6.2 泊松分布

泊松（Poisson）分布更多地专用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某罕见事件发生次数的分布，该分布由法国数学家SD POISSON（1781-1840）首先提出而得名。如某种细菌在单位容积空气中出现的情况，某段时间特定人群中某种恶性肿瘤患者的分布，放射性物质在单位时间内的放射次数，单位空间某种昆虫数的分布等。泊松分布有以下性质：

（1）总体均数等于总体方差。

（2）可加性。如果X ₁ ，X ₂ ，…，X _k 相互独立，且它们分别服从参数为λ ₁ ，λ ₂ ，…，λ _k 的泊松分布，则T=X ₁ +X ₂ +…+X _k 也服从泊松分布，且参数λ=λ ₁ +λ ₂ +…+λ _k 。

（3）正态分布近似性。λ无限大时，泊松分布趋近于正态分布N(λ，λ)。

（4）二项分布近似性。在p很小，样本含量n趋向于无穷大时，二项分布趋近于泊松分布。

在分析了泊松分布的特点后，我们来计算泊松分布的概率大小。

不妨记单位时间内某事件发生的次数为X，若它服从泊松分布，那么单位时间内事件发生次数为x的概率为

这也称做泊松分布的密度概率函数。其中，X的取值为整数x，e=2.718为自然对数的底。λ为均数，是泊松分布的唯一参数，因此常将泊松分布记为X～P(λ)。

由式6-3可以推出，单位时间内事件发生次数不超过x的概率是：

式（6-4）也称泊松分布的累积概率函数。

6.2.1 使用泊松分布函数

利用Excel 2013自带统计函数“POISSON”则可以准确地计算出给定参数条件下泊松分布的概率值，其格式公式为POISSON(x，λ，cumulative)

其中，x 为事件发生的次数，λ 为期望值，cumulative 为一个逻辑值，确定所返回的概率分布形式。如果cumulative为1，则函数POISSON返回泊松累积分布概率，即随机事件发生的次数不超过x；如果cumulative为0，则返回泊松概率密度函数，即随机事件发生的次数恰好为x。

实验6-3：已知某医院单位时间内前来就诊的病人数服从参数为30的泊松分布，那么这段时间内就诊病人人数为40的概率是多少？原始数据文件如图6-7所示。

实验的分析过程和具体步骤如下：

如图6-7所示，就诊病人人数为40，即x=40，在单元格A3中输入40；参数为30，即λ=30；求单位时间内就诊病人人数是40的概率，即求概率密度值，所以cumulative=0。然后，在单元格C2中输入“=POISSON（A2，B2，0）”，其中A2，B2，0分别代表x，λ，cumulative的值，按下Enter键便可得到如图6-8所示的计算结果，即给定参数下，就诊病人人数为40的概率值。

图6-8的表格中单元格C3中的值0.013943就是就诊人数为40的概率值。

6.2.2 泊松分布的概率分布图的绘制

在分析和研究泊松分布时，与二项分布类似，为了更直观地展现出泊松分布的特点，我们经常绘制泊松分布的概率分布图。Excel 2013中提供了非常强大的泊松分布绘图功能，绘图方法也是多种多样。

实验6-4：绘制P(λ)的概率分布图，其中λ=5。原始数据文件如图6-9所示。

实验的分析过程和具体步骤如下：

（1）先计算x取遍0～20时分别对应的概率值。如图6-9所示，在单元格A2～A22中依次输入0～20，在单元格B2～B22中都输入5，求概率密度值，所以cumulative=0。在单元格C2中输入“=POISSON（A2，B2，0）”，其中A2，B2，0分别代表x，λ，cumulative的值，按下Enter键，然后选中单元格C2，向下拖动公式至单元格C22，得到如图6-10所示的计算结果。

（2）同时选中区域A1:A22和区域C1:C22，然后选择“插入”选项卡，执行“图表”组内的“散点图”下的“仅带数据标记的散点图”命令，得到如图6-11所示的P(λ)的概率分布图。