2．神秘的

现在让我们来做一点高级算术题。二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五，因此，四的算术平方根是二，九的算术平方根是三，十六的算术平方根是四，二十五的算术平方根是五。 ⁽³⁾

但是一个负数的平方根应该是多少呢？像 和 这样的式子有意义吗？

如果你理性地分析一下，就会毫不犹豫地断言以上式子没有任何意义。引用12世纪数学家布哈斯克拉的话说就是：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根有两个，一个正的，一个负的。因此负数没有平方根，因为负数不是二次幂。”

但是数学家们都很执着，如果一个看起来毫无意义的东西不停地在他们的公式中出现，他们就会竭尽所能赋予其某些含义。负数的平方根就不停地出现在各个地方，不论是过去的数学家所面对的简单算术问题还是20世纪相对论框架下的时空统一问题都可见其身影。

第一个将明显毫无意义的负数的平方根写进公式里记下来的勇士是16世纪的意大利数学家卡尔达诺 。在讨论是否能将数字10分成乘积为40的两部分的问题时，他指出，虽然这个问题没有任何合理的解，但是如果将答案写成两个不可能存在的数学表达式 和 ，这个问题就有解了。 ⁽⁴⁾

在写上面的式子时，卡尔达诺明知道它们毫无意义，是虚构的，不存在的，但他还是写下来了。

而既然有人敢把负数的平方根写下来，即便是虚构的，将10分为乘积为40的两部分的问题也就有解了。一旦僵局被打破，即使还有所保留并给出正当理由，数学家们还是越来越频繁地使用负数的平方根，或者叫卡尔达诺后来命名的“虚数”。

在德国数学家欧拉于1770年发表的代数学著作上，我们发现了大量的虚数的应用。但是他又解释：“所有像 和 这样的表达式都是不存在的，虚构的数字，因为它们表示的是负数的平方根，对于这样的数字，我们可以断言，它们本身什么都不是，既不会比任何数大，也不会比任何数小，由此可证，它们是虚构的，不存在的。”

即使得到了这样的非难和评判，很快，虚数还是像分数和根数一样成了数学中不可避免的一部分。倘若不用它，那简直是寸步难行了。

可以说，虚数是普通数或实数的虚构镜像，而且，就像我们可以由基数1得到所有的实数一样，我们也可以由基本虚数单位 得出所有的虚数， 通常用符号 i 来表示。

显而易见， 、 这样每一个普通实数都有一个对应的虚数。我们也可以将实数和虚数结合起来形成一个单一的表达式，正如卡尔达诺最开始写的 那样。这种混合形式通常被称作复数。

虚数自闯入数学领域两个多世纪以来，一直笼罩着一层神秘的面纱，直到最后两位业余数学家为其做出了简单的几何解释。这两个人就是挪威测量师韦塞尔（Wessel）和巴黎会计师阿尔冈。

根据他们的解释，一个复数，例如3+4 i ，可以像图4那样表示出来，其中，3对应着水平距离，即横坐标；4对应着垂直距离，即纵坐标。

所有的普通实数（无论正负）都可以用横轴上对应的点来表示，而纯虚数则用纵轴上对应的点来表示。如果我们把代表横轴上某点的一个实数，例如3，乘以虚数单位 i ，就可以得到一个位于纵轴上的纯虚数3 i 。因此，“将一个实数乘以 i ，在几何学上相当于将其对应点逆时针旋转90度”。

现在，如果我们把3 i 再乘以 i ，则需要再旋转90度，这样得到的点又回到了横轴上，但是位于负数那一边。因此，3 i × i =3 i ² =-3，也就是说， i ² =-1。

因此，“ i 的平方等于-1”这样的陈述就比“旋转90度两次（都是逆时针方向）你就会面对相反的方向”好理解多了。

当然，同样的规则也适用于实虚混合的复数。将3+4 i 乘以 i 我们会得到：

(3+4 i )× i =3 i +4 i ² =3 i -4=-4+3 i

而且，从图4中你可以一眼看出来，点-4+3 i 是点3+4 i 以原点为中心逆时针旋转90度后的对应点。同理可证，从图4上也能看出，将一个数乘以- i 就相当于将其以原点为中心顺时针旋转90度。

