1926年1月26日
波动方程的建立
——薛定谔

1925年到1926年，是量子力学的一个奇迹年，在这一年，仅相隔6个月就相继诞生了量子力学的两大理论——矩阵力学与波动力学。这两件大事，犹如两颗巨石投入水中，掀起了巨大的波澜，不仅冲击到了老一代物理学家，也激发起了更年轻一代的活力。两支理论形成了两大学派，把整个物理学界卷入到一场热烈而持久的纷争之中。纷争推动着理论的发展，也开启着新思想，互补性原理、波函数“坍缩”、量子的纠缠态等原理在争辩中诞生并成熟，量子力学第三代新人也在这场大争辩中孕育成长起来，他们成为量子理论发展的第三梯队，掀起了量子力学理论与实验研究的新高潮，由此相继发展起来量子场论、标准模型、粒子物理甚至宇宙学的量子理论。

像海森堡一样，量子力学奠基人埃尔温·薛定谔（ 图1 ）也曾是位“少年奇才”。他热爱数学并精于数学，不仅把数学用于开拓量子理论，由此创建了举世闻名的波动力学，还把数学应用到了广义相对论、宇宙学、气象学、声学、放射学、介子物理、量子场论、天体物理、光学、统一场论，甚至生命科学的研究之中。

尽管薛定谔取得了很多的成果，但在量子理论的研究上，他起步很晚，行进也缓慢而曲折。在创建波动力学时，薛定谔已年近40岁，而海森堡建成矩阵力学时年仅24岁，相差了近一代人的时间。

薛定谔起步晚是有其原因的。1906年薛定谔进入维也纳大学，师从著名物理学家玻耳兹曼学习理论物理，然而不到半年，玻耳兹曼因严重的抑郁症在意大利罗马自杀身亡。玻耳兹曼的去世，使踌躇满志的薛定谔失去了追随的目标，在早期科学生涯中，他缺少了一个领航者。

在1921年到1922年间，物理学处于量子力学大发展前夕，在这“山雨欲来风满楼”的重要时刻，许多有价值的著作和论文相继问世。在参加第4届索尔维物理学大会时，薛定谔意识到研究电子是物理学发展的主流，可是他却拿不出任何像样的论文来。这件事对薛定谔刺激很大，他反省了几年来的研究，正如他若干年以后所说：“在我的科学生涯中，我始终没能沿着一条主线前进，也没有一个成果能够确定我长时间的发展方向。……尽管有了一些成绩，可从来没有哪一个是领先的，不是二手的，就是在附和别人之后，或是在反驳别人的激发下完成的。虽然有时这种延伸的成果看起来也很重要，但终归是一种连接关系罢了。”说这话的时候，薛定谔已经34岁了。

在近代量子物理领域，处于前沿的物理大师们成名的巅峰年龄大多是二十几岁，最多也是30岁出头。爱因斯坦提出光量子论时26岁，海森堡建立矩阵力学时24岁，狄拉克提出著名方程时25岁，泡利提出不相容原理时25岁，玻恩提出波函数统计性诠释时30岁，德布罗意提出波粒二象性时31岁……，薛定谔猛然意识到危机，已经34岁的他却还没有选定研究方向。

此时，苏黎世大学正在遴选外来教师，看完薛定谔的申请书，教授委员会对他的评价是：“薛定谔在力学、光学、声学、毛细现象、导电性、磁性、放射性、引力论等多方面都具有成果。”虽然他是通晓多领域的全才，但是“没能在任何一个特别的领域中做出瞩目性的成果”，甚至有人认为，“正是这样宽广的兴趣和多面手的能力，他不可能有什么重大的发现。”然而，事实证明，这个断言为时过早，薛定谔大器晚成，他艰难而曲折地接近了量子理论的前沿，最终步入了巅峰。

在苏黎世大学，薛定谔的授课任务十分繁重，在刚进入这所大学的第一个学期，他每周讲授4学时分析力学、4学时电学理论，2学时理论物理专题讨论和1学时的物理学进展报告。在理论物理课中，还有一门“可变形体动力学”，这是一门超难的课，正是这次授课的机会，使他熟悉了张量的运算。除授课外，他还有科研课题，除延续过去的相对论、电子论、色彩学、热力学与统计力学方面的课题以外，他开始新增了玻尔的原子量子论。玻尔、克拉默斯和斯拉特的联合论文，即被称为BKS的理论刚一问世，就受到了薛定谔的关注。1924年9月5日，薛定谔通过计算发表了对这一理论的讨论。由此看出，薛定谔正在缓慢地接近原子量子论的研究前沿。

