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对一批产品的质量指标进行测试，可以得到一系列质量特性值数据。由于某些因素的影响，在同样生产条件下生产出的一批产品的质量特性值不可能完全相同，即存在变异或波动。为了观察分析产品质量特性值的变异规律，首先要对测试所得数据进行整理。
整理测试所得数据，可以按其数值的大小从小到大或从大到小顺序排列，也可按测得数据的时间先后顺序排列。
【例2-2】测得一批数据，按其数值从小到大顺序排列如下：
19，20，20，21，21，21，21，21，21，22，22，22，22，22，22，22，22，22，23，23，23，23，24，25，25，26，26，26，26，27
首先可以看出，其中最大值为25，最小值为19。最大最小值之差为6，称为极差，用R表示，亦即这批数据的数值变动范围。其次，大部分数据集中在21～23之间。由此可以大致了解这批数据的变异情况。
又如，为了解某产品质量的变异情况，可以逐月或者逐日统计其合格品率和不合格品率。
从上面的数据中还可以看出，有些数值多次重复出现。某个数值反复出现的次数，称为频数，用f t 表示。频数与数据总数（∑f t ）之比，称为频率（m t ）。将数据及数据的频数、频率整理如表2-3所示。
表2-3 数据及数据的频数、频率
当需要整理的数据很多时，若仍对每个数据进行统计和计算，则工作量很大，很不方便。此时，应先将数据按大小顺序排列，并按一定间隔（组距）进行分组，然后统计计算各组内数据出现的频数和频率。
分组的组距和组数可按下述方法步骤确定。
（1）从全部数据中找出最大值和最小值，并求出极差（应先去掉个别相差悬殊的异常数据）。
（2）将极差除以最小测量单位的1、2或5倍，并调整所得结果，然后对照相应表确定合适的组数，所用最小测量单位乘某个倍数的数值即为组距。数据的分组数如表2-4所示。
表2-4 数据的分组数
组数太少精度不高，组数太多则计算工作量大。一般常用的数据个数为50～100，故组数通常为6～10组。
（3）确定分组界限值以数据中的最小值作为第1组的中间值，最小值减去最小测量单位的一半，作为第1组的下界限值，下界限值加上组距得到第1组的上界限值，亦即第2组的下界限值。以此类推，可以确定各组的下、上界限，直到确定包括数据中的最大值的最后一组的上界限值。
直方图可以直观地描绘出整批产品的质量特性值分布情况，包括分布范围和聚集中心，是产品质量控制工作常用的一种准备工具。
通过直方图还可以观察整批产品的质量特性的分布情况是否正常，从而判断生产过程是否处于正常状态。当发生异常现象时，便于分析不正常的原因，及时采取有效的工艺技术措施，使生产过程保持正常状态，从而保证产品质量。
反映生产过程可能出现的一些状态的典型直方图如图2-8所示，但是现实生产生活中可能出现的直方图并不那么典型，一般会出现以下几种形态。
图2-8 生产过程可能出现的一些状态的典型直方图
（1）对称山峰型
由正常稳定的工序测得的产品质量特性值绘制的直方图，呈左右对称的山峰型，如图2-9（a）所示。
（2）左偏峰型
由于某种原因，使多数产品的质量特性值偏于下限位。例如，加工孔时调整刀具或控制进刀位置常使孔的直径实际尺寸分布中心靠近其规定的下界限位，往往出现这种直方图，如图2-9（b）所示。
（3）右偏峰型
例如，加工外圆时，常使其直径的实际尺寸靠近上限，而出现的这种直方图，如图2-9（c）所示。
（4）折齿型
作频数表求频数时，分组不当，组距不是最小测量单位的整数倍，则直方图呈凹凸不平状，像折了齿的梳子，如图2-9（d）所示。
（5）绝壁型
当工序精度不足，为保证产品质量，通过全数（100%）检查，根据剔除不合格品后所剩产品的质量特性值所作的直方图，易呈现此种形式，如图2-9（e）所示。
（6）双峰型
当两种不同分布的产品（例如分别在两台机床上加工出的同类产品）混在一起时，其直方图呈两个峰的形式，如图2-9（f）所示。
图2-9 典型直方图
（7）分立小岛型
当少数产品的原材料发生变化，或由于不熟练工人短时间顶班加工产品时，在直方图的旁边有形如小岛的矮方柱出现，如图2-9（g）所示。
