1.2　人类如何测量地球的质量？

地球质量的测量，在科学史上具有举足轻重的地位。为了讲清楚此事的来龙去脉，让我先从一次著名的打赌事件说起。

1683年的一天，三位英国皇家学会的院士在伦敦聚会，然后约在一起吃晚饭。这三人分别是埃德蒙多·哈雷、罗伯特·胡克和克里斯托弗·雷恩。

前两人的名字可能会让你觉得颇为耳熟。埃德蒙多·哈雷就是哈雷彗星的那个哈雷，而罗伯特·胡克则是胡克定律的那个胡克。这两人都是科学史上的巨人，其科学成就远远不止于此。在后面的旅程中，我会详细地介绍他们的科学贡献。

而名气较小的克里斯托弗·雷恩，早年是牛津大学的天文学教授。但在1666年，伦敦发生了一场大火，把整个伦敦城区都付之一炬。在英国国王的任命下，雷恩主持了灾后重建的工作；从那以后，他就转行当了一名建筑师。英国有很多有名的建筑，例如圣保罗大教堂、格林尼治天文台和剑桥图书馆，都是雷恩的作品。虽然雷恩后来已经不怎么做天文学方面的研究了，作为英国皇家学会的元老，他还是于1680年当选为英国皇家学会的会长。

晚饭期间，三位院士聊到了太阳系天体的运动。早在17世纪初，大天文学家开普勒就已经发现太阳系的各大行星都在沿椭圆轨道绕太阳旋转。但大半个世纪过去了，一直没人能解释为什么它们的运动轨道会是椭圆形的。雷恩就在这个饭局上发起一个赌约：要是有人能解释行星为何会沿椭圆轨道运动，他就奖励那人40先令，这相当于当时一个大学教授半个月的薪水。

顺便说一句。以今天的眼光来看，这完全是个搞笑性质的赌约。要别人解决全世界最大的科学难题，所给的奖励竟只有一个大学教授半个月的薪水。

胡克是个吹牛大王，当场表示他已经解决了这个问题。不过，他不愿意立刻公布这个问题的答案。他的理由是，要是太早公布答案，就会剥夺别人寻找答案的乐趣。当然，这次晚饭之后，胡克就把要公布答案的事给“忘了”。

但哈雷对这个问题着了迷。他不相信胡克能找到问题的答案，但他知道这世上确实有一个人，有能力破解其中的奥秘。所以在1684年8月的一天，哈雷专程前往剑桥大学，去拜访这个神龙见首不见尾的绝世高人。想必你已经猜到了，这个注定要改变历史进程的高人，就是大名鼎鼎的艾萨克·牛顿（图1.8）。

牛顿是有史以来最伟大的两位科学家之一。他是世界上第二个被册封为爵士的科学家（第一个是弗朗西斯·培根），也是世界上第一个享受国葬待遇的科学家。法国启蒙思想家伏尔泰目睹了牛顿的葬礼，并在回忆录中写道：“英国人悼念牛顿就像悼念一位国王。”后世对牛顿有数不清的赞美。其中流传最广的是英国诗人亚历山大·蒲柏的一首诗：Nature and nature's laws lay hid in night; God said "Let Newton be" and all was light.（道法自然，旧藏玄冥；天生牛顿，万物生明。）

世界上有很多惊天动地的大事，都源于一些相当不起眼的小事。牛顿之所以能获得如此的盛名，很大程度上就源于哈雷的这次拜访。

在继续讲故事之前，让我们先来简单地回顾一下17世纪人们对引力的研究。现在我们已经知道，任意的两个物体间都存在引力，且引力的大小与这两个物体的质量成正比，而与它们距离的平方成反比，这就是引力的平方反比律。

现在很多教科书都说，引力的平方反比律是牛顿提出的。事实上，这种说法是错的。早在1645年，也就是牛顿出生后的第3年，法国天文学家布利奥（图1.9）就提出了这个平方反比律。不过布利奥犯了一个很大的错误：他误以为两个物体之间有时存在引力，有时又存在斥力。

随后，意大利物理学家博雷利（图1.10）也在自己的书中猜测，太阳系的所有行星都受到了太阳的引力，且太阳的引力满足平方反比律。

到了17世纪70年代，胡克也开始大力宣扬平方反比律；他甚至在一封私人通信中，向牛顿大力宣扬了这个理论。但类似于布利奥和博雷利，胡克同样无法证明平方反比律的正确性。

