1．三门问题

第1章中介绍了一个与几何概型有关的贝特朗悖论，贝特朗于1889年还提出了另一个贝特朗盒子悖论，实际上不算是“悖论”，因为它没有逻辑矛盾。但它是一个与博弈论相关的有趣的数学游戏：三门问题。

这个问题有好几个等效版本，最早一版的日期可追溯到19世纪的贝特朗，该问题在数学本质上也等同于马丁•加德纳在1959年提出的“三囚犯问题” 。不过这些老版本长时间都默默无闻，只是在100多年之后的1990年左右热门了一阵子。它在公众中引起热烈的讨论，其原因要归功于美国一个从20世纪80年代一直延续至今的著名电视游戏节目Let‘s Make a Deal。由此例也足以可见现代媒体在公众中普及科学知识的威力。当年的节目主持人蒙特•霍尔（Monty Hall）善于与参赛者打心理战，经常突如其来地变换游戏规则，给参赛人和观众都来个猝不及防，既使得观众们困惑不已，又迫使参赛者“脑筋急转弯”（图2-1-1），三门问题及各种变通版本便是他经常使用的法宝。后来有人便将此游戏以主持人的名字命名，称之为蒙特•霍尔问题 。

在三扇关闭了的门后面，分别藏着汽车和两只山羊。如果参赛者选中了后面有汽车的那扇门，便能赢得该汽车作为奖品。显而易见，这种情况下，参赛者赢得汽车的概率是1/3。

不过，主持人有一次稍微将游戏规则改变了一点点。当参赛者选择了一扇门但尚未打开之际，知道门后情形的主持人说：“等等，我现在给你第二次机会。首先，我将打开你没有选择的两扇门中有山羊的一扇，你可以看到门内的山羊。然后，你有两种可能性：改变你原来的选择（交换），或者保留原来的选择（不交换）。”

主持人的意思是说，在参赛者选择之后，他打开一扇有山羊的门，留下一扇未开之门，让参赛者决定要不要将原来的选择与剩下的未开之门“交换”？

要不要交换呢？我们不从“碰运气”而是从“概率”的角度来思考这个问题。问题是：

如果不交换，保持原状的话，得汽车的概率是1/3。如果交换的话，是否能增加抽到汽车的概率呢？实际上，学界及公众对此问题争论颇久，我们仅叙述主流观点。

答案是“会”。转换选择（交换）可以增加参赛者的机会，如果参赛者同意“换门”，他赢得汽车的概率从1/3增加到2/3。

让我们来分析一下整个游戏过程中，参赛者做出的不同选择会产生的各种具体情况，以及在这些情况下选择“交换”后的结果。

参赛者指定3道门中的一道，有三种可能的情况，每种选择的概率相等（1/3），见图2-1-2中的（a）、（b）、（c）。

（a）参赛者挑选有汽车的第1道门，主持挑两头羊的任何一头，开门。交换将失败。

（b）参赛者挑选有羊的第2道门，主持人打开第3道门。交换将赢得汽车。

（c）参赛者挑选有羊的第3道门，主持人打开第2道门。交换将赢得汽车。

在后两种情况，参赛者均可通过转换选择而赢得汽车，只有第一种情况将使得参赛者因转换选择而倒霉。参赛者的转换选择，使得三种情况中的两种赢、一种输，所以选择“交换”，将赢的概率增加到2/3。

也可以换一种思维方式来理解这个问题。因为在3道门中，有2道门后是羊，1道门后是汽车，所以参赛者最初选到汽车的概率是1/3，选到羊的概率是2/3。如果参赛者先选中汽车，换后一定输；如果先选中羊，换后一定赢。因此，选择“交换”而赢的概率，就是开始选择羊的概率，为2/3。

也许以上解释仍然有些使人困惑之处，但如果将门的数目增加到10道门（主持人开启8道有“羊”的门，留下1扇）、100道门（主持人开启98道有“羊”的门，留下1扇），甚至1000道门（主持人开启998道有“羊”的门，留下1扇）。这些情况下，主流观点认为参赛者选择“交换”使概率增加的结论便显而易见了。

例如，图2-1-3显示的是10道门的情形。

如果门的数目增加到10，其中9道门中是羊，1道门中是汽车。参赛者开始选中3号门，但3号门是汽车的概率只有1/10。然后，主持人开启了8道有羊的门，剩下2号门以及参赛者选中的3号，并问参赛者是否要“交换”？

这次参赛者的脑袋比较清醒：3号门是汽车的可能性是1/10，似乎剩下的9/10的可能性都在2号门上，交换使得概率增大9倍，当然要换！ gvzIhO5pDeQe7M5N1iG4C22HTLpC6QICKkw85wvVxP7iykBMIWrgp7BvGKTlfpwi