正如薛定谔对自己的评价，多年来，在“附和别人或反驳别人的激发下”做“二手”研究的习惯，使他非常善于从别人发现的东西中进行别人从没有过的思考，从而得到别人没有得到的东西。1924年，法国物理学家路易斯·德布罗意发表了关于微观粒子波粒二象性的论文，而这篇论文正是薛定谔创立波动力学的一个意想不到的起因。

像很多科学家那样，薛定谔也有特殊的嗅觉。在准备“分子统计学”这门课时，他找到了一个值得研究的课题，开始从量子论角度研究气体理论。1925年12月13日，他完成了“关于爱因斯坦气体理论的研究”的论文。这篇论文以量子论为基础，以熟练而精湛的数学推导，精确而细致的理论分析，采用了概率统计的评价方法，推导出爱因斯坦-玻色气体统计规律。从这篇论文可以看出，他已经熟悉了德布罗意关于物质粒子的波动性理论，这篇论文成为薛定谔创立波动力学前夕闪亮登场的一笔。

1925年冬季学期的课开始了，受到呼吸系统疾病的困扰，他的身体依旧不好，授课任务还是非常繁重，他一周有5学时的电磁理论课、2学时的光谱理论课，此外还有2学时的电磁学课程专题讨论，同时还要给苏黎世联邦理工学院（Eidgenössische Technische Hochschule,ETH）做每两周一次、每次2学时的专题讲座，这一讲座需要紧跟当时物理学前沿课题的发展，在近代物理迅猛发展的当时，其难度可想而知。此时德布罗意的论文在学生中引发了讨论热潮，ETH物理系主任德拜建议薛定谔为这个讲座开出关于波粒二象性理论的专题报告。

苏黎世联邦理工学院的物理讲座具有很高的声誉，曾影响了一代物理新人。在当时，量子力学的第三代人物，例如冯·纽曼和菲利斯·布洛克就在听这个讲座。这一年的11月23日，薛定谔在ETH开出了关于德布罗意论文的讲座。可能是期望太高，第一次讲座之后，德拜不很满意，但是第二次的情况就大不同了。德拜的学生布洛克后来回忆说：“（当时）德拜很不满意地说，这个报告简直太‘幼稚’了。早在当索末菲学生的时候，他就知道了波动该有什么样的性质，也知道应该由一个方程（来表述）。可是两个星期之后的另一次讲座上，薛定谔在上课的开场白就说，‘我的朋友德拜建议我，应该拿出一个波动方程来，好，现在我找到了这个方程！’”薛定谔的波动力学就在这次讲座中亮相了（ 图2 ）。

薛定谔的波动理论究竟是在什么时间建成的，严格的时间并不可考。薛定谔有随时记录的习惯，他随身的笔记很多，虽然根据课题内容与进程，这些笔记也有分类，但是多因随时所写而没有标注日期。1925年圣诞节休假期间，薛定谔去往阿洛萨度假，此时他的心情极好，似乎就在这一时期，他的波动力学研究有了明显的进展，许多人认为波动力学就诞生在这次度假之中。度假期间，在他写给好友威廉·维恩（Wilhelm Wien）的信中说：“这时，我正为这个新理论苦苦挣扎着。如果说能有一个人知道这里面的数学之美，那就是我。对这事我相当乐观，只有我能把它解出来，它是一个完美的理论，真是太美了……，我需要做的就是再做一点细节上的补充，使它更容易看得懂……，这是一个不大为人所知的类似贝塞尔的线性微分方程，我期望着尽快把它发表出来。”

薛定谔的这封信表明，他此时不仅得到了定量条件下具有全部本征值的波动方程，而且已经尝试着求解了。薛定谔的波动方程形式如下：

在当时，他还没有把三维波动方程的分量式分离出来，也不可能发现方位角和磁量子数如何从方程的角分量中显现出来，因此这个理论应该还没有最终完成。

有了波动方程之后，薛定谔的第一步是分离变量。在单电子球对称的情况下，首先得到它的电势能，获得球对称情况下的3个标准微分方程。其中之一称作射线方程，这个方程最令薛定谔感到头疼。度假过后回到苏黎世，他闭门不出终日对付它，此时还处于假期，就连苏黎世大学物理系的系主任施拉金豪森（Schlaginhausen）邀请他去滑雪，他都谢绝了。1926年1月11日，他终于找到了方程解，后人称这个解为柯林-高登方程（Klein-Gordon-Equation），然而令他感到困惑的是，把这个解与实验结果比较，发现明显地不符。后来证明，问题出在整个理论框架中没有计入电子的自旋，而在当时电子的自旋尚未被发现。但是这个解对于自旋为零的粒子来说，已经算是相当完美了。