为什么胡克等人都无法证明平方反比律是正确的呢？答案其实很简单。前面说过，早在17世纪初，开普勒就提出了著名的开普勒三定律，揭示了太阳系的各大行星都在沿椭圆轨道绕太阳旋转。要想证明引力的平方反比律，就得证明受到这种引力的行星，其运动轨道一定是一个椭圆。换句话说，就是要从平方反比律出发，最后推导出开普勒三定律（图1.11）。但问题在于，要想达到这个目的，就必须使用当时还不存在的一种数学工具，那就是微积分。

说到这里，你就能明白牛顿的特殊之处了。作为微积分的发明者，牛顿是当时全世界唯一一个有能力破解这个超级世纪难题的“天选之人”。

但牛顿有一个怪癖：他不喜欢发表自己的研究成果。因此，尽管他早已破解了这个科学史上大名鼎鼎的世纪难题，却一直秘而不宣。要是没有意外，它很可能会被当成一个秘密，被牛顿带进坟墓。

因此，1684年8月的这次哈雷和牛顿的会面，就成了一个真正意义上的历史转折点。整个人类科学史，甚至是整个人类文明史，就此改写。

寒暄了几句后，哈雷就开门见山地问牛顿：“如果太阳与其他行星间的引力满足平方反比律，那么这些行星的运动轨道将会是什么样的？”

牛顿不假思索地回答道：“当然是个椭圆。”

哈雷大为惊讶，马上追问：“你是怎么知道的？”

牛顿泰然自若地回答道：“我早就算过了。”

激动不已的哈雷，马上要求看牛顿的计算过程。而牛顿在故纸堆里翻了半天，什么也没有找着。不过，他答应哈雷，会重新计算一遍，并把它写成一篇论文。

两年后，牛顿兑现了自己的诺言。事实上，他所做的比他承诺的要多得多。他交给哈雷的不是一篇论文，而是一本书，那就是《自然哲学的数学原理》（图1.12）。在这部有史以来最伟大的学术著作（没有之一）中，牛顿基于欧几里得开创的公理化体系，提出了牛顿力学三定律和万有引力定律，从而完成了物理学史上的第一次革命。

这本书让哈雷佩服得五体投地。此后他逢人便说，牛顿是这个世界上最接近神的人。持类似观点的人还有后来与牛顿争夺微积分发明权的大数学家莱布尼茨。他曾说过，牛顿在科学上的贡献超过以前所有人的总和。

事实上，哈雷对人类文明最大的贡献就是促成了《自然哲学的数学原理》这本书的出版。英国皇家学会本来已经同意出版这本书，但没过多久又变卦了。这是因为皇家学会刚刚在一本叫《鱼类志》的书上赔了很多钱，怕在一本极度晦涩难懂的书上继续赔钱。所以哈雷干脆自掏腰包，垫付了这本书的全部出版费用。1687年，这部划时代的科学巨著正式出版。这让牛顿立刻名满天下，从而直接登上了科学的神坛。

一次饭局上的打赌，最后竟然促成了有史以来最伟大的学术著作的出版。这应该算是蝴蝶效应的最佳例证了。

顺便说件比较搞笑的事情。皇家学会由于在《鱼类志》上赔钱太多，无力支付哈雷为学会当秘书的工资，所以就把一些卖不出去的《鱼类志》寄给他当薪水。

言归正传。知道了万有引力的概念以后，我们就可以讲讲该如何测量地球的质量了。

众所周知，地球上的所有物体都会受到重力的作用，而这个重力源于整个地球对它的万有引力。这可以用一个非常简单的公式来描述：

这个公式的左边是物体受到的万有引力，右边则是它受到的重力。其中的 m 是物体的质量，化简时可以消掉； g 是重力加速度，约等于9.8米／秒 ² ； R 是地球的半径，约等于6400千米（上一节已经讲过如何测量地球的周长，由此可以推算出地球的半径）。这样一来，不知道的物理量就只剩两个：牛顿引力常数 G 和地球质量 M 。换言之，只要能用别的办法测出牛顿引力常数，就可以算出地球的质量。

而世界上第一个测出地球质量的人，是英国物理学家亨利·卡文迪许（图1.13）。

卡文迪许有两个非常鲜明的特点。第一，他完全不追求任何名利，不管做什么事都是从个人兴趣出发。这倒不奇怪，因为他本身就是全英国最富有的大贵族之一，根本用不着再去追求什么名利了。

