（宽敞的圆形）通道外部的每个点都属于两个苹果的点，亦即所谓的双重点。而在通道内部，只剩下没被虫子吃掉的材质（果肉抑或种子等成分）。现在我们的“双苹果”结构就有了一个由通道内壁组成的自由表面（图13a）。

你能将这个坏苹果的形状变为甜甜圈的形状吗？当然，我们得先假设苹果的材料是塑胶的，这样一来你就可以按自己的喜好随意变换它的形状，唯一的条件是在模制的过程中，材料不能发生断裂。为方便操作，我们可先将苹果切开，只要在完成所需的变形之后再将其黏结回去就好。

我们首先要进行的操作是：去除两个苹果（形成“双苹果”时）外皮黏结在一起的部分，并将两个苹果分开（图13b）。然后用罗马数字I和I′标记两个一开始就没有被粘起来的表皮，以便在接下来的操作中进行跟踪，最终便于在完成所有操作之前将它们重新黏合到原来的位置上以进行复原。现在，需要切掉虫蛀通道的所有部分，这样切口会穿过整个通道（图13c）。这项操作让我们得到了两个新切割出来的表面，亦即罗马数字II、II′和III、III′所标记出来的部分，做标记是为了之后我们能将其分毫不差地黏结起来。此外，这个操作让我们得到了通道的自由表面，而这注定了要成为甜甜圈的自由表面。现在，把切割得到的部分按照图13d所示的方式进行拉伸。现在，这个自由表面在很大程度上被拉伸出去了（但是根据先前的假设，我们所使用的材料本身具有很完美的拉伸延展性能）。与此同时，切割面I、II和III的面积都缩小了。而在操作“双苹果”的前半部分时，我们还必须将其后半部分的尺寸缩小，把它压缩到樱桃大小。现在，我们准备好要将之前切开的部分粘回去了。最开始也是最容易的是，将标记为III和III′的表面再次拼接起来，这样一来就可以得到图13e所示的形状。紧接着，将半个缩小的苹果置于形成的钳状物两端，并将之合起来。这样标记为I的球体表面自然就会跟其一开始没被黏结过的表面I’黏结起来，且切割面II和II′也会将彼此包裹住。最终的结果就是（图13f）：我们得到了一个甜甜圈，外表光滑，看起来漂亮极了。

那么这样做的意义何在？

说实话，除了“省下来”给你一个几何想象的练习空间、一种心理操练的方式之外，其他的还真什么都没有。当然，这个特殊的心理操练模式能帮你理解空间弯曲以及空间自我闭合这类不寻常的概念。

若你想把自己的想象力再拉长些，那么这儿倒有一个针对上述过程的“实际演练”可以运用起来。

你的身体也有甜甜圈的形状，虽然你可能从来没有想过它。实际上，在身体发育的非常早期阶段（胚胎阶段），每个生物都要经历所谓的“胚囊”期。此阶段的它为球状，其内部均有一条宽敞通道。食物经由此通道的一头摄入，在身体充分吸收应用之后，余下的废弃物经由另一头排出。在发育完全的有机体中，其内部的通道变得更薄、结构更复杂，但其原理仍然是一样的，即甜甜圈的所有几何特性保持不变。

既然你是个甜甜圈，那么不妨尝试着做一做图13所示的变换—将你的身体变回去，试着把你的身体（在心里想象！）转变成一个内含通道的“双苹果”。你尤其会发现的是，虽然你身体的不同部分进行了重叠，但却会最终形成一个“双苹果”结构的身体构造，亦即整个的宇宙，而其中内含的地球、月亮、太阳和恒星，将会被挤压到你身体内部的圆形通道之中！