如果你还是觉得虚数笼罩着一层神秘的面纱，那么通过解决一个虚数实际应用的简单问题，可能会帮助你揭开这层面纱。

有一个年轻的冒险家在他的曾祖父的文件中找到了一张绘有藏宝图的羊皮纸，上面写着：

“乘船到北纬___，西经___ 到达一个荒岛。岛的北岸有一大片草地，上面种着一棵孤独的橡树和一棵孤独的松树。 在那里你还会看到一个曾是我们用来吊死背叛者的绞刑架。从绞刑架出发走到橡树下，并记下步数，到了橡树向右转90度，再走同样的步数，然后在地上做个记号。现在你必须回到绞刑架那里，然后走到松树下并记下步数，到了松树那里必须向左转90度再走同样的步数，然后再在地上做一个记号。在两个记号的中间点进行挖掘，那就是宝藏所在之处。”

这些指示相当清楚明白，所以这个年轻人租了一条船航行到南海。他找到了荒岛、草地、橡树和松树，但是令他郁闷的是，绞刑架不见了。自藏宝图绘制以来已经过去很长时间，风吹日晒雨淋已经使得木头风化，重归大地，甚至连曾经存在的痕迹都没有留下。

我们这位年轻的冒险家陷入了绝望当中，在愤怒与疯狂中，他满地乱挖起来，然而一切都是徒劳的，这个岛太大了！所以他只能空手而归。而宝藏可能还被埋在那里。

这是一个遗憾的故事，而更令人遗憾的是，如果这个年轻人略懂数学，尤其是虚数的用法，他可能已经找到了宝藏。让我们看看是否能帮他找到宝藏，尽管对他来说为时已晚。

将岛看作一个复数平面，过两棵树画一条坐标轴（实数轴），然后过两树之间的中点（图5）作实数轴的垂线作为虚数轴。用两树距离的一半作为我们的单位长度，这样我们就可以说橡树在实数轴的-1点上，而松树在+1点上。我们不知道绞刑架在哪里，所以我们用希腊字母Γ表示它的假设位置，这个字母甚至有点像绞刑架。由于绞刑架不一定在两个坐标轴上，所以我们必须将Γ看作一个复数：Γ= a + bi ，图5解释了 a 和 b 的意义。

现在让我们来做一些简单的算术，同时别忘了之前讲到的虚数的乘法法则。如果绞刑架在Γ，橡树在-1，两者之间的距离可以表示为：-1-Γ=-(1+Γ)。同理，绞刑架和松树之间的距离可以表示为：1+Γ。为了将这两个距离分别顺时针（向右）以及逆时针（向左）旋转90度，根据上述法则，我们必须将它们乘以- i 和 i ，这样才能找到我们需要做标记的两个点：

第一个标记点：(- i )[-(1+Γ)]+1= i (Γ+1)-1

第二个标记点：(+ i )(1-Γ)-1= i (1-Γ)+1

由于宝藏在这两个标记点中间，我们现在必须计算出上面两个复数的和的一半，我们就得到了：

现在我们可以看出来，用Γ所表示的绞刑架的未知位置在计算过程中被抵消了，并且，无论绞刑架在哪儿，宝藏一定被埋在点+ i 那里。

所以，如果我们年轻的冒险家当时若做一点这样简单的数学计算，他就不需要挖遍整个荒岛，而大可直接去图5画×的点上挖掘宝藏，并且一定能在那里找到宝藏。

如果你还是不相信根本不需要知道绞刑架的位置就可以找到宝藏，你可以找一张纸，在上面画出两棵树的位置，假设绞刑架在几个不同的位置上，然后分别试着根据羊皮纸上的信息一步步往下走。最后你一定会得到同一个点，正是复数平面上+ i 所在的点！

使用-1的虚构平方根，人们还发现了另外一个隐藏的宝藏，一个不可思议的发现：我们的普通三维空间可以与时间合二为一形成一个符合四维几何规律的四维图像。我们将在下一章讨论爱因斯坦的思想及他的相对论时再详述这一发现。

(1) 在小学的几何学课程上，毕达哥拉斯定理是这样呈现的：3 ² +4 ² =5 ² 。

(2) 运用丢番图的理论（取 a 和 b 两个数并且2 ab 为完全平方数。设 、 、 ，则 x ² + y ² = z ² ，普通的代数学就可以轻松证明这一理论），我们可以列出所有可能的解，其中前面几个是：

3 ² +4 ² =5 ²

5 ² +12 ² =13 ²

6 ² +8 ² =10 ²

7 ² +24 ² =25 ²

8 ² +15 ² =17 ²

9 ² +12 ² =15 ²

9 ² +40 ² =41 ²

10 ² +24 ² =26 ²

(3) 要算出其他很多数字的平方根也很简单。例如， ，因为：(2.236…)×(2.236…)=5.000…； ，因为：(2.702…)×(2.702…)=7.300…

(4) csnDrEIAaxXt8hb6DmyLvgHnLQJurk16IVlevlQi792ftvpjl9zS4SFk2q7Rlp4j