从质量控制的角度而言，质量指一批产品的批质量、全部产品的批质量、生产中的质量和长期生产下去的质量，这些质量都是控制的对象。具体地说，要控制产品质量特性值的平均值和分散范围。描绘产品质量特性值的平均值和分散范围的最直观、最简单的方法就是频数分布直方图，简称直方图。
在确认直方图是正常型分布之后，直方图与给定公差的比较，是直方图的主要用途之一。比较的内容有两个方面，即直方图的宽度与给定公差带界限和直方图的分布中心与公差带中心的比较。具体可分为如下4种情况。
如图2-10所示，直方图的分布中心x-与公差带中心μ重合，直方图位于公差带范围之内，即直方图宽度Δ小于公差T。可以用关系式表达如下
式中：s为检测数据的标准差。
图2-10 理想直方图
如果产品质量特性值数据属于这种状态，其生产过程必定处于正常控制状态，产品可以免检。
高精度直方图的特点在于直方图的宽度Δ远远小于给定的公差T。由于直方图分布中心与公差带中心相互位置关系不同，又可分为两种情况，如图2-11（a）所示为中心偏离的直方图，即
如图2-11（c）所示的直方图，其分布宽度Δ仅为T的一部分，分布中心
与μ接近，即
说明图（a）的调整有问题，图（c）的调整虽无问题，但与前者一样，粗活（公差大的工件）在精度高的设备上加工，不经济。
直方图宽度Δ刚好等于公差范围，分布中心也位于公差带中心μ，即
这种直方图如图2-11（b）所示，显示了缺乏精度储备，只要调整稍有疏忽，就会出现不合格品。
这种直方图如图2-11（d）所示，其特点是其宽度Δ大于等于公差T，即Δ≥T，必然出现不合格品。不合格品的多少，取决于分布中心
与公差带中心μ的偏离大小。在工艺上应采取措施，否则，只能对产品进行全数检查，剔出不合格品。
图2-11 直方图
质量问题是以质量损失的形式表现出来的，大多数损失往往是由几种不合格引起的，而这几种不合格又是由少数原因引起的。因此，一旦明确了这些“关键的少数”，就可消除这些原因，避免由此所引起的大量损失。用排列图法，我们可以有效地实现这一目的。
排列图是为了对发生频次从最高到最低的项目进行排列而采用的简单图示技术。排列图是建立在巴雷特原理的基础上，主要的影响往往是由少数项目导致的，通过区分最重要的与较次要的项目，可以用最少的努力获取最佳的改进效果。
排列图是全面质量管理创始人朱兰博士移植帕累托原理用于质量分析的一种工具。朱兰博士提出：影响质量问题的原因很多，但各自的作用各不相同，在众多原因中总有少数原因对质量问题起着决定性作用，这些原因是影响质量问题的“关键的少数”。解决质量问题要抓住关键的少数原因，当关键的少数原因被解决后，质量问题就会得到大幅度解决。这样做的结果，就可以实现以最少的努力取得最佳的改进效果。
排列图按降序显示出这个项目（如不合格项目）在整个结果中的相应作用。相应的作用可以包括发生次数、有关每个项目的成本或影响结果的其他指标。用矩形的高度表示每个项目相应的作用大小，用累计频数表示各项目的累计作用。
第一步，确定所要调查的问题以及如何收集数据。
（1）选题。确定所要调查的问题是哪一类问题，如不合格项目。
（2）确定问题调查的期间。如自3月1日始，至4月30日止。
（3）确定哪些数据是必要的，以及如何将数据分类。如或按不合格类型分，或按不合格发生的位置分，或按工序分，或按机器设备分，或按操作者分，或按作业方法分，等等。
数据分类后，将不常出现的项目归到“其他”项目。
确定收集数据的方法，以及在什么时候收集数据，通常采用检查表的形式收集数据。
第二步，设计一张数据记录表，如表2-5所示，这是某铸造企业在调查铸件质量问题时的案例。
表2-5 不合格类型检查表
第三步，将数据填入表中，并合计。
第四步，制作排列图数据表，表中列有各项不合格数、累计不合格数、各项不合格所占百分比，以及累计百分比，如表2-6所示。
表2-6 排列图数据表
第五步，按数量从大到小顺序，将数据填入数据表中。“其他”项的数据由许多数据很小的项目合并在一起，将其列在最后，而不必考虑“其他”项数据的大小。
第六步，画两条纵轴和一条横轴，左边纵轴，标上件数（频数）的刻度，最大刻度为总件数（总频数）；右边纵轴，标上比率（频率）的刻度，最大刻度为100%。左边总频数的刻度与右边总频率的刻度（100%）高度相等。横轴上将频数从大到小依次列出各项。