请试着画出你想象中它的样子，如果你画得好，说不定萨尔瓦多·达利 本人都会承认你在超现实主义绘画方面的才能呢（图14）！

但如果不讨论一下左、右手物体及其与空间一般性质之间的关系（不管会有多长）的话，我们都不能草草结束这一节。此问题的阐释可能需要一双手套的介入才能完美收官。对比一对手套中的两只手套，你会发现不论怎样测量，其所得的结果都是一致的，但仍有一处非常大的差异：你不能给右手套上左手套，反之亦然。你可以随心所欲地转动和扭曲它们，但最终右手手套还是右手手套，左手手套仍是左手手套。这类型的左、右手物体差异还会出现在鞋的结构、汽车的方向盘机制（此处特指美国和英国汽车）、高尔夫球杆以及其他的许多东西中。

另外，像男士帽子、网球拍以及其他很多的物品却没有这样的差异，因为不会有人傻到去商店里订购一打 左手持的茶杯，而且如果生活中有人让你跟自己的邻居借用一下左手扳手，这样的事情根本就是闹着玩的，也是不存在的嘛。那这两类物体的差异是什么呢？

若你略加思考一下，就会发现像帽子或茶杯这类物件都有一个我们称之为“对称”的面，而沿着面，这些物件可被分割成长得一样的两半。但对于手套或鞋子来说，这样的对称面却是不存在的。因为不管你怎么努力，你也不可能把一只手套分割成完全相同的两部分。但如果一个物件没有对称的平面，也就是我们所说的，不对称，那么它就会被归类到两个迥异的模型中—一个属于左边，一个属于右边。这种差异不仅存在于人造物体，像手套或高尔夫球杆之中，而且在自然界中也很常见。例如，有两种蜗牛，除了在建造房屋的方式上有所不同外，它们其他所有方面都一模一样，而这种差异表现为：一种蜗牛的壳是按顺时针方向旋转的，而另一种蜗牛的壳则是按逆时针螺旋而成。

即使是我们所说的分子，也就是那些组成所有物质的微粒，也常跟左、右手手套，或是顺、逆时针结构蜗牛壳一样，具有明显的左右手结构。当然了，你的肉眼看不到分子，但却能看见晶状体以及这些物质所具有的某些光学特性。比如说，有两种不同的糖，名叫左手糖跟右手糖，还有，你信也好，不信也罢，还有另外两种专门“吃糖”的细菌，而且每种细菌只吃某种相应的糖。

正如前面所提到的，将右手物件（例如，手套）变成左手物件似乎是不可能做到的。但真的是这样吗？抑或，是否能通过想象得出一个可以将这一切变作现实的奇幻空间？要想回答这个问题，我们需要站在更为有利的三维空间立场上进行观察，以便更好地研究平面上的扁平“居民 ”。观察图15，它所展示的是平面上，亦即仅有两维的空间之上可能存在的居住者。手里拎着一串葡萄的人叫作“单面人”，原因是他只有“正脸”没有“侧脸”。而图中的动物则叫作“侧面驴”，或说得更具体一些，叫作“右脸驴”。当然，我们也可以画出一只“左脸驴”来，而因为两头驴都只“生活在”平面上，所以从二维的角度来看，它们跟我们在三维空间所知所识的左、右手手套一样存在着差异。你没办法将“左脸驴”跟“右脸驴”叠映在一起，因为要想实现完全的叠映，你需要将它们的鼻子以及尾巴都合在一起，这样的话你就不得不将它们都颠倒过来，最后的结果就是驴子四蹄朝天，驴背着地，没法稳当当站在地上。

但如果你将其中一头驴从二维平面中拿出来，并在三维空间中将之翻转，再把它放回平面中，最终两头驴子就变得一模一样了。通过类比，我们可以说右手手套可以在第四个方向从我们的空间中取出并在放回之前以适当的方式旋转，从而变成左手手套。同样，通过类比，我们也可以这样说，在将一只右手手套放回原来空间之前，它能够经由适当的方式先脱离三维空间而后进入四维空间最后变为左手手套。但由于我们所处的物理空间并非四维空间，故而上述方式被视作不可能。难道真的没有别的法子可想了吗？