不鸣则已，一鸣惊人，薛定谔终于完成了波动力学论文。他分两次寄出，第一篇投寄到《物理年鉴》杂志，杂志编辑部收到的时间是 1926年1月26日 ，题目是“本征值问题的量子化”。4周之后，他以同样的题目发表了第二篇论文，接着在未来的不到半年的时间里，他才思泉涌，一连发表了6篇论文。薛定谔的研究方法非常巧妙，通过力学和光学之间的哈密顿类比，不仅推导出了波动方程，还进一步分析了波动力学与几何学的关系，讨论了波动方程在单电子谐振动和双原子分子理论中的应用，得到了与实验数据一致的结果。特别值得一提的是，薛定谔以非常优雅的数学形式在力学和光学中做出类比，从中表述了量子的波动规律。这6篇论文创立了波动力学的完整框架，系统地回答了当时已知的各种量子现象。这一理论所具有权威性与前瞻性使其成为科学史中绝无仅有的佳作。

薛定谔的成果令整个物理界为之震惊，对量子论的鼻祖普朗克的触动最大。他说，在读到第一篇论文时，他“就像小孩子被谜语困扰很长时间后，突然知道了谜底那样的兴奋。”他更赞赏第二篇论文，称它“是一篇划时代的杰作”。爱因斯坦说：“论文所透露的思路，来源于一个真正的天才！”著名奥地利裔荷兰物理学家埃伦费斯特说：“我简直被你的这个方程以及它所散发出来的新视点彻底地迷住了！最近两周以来，我们这个研究小组每天几个小时地站在黑板前，研究着它的每个细节。”不久，爱因斯坦又发来一封信说：“你的量子条件下的数学理论取得了决定性的进展，我确信，海森堡和玻恩的（矩阵力学）方法已经失去了领先地位。”虽然爱因斯坦说出此话为时尚早，但却提醒了薛定谔，他将面临一场挑战，这就是如何对付同一时期出现的另一个量子力学理论——矩阵力学。

果然，两个量子力学理论终于发生了直接的碰撞。在薛定谔完成了波动力学方程的6篇论文之后，他已经成为世界知名人物，对外的联系也增多了。1927年7月23日，薛定谔受到德国科学院邀请，在德国科学学会巴伐利亚分会上，做关于波动力学的报告，量子力学的矩阵力学创始者海森堡也到场了。在薛定谔做报告的时候，海森堡耐着性子静听，一言不发。报告即将结束，海森堡终于忍耐不住站了起来，他不客气地指出，薛定谔的波动力学不能解释一些基本的物理现象，例如不能解释普朗克的辐射定律，不能解释康普顿效应，甚至连原子的特征谱线的强度都不能给予解释，因为这些都表现了不连续性的量子特征，或者说与量子跃迁的特征有关。在这一连串的攻击之下，会议的主持人，也是海森堡的老对头，哥廷根大学的实验物理学家维恩强令海森堡坐下，还不客气地呵斥他闭嘴。薛定谔没做任何解释，就此散会了。事后海森堡对他的师兄泡利说，维恩“几乎要把我从屋子里扔出去”。

从此量子力学两派之争开始了。这是天才与巨人间的交锋，一方以爱因斯坦为首，一方以玻尔为首，对量子力学理论的诠释展开了长达十几年的激辩。量子力学在争论之中发展壮大起来，从这场争辩之中，更涌现出了量子力学的第三代新人，惠勒、冯·诺依曼、费曼、玻姆、贝尔、阿斯佩和克劳瑟等人，他们的研究成果扩展了对量子力学理论的诠释，把量子理论的探讨从微观领域扩展到了大尺度的宇宙，更进一步推进到了哲学的高度，即深入到“量子真实性”的探讨之中。

1933年，薛定谔因对量子力学的贡献，获得诺贝尔物理学奖，与他同台领奖的还有他的争论对手，矩阵力学的创建者海森堡和狄拉克。 图3 中站立在瑞典国王两侧的是这两位争论对手——薛定谔（左）和海森堡（右），两人殊途同归，共创了划时代的量子力学。

关键词： 埃尔温·薛定谔，薛定谔方程，波动力学，Erwin Schrodinger，Schrodinger equation，wave mechanics

图1： http://www.pcmag.com/article2/0,2817,2422957,00.asp

图2： http://www.gizmodo.com.au/2012/07/the-worlds-smartest-men/

图3： http://www.pinstopin.com/schrodinger-and-heisenberg-together/ Oq1D2gumUajB4rKhkRJTpVAZ+LT3D7bJSR6dcNL7VEa57f1ot3ZDcsm4XRF9ejdj