第二，他患有非常严重的社交恐惧症。严重到什么地步呢？他不愿意与任何人见面，就连他的管家也只能通过书信的方式来和他交流。卡文迪许只参加一个社交活动，那就是在博物学家班克斯家里举行的每周一次的科学界聚会。但所有想和他交流的人，都必须使用对待“隐形人”的交流方式。也就是说，你得漫不经心地晃悠到他的附近，在不看他的情况下，对他身边的空气讲话。要不然，卡文迪许就会尖叫一声，然后逃到没人的地方。

这两个特点导致了一个非常诡异的后果：卡文迪许一生中做出了一大堆相当重要的科研成果，但只是把它们写进手稿，而没有写成论文发表。在不愿发表论文这件事上，他比牛顿还要极端。结果这些科研成果后来又被其他人重新发现，然后被冠以那些人的名字。比如说，大家在中学物理课本上学过的库仑定律、欧姆定律和道尔顿定律，其实都是卡文迪许最早发现的。

当然，凡事总有例外。卡文迪许一生中做过的最有名的科学实验，也就是对引力常数 G 的精确测量，最初的创意却不属于他，而属于一个名叫约翰·米歇尔的牧师。

由于米歇尔没有留下任何画像，没人知道他具体长什么样；只有一些文字记载告诉我们，他是一个身材矮小、皮肤黝黑的胖子。但这个其貌不扬的人，却有一段不平凡的过往。他曾在剑桥大学皇后学院任教多年，还曾当上了这个学院的学监。但由于一些意外的变故，他不得不辞去剑桥大学的职位，跑到外地去做了一个教堂的主管。

米歇尔最早提出，有可能存在一种质量特别大的恒星，其引力强到就连光也无法从它的周围逃逸。这样一来，人们就永远看不到它。米歇尔把这种看不见的恒星称为“黑星”。这就是著名的“黑洞”概念的起源。

他也自己做了一套实验装置，想要用它测量引力常数 G 的大小。可惜的是，米歇尔还没来得及做这个实验，就因病去世了。这套装置几经辗转，就到了卡文迪许的手里。1797年，卡文迪许对它进行了改进，然后用它完成了著名的卡文迪许扭秤实验。

图1.14就是卡文迪许扭秤实验的原理图。可以看到，此装置有一个倒T形的轻杆，它下面的两端连着两个质量相同、均为 m 的小球，而从中间伸出去的那端则连着一个小平面镜。把这套装置悬挂起来，然后用一束光去照那个平面镜；这束光会被平面镜反射，然后打到旁边的一把尺子上。

接下来，在这两个小球的旁边，再放置两个质量一样、均为 M 的大球。由于大球的引力，悬挂着的倒T形杆会发生一个微小的偏转。这样一来，入射光与平面镜之间的夹角会发生一个微小的改变，从而使光线打到尺子上的位置发生一定的偏移。通过测量这个位置的偏移，就可以计算出大球与小球之间的引力大小，进而测出牛顿引力常数 G 。

这个实验的精妙之处在于，它把非常难测的引力大小，转化成了容易测的位置变化，从而让牛顿引力常数的精确测量成为可能。

利用这套装置，卡文迪许测得的牛顿引力常数是6.754×10 ^-11 牛·米 ² ·千克 ^-2 。而今天，最新的引力常数测量值是6.674×10 ^-11 牛·米 ² ·千克 ^-2 。换言之，卡文迪许在200多年前测出的结果，与目前最新的结果相比，只有区区1%的误差。

用这个牛顿引力常数的测量值，可以算出地球的质量大概是6×10 ²⁴ 千克。

我们来做个总结。由于一场饭局上的赌局，哈雷于1684年8月来到剑桥大学，拜访了离群索居的牛顿。此次拜访就像第一张倒下的多米诺骨牌，最终促成有史以来最伟大的学术著作，即《自然哲学的数学原理》，在1687年正式出版。在这本巨著中，牛顿提出了万有引力定律，从而为测量地球的质量带来了曙光。1797年，卡文迪许通过扭秤实验，相当精确地测出了牛顿引力常数的大小，进而算出地球的质量大概是6×10 ²⁴ 千克。

早在18世纪末，人类就已经测出了地球的质量。你可能会觉得，那么下一个课题，也就是地球年龄的测定，应该就不是什么难事了吧？大错特错。事实上，一直要等到1955年，也就是人类发明计算机和原子弹的10年后，才有人准确地测出了地球的年龄。 cD8e7sfsus7yGnGpdewZ1Sk/xQk3nCKwWwPQBKJ6IiJQXpIX2Ck4Z1mEyF3ml8NN