让我们再次回到二维世界里来，但是这一次，我们研究的对象不再是图15所示的一般平面，而是所谓的“莫比乌斯面（Möbius，莫比乌斯环）”，我们需要考量“莫比乌斯面”所具有的特性。将近一个世纪以前，因为是德国数学家莫比乌斯第一个开始研究这个特殊的曲面，所以“莫比乌斯面”由此而得名。制作“莫比乌斯面”的方法很简单，只需要取一条长度相当的纸带，先将其扭转一下，再将之首尾相接粘成一个环，这就是一个“莫比乌斯面”。图16向你展示了制作“莫比乌斯环”的方法。这个曲面有很多独特的属性，其中之一通过剪切可以很容易地发现：拿一把剪刀沿着平行于边缘的线（沿图16所示的箭头）修剪即可。这时你可能会想当然地以为，这样做的结果无非就是剪出了两个环而已。不过先别臆断，做一做看看，你会发现你的猜测实际上大错特错：最后的成品不是两个分开的环，而是一个！只不过其长度比原来的长一倍，宽度则只有原来的一半而已。

现在让我们来看看当一只影子毛驴沿着莫比乌斯表面行走时会发生什么。假设它 从位置1（图16）出发，我们可以看清它是一头“左侧脸毛驴”。它一步步前进，相继路过位置2和3，这些在图中都清晰可见，最终它慢慢接近的点却是它最初出发的起点！但出乎读者跟它自己的意料，我们的驴子发现自己（正在位置4）正处在一个十分尴尬的境地—它四条腿现在正笔直地朝向天空！当然了，这头驴子它也可以选择转动一下自己的表面，以便自己朝向天空的腿得以顺顺当当地放下来，但果真这样做的话，它的脑袋又将面向错误的方位了。

简而言之，在莫比乌斯表面上行走，我们的“左侧面”驴子已经变成了“右侧面”驴子。而且，请注意，尽管驴子一直留在表面上，但是没有在太空中被抱起或翻转，但这种情况还是发生了。简言之，通过沿着莫比乌斯面行走，我们的这头“左面脸”驴子的确变成了“右面脸”驴子。但请注意，这是在驴子始终沿着曲面行走，而未被自二维平面空间中取出来进行空间翻转的情况下发生的。由此我们发现在一个被扭曲的平面上，只要通过扭曲处，一个右手物件就可被翻转变换为一个左手物件，反之亦然。图16中所示的莫比乌斯面代表的是一个更普通的平面的一部分，也就是闻名遐迩的克莱因瓶（图16右侧所示部分）。这种瓶子仅有一面，且自身封闭，没有任何尖锐的边沿。若这在普通的二维平面中是可能的，那么这在我们的三维空间中自然也会发生，当然前提是这个三维空间要以适当的方式发生扭曲。而实际上，要凭空想象出一个莫比乌斯扭曲面是相当不容易的一件事。那是因为我们不能从外面“围观”我们现在所处的空间，这跟我们看驴子平面的道理如出一辙，且“身在庐山”却想要“看清庐山真面目”无疑是非常困难的事。如果情况确乎属实，那么宇宙旅行者们就会在空间旅行结束后带着一颗位于右胸腔的心脏（旅行之前心脏位于左胸腔）回到地球来，而手套制造商以及鞋子制造商很有可能因此获益：因为只要制造同样的鞋子和手套，并将其中一半送往宇宙空间环形一圈以进行变换就可得到另一边手脚所需的鞋子和手套，这样将是多么简单易行！

在此奇思妙想中，暂且让我们关于这不寻常空间的不寻常特性讨论告一段落吧。 h5keJ2lgLjZ8Mo6MmCcUGx9e9Ez9atWSRAF+5u+vGStjs/ZeZB0vBjFvNUUh/B0P