专题概述

分数：把图形或物体平均分成若干份，取其中的几份就是几分之几。图形的“平均分”主要指的是面积的等分，也就是说，分出的若干份小图形形状可以各不相同，面积相等即可。同时，原始图形可以是一个，也可以是多个。物体的“平均分”多是指质量或数量的等分。

分数的大小比较：(1)当两个分数的分母相同时，分子越大，分数越大；(2)当两个分数的分子相同时，分母越大，分数越小；(3)当两个分数的分子分母皆不相同时，我们可以通过画图进行观察比较。

分数的加减：(1)当两个分数的分母相同时，分母不变，分子相加减；(2)当两个分数的分母不同时，我们可以通过画图，将分母小的分数进行面积的再次分割，使之等于另一个较大的分母，从而进行新的同分母的分数的加减。

典型例题1

先涂色再计算。

(1)1+

(2) +

(3)1-

分析 (1)在这里> 指的是将一个圆形平均分成三份，取其中一份，就是 如下右图。为了使1能与 1 相加，需要将它化为相同的分母，即将一个圆形平均分成三份，取全部三份，如下左图。

最终的结果就是共取其中的4份，为 。

(2)在这里 指的是将一个圆形平均分成六份，取其中五份，就是 ，如下右图。 的分割图形如下左图。

为了使 能与 相加，需要将它化为相同的分母，即将原先的“平均分成三份”，化为“平均分成六份”，即将原先的每一份进行再分割，如下左图。

最终的结果就是共取其中的7份，为 。

(3)为了使1能与 相减，需要将1进行转换化为， ，即把圆平均分成七份，取全部七份，如下图。

减去 ，即拿走七份中的三份，如下图。

最终的结果就是共取其中的4份，为 。

解 (1)1+ =

(2) + =

(3)1- =

思维训练1

1.先涂色再计算。

(1) +

(2) -

(3)1+ -

2.看图比较大小。

典型例题2

有一杯纯果汁，婷婷喝掉 后，将它加满水。然后她又喝掉 ，再加满水。又喝掉 ，又加满水。最后全部喝完。那么婷婷喝的纯果汁多还是水多？

分析 这道题我们从整体上去思考，就能很快地求出结果，婷婷喝了三次 杯，加了三次 杯水，因为 ，所以一共加了 杯水，而纯果汁既没有加也没有减仍然是1杯，即 杯。因为 ，即水果汁，所以婷婷喝的水比纯果汁多。

解 水： ，纯果汁： ，即水大于纯果汁。

答：婷婷喝的水比纯果汁多。

思维训练2

1.有一杯纯牛奶婷婷喝掉， 后，将它加满水。然后她又喝掉 再加满水。又喝掉 又加满水。最后全部喝完。那么婷婷喝的纯牛奶多还是水多？

2.有一杯纯西瓜汁，婷婷喝掉 后，将它加满水。然后她又喝掉 再加满水。又喝掉1 又加满水。最后全部喝完。那么婷婷喝的纯西瓜汁多还是水多?8,

典型例题3

某市计划今年修建一条道路，结果上半年就完成了整条路段的 ，若下半年前两个月又完成了剩下的 ，问还剩下全路段的几分之几需要完成？

分析 本题可以借助图形或线段解决。

(1)图形：将整个路段的修建工程看作是一个圆。上半年完成了整条路段的 ，即下图中阴影部分。

剩下的 就是白色部分而。“下半年前两个月又完成了剩下的 ”，即将剩下的白色部分平均分成9份。白色部分已被分成3份，也就是说，将每部分再分成三份即可，如下图。

白色部分被细分为9块，整个圆形被分成“7×3=21”份。再取白色部分中的其中的7份，剩下的路段就是剩下的2份，如下图。

如图可知，经过两次平均分后，图形一共被分成了21份，最后只剩下了2份。

(2)线段：将整个路段的修建工程看作是一个线段。上半年就完成了整条路段的4 ，即将线段平均分成7份，取其中的4份，如下图。

下半年前两个月又完成了剩下的7 ，即需要将剩下的部分平均分成9份，取其中的7份。而从图上看来，还剩下3份线段，也就说，每份线段需要再平均分成3份，如下图。

整个线段被分成“7×3=21”份。再取剩余部分中的7份，剩下的路段就是剩下的2份，如下图。

如图可知，经过两次平均分后，线段一共被分成了21份，最后只剩下了2份。

(3)除了图形与线段外，本题还可通过列式计算：

，即将整个工程平均分成了7份，上半年已完成其中的4份，下半年需要完成3份。

9÷3=3,即要将剩下的工程分成9份，则需将原先的每一份再平均分成3份。

7×3=21,即一共将工程分成了21份。

4×3+7=19。其中“4×3=12”表示的是上半年完成了12小份，“7”则是下半年前两个月完成的份数，加在一起就是一共完成的份数。

21-19=2,即剩下2份没有完成，所以最后还剩下 没有完成。

这三种方法里，(1)(2)的解法更为直观明了，(3)的解法更为简洁，相对而言也更有难度。

解 解法一：

由上图可知，还剩下全路段的 2 需要完成。

解 法二：

由上图可知，还剩下全路段的 需要完成。

解 法三：

工程总量:7×3=21,

已完成:4×3+7=19,

剩余部分:21-19=2。

答：还剩下全路段的 需要完成。

思维训练3

1.婷婷计划这个月看完《小王子》，结果上旬就完成了整本的 ，若下旬的第一周就看完了剩下的 问还剩下全书的几分之几需要看？

2.小芳和小贺计划在国庆前的一周，共同完成班级的黑板报。前三天，两人共同完成了整个黑板报的 。由于小贺去参加数学竞赛，接下来的两天，小芳独自完成了剩下的 。问还剩下几分之几的黑板报需要小贺与小芳完成？

典型例题4

比较分数 与 的大小，并说明理由。

分析 解决这种题目的方法有两种。

(1)分数大小比较中，当两个分数的分母相同时，分子越大，分数越大；当两个分数的分子相同时，分母越大，分数越小。虽然两个分数的分子和分母皆不相同，但是就分母而言，“55<66”，粗略可估是 较大；就分子而言，“3623”，粗略可估是 较大。两者结合可判断，“ ”。

(2)这两个分数的分子和分母皆不相同，我们不妨找一个分子分母分别可与之相同的分数作为“中间数”，如 ，以 ”为例：

当两个分数的分母相同时，分子越大，分数越大所以， ；

当两个分数的分子相同时，分母越大，分数越小所以， ；

所以 。

当然，分数的大小也可以通过画图比较。由于本题涉及的分数分母过大，画图不便，故而选用分析法。

解 解法一因为： ，所以 。

解 法二因为： ，所以 。

思维训练4

1.比较分数 与 的大小，并说明理由。

2.比较分数 与 的大小，并说明理由。 EKrY55IW0+sxoz1cWBUI/U67lXkn8ibGaAEg8bSUm9SOIDWjBWZ9XgQlsjxmxbPF