第七步，在横轴上按频数大小画出矩形，矩形的高度代表各不合格项频数的大小。
第八步，在每个直方柱右侧上方，标上累计值（累计频数和累计频率百分数），描点，用实线连接，画累计频数折线（帕累托曲线）。
第九步，在图上记入有关必要事项，如排列图名称、数据、单位、作图人姓名，以及采集数据的时间、主题、数据合计数等。
不合格项目排列图如图2-12所示。
图2-12 不合格项目排列图
正如前面所述，排列图是用来确定“关键的少数”的方法，根据用途，排列图可分为分析现象用排列图和分析原因用排列图。
这种排列图与以下不良结果有关，用来发现主要问题。
（1）质量：不合格、故障、顾客抱怨、退货、维修等；
（2）成本：损失总数、费用等；
（3）交货期：存货短缺、付款违约、交货期拖延等；
（4）安全：发生事故、出现差错等。
这种排列图与过程因素有关，用来发现主要问题。
（1）操作者：班次、组别、年龄、经验、熟练情况以及个人本身因素；
（2）机器：设备、工具、模具、仪器；
（3）原材料：批次、种类；
（4）作业方法：作业环境、工序先后、作业安排、作业方法。
（1）分类方法不同，得到的排列图不同。通过不同的角度观察问题，把握问题的实质，需要用不同的分类方法进行分类，以确定“关键的少数”，这也是排列图分析方法的目的。
（2）为了抓住“关键的少数”，在排列图上通常把累计比率分为三类：在0%～80%间的因素为A类因素，也即主要因素；在80%～90%间的因素为B类因素，也即次要因素；在90%～100%间的因素为C类因素，也即一般因素。
（3）如果“其他”项所占的百分比很大，则分类是不够理想的。如果出现这种情况是因为调查的项目分类不当，把许多项目归在了一起，这时应考虑采用另外的分类方法。
（4）如果数据是质量损失（金额），画排列图时质量损失应在纵轴上表示出来。
如果希望问题能简单地得到解决，必须掌握正确的方法。
排列图的目的在于有效解决问题，基本点就是要求我们只要抓住“关键的少数”就可以了。如果某项问题相对来说不是“关键的”，我们希望采取简单的措施就能解决。
引起质量问题的因素有很多，分析主要原因经常使用排列图。根据现象制作出排列图，确定需要解决的问题之后，必然就明确了主要原因所在，这就是“关键的少数”。
排列图可用来确定采取措施的顺序。一般地，把发生率高的项目降低一半要比把发生问题的项目完全消除更为容易。因此，从排列图中矩形较高的项目着手采取措施能够事半功倍。
对照采取措施前后的排列图，研究组成各个项目的变化，可以对措施的效果进行验证。利用排列图不仅可以找到一个问题的主要原因，而且可以连续使用，找出复杂问题的最终原因。
散布图是研究成对出现的数据（每对数据在平面直角坐标系中与一个点一一对应）即两组变量之间相关关系的图示技术。
（1）函数关系
变量之间的关系完全可以用确定的公式进行计算时，称两组变量之间具有函数关系。如圆面积s与圆半径r的关系为s=πr 2 ；直流电路中电压U与电流I的关系为U=IR；匀速直线运动中，运动距离s与运动时间t的关系为s=tv等。
将函数关系写出标准式，如线性函数关系为y=ax+b；非线性函数关系为y=ax 2 +bx+c。线性函数关系的图像是平面直角坐标系中的一条直线。在散布图的研究中，对线性相关关系的研究是最重要的。
（2）没有关系
此类关系呈现非常弱的内在关联性，呈现混乱状态。
（3）相关关系
两组变量之间虽然有关系，但这种关系不能用确定公式进行计算时，称为相关关系；相关关系在平面直角坐标系中的图像即为散布图（又称散点图）。
① 对两组相关数据相关关系的研究必须包括相关性质（正相关、负相关）和相关程度（强相关、弱相关）。成对数据形成的散布图形同点子云，点子云的形态可以表达出相关性质和相关程度。
② 线性函数关系可以看作强相关的极限（称为完全相关），没有关系可以看作弱相关的极限（称为完全不相关）。若将线性函数关系及没有关系作为相关关系的特例，则可以说两组变量之间只有一种关系（相关关系）。
两个随机变量之间的关系如图2-13所示。散布图的典型图形如图2-14所示。
图2-13 两个随机变量之间的关系
散布图可以进行定性分析也可以进行定量分析（回归分析）。在质量分析及质量改进以至质量管理活动中，散布图有着广泛的应用前途，每一位质量管理工作者以及工程技术人员都应掌握散布图的应用。
虽然在统计技术应用中有一个基本原则，是数据越多分析误差越小，但必须保证所有数据必须在相同的条件下取得。散布图的每一对数据都是通过一次试验所取得的，当要求取得的数据过多时，试验的时间就要很长，很难保证试验的条件能保持不变。当试验条件发生变化时，必然会因试验误差加大而造成散布图的分析误差加大。一般取20～30对数据为宜。
图2-14 散布图的典型图形
根据数学规则，应将自变量x置于横坐标，因变量y置于纵坐标。
散布图的坐标轴应予以合理的刻度，应恰好等于试验的数据范围。刻度范围小于试验的数据范围时会造成丢失数据，而刻度范围大于试验的数据范围时又会使散布图变形，影响定性分析的准确性。
将数据表中成对的数据，在坐标系中打点，即完成散布图的作图。
（1）定性分析
散布图的定性分析一般有对照典型图分析法和简单象限法。
① 对照典型图分析法
对照典型图分析法是将所作的散布图与六种典型图形相对比，即可得到数据的相关性质和相关程度。这种分析方法误差极大，很可能不同的人会得到不同的分析结果。
② 简单象限法
简单象限法实际是应用假设检验中的符号检验法对相关性进行显著性检验。显著相关即为强相关，不显著相关即为弱相关。
简单象限法应用时，首先应在散布图中添加两条辅助线：
a.P线平行于y轴垂直于x轴，将平面上的点一分为二，即P线以左和P线以右的点数应恰好相等。
b.Q线平行于x轴垂直于y轴，将平面上的点一分为二，即Q线以上和Q线以下的点数应恰好相等。
P线和Q线将散布图分割为四个区域，称为四个象限，以右上角为第Ⅰ象限，逆时针顺序依次为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。根据四个象限中的点数即可判断数据的相关性质和相关程度。
（2）定量分析
散布图的定量分析即一元线性回归分析。
作散布图的数据必须来源于“人、机、料、法、环”相同的条件，对条件不相同的数据应按“人、机、料、法、环”分别进行分层，否则会造成分析结果的错误。
如图2-15所示，对图（a）的定性分析为不相关，但数据未分层，图（a）是分层后的散布图（为比较方便，A、B同绘于一图）；图（b）则为弱正相关；同样，对图（c）的定性分析为弱正相关，但数据未分层，图（c）是分层后的散布图（为比较方便，A、B同绘于一图）；图（d）为不相关。
图2-15 散布图分层与否的影响
作散布图时，应根据专业理论知识和实际工作经验，尽可能取值范围大一些，以避免在应用时造成错误的判断。
如图2-16所示，图（a）的x取值范围为0～8时，散布图为非线性相关；但当x取值范围缩小为0～4时，散布图图（b）为正相关；而当x取值范围缩小为4～8时，散布图图（c）为负相关。
图2-16 散布图取值范围的影响
同理，在图（d）中x取值范围为0～8时为正相关；但当x取值范围缩小为3～6时散布图图（e）为不相关。
作散布图时，横坐标轴与纵坐标轴大致应长度相等，而且必须在刻度值上恰好等于试验的数据范围，否则会造成对图形的视觉错误，影响定性分析的结果。
所谓分层法就是把混杂在一起的不同类型数据按其不同的目的分类，把性质相同、在同一种条件下收集的数据归并成一类，即将数据分类统计，以得出数据的统计规律。
分层的目的在于使同一层内的数据波动尽可能小，而使层与层之间的数据差异尽可能大地反映出来，以显示出分层法的作用和效果，否则就说明分层无效。为了实现这一目的，通常可按人、机、料、法、环、时间等条件作为分层的标志来对数据进行分层。在应用分层法对数据进行分层时，必须选择适当的分层标志，否则会因为分层标志选择不当而导致分层结果不充分，不能有效地反映客观事实。
分层法是一种十分重要的统计方法，实际上几乎在应用各种统计方法（如因果图、排列图、散布图、直方图、控制图等）的过程中，都可以结合应用。
现场处理数据往往按照下列方法分层。
可按工人的技术级别、工龄、性别和班次等进行分层。
可按不同型号、不同工具、不同使用时间等进行分层。
可按不同班次、不同日期等进行分层。
可按不同材料规格、不同供料单位等进行分层。
可按不同工艺、不同加工规程等进行分层。
可按不同工作环境、使用条件等进行分层。