专题概述

在面临长方体和正方体的面积、体积问题时，要注意单位的换算及公式的灵活运用。常见题型有：

(1)多个正方体拼接后得到长方体，求面积(或棱长和)的问题；

(2)求水池水深问题；

(3)长方体或正方体箱子的包装问题；

(4)容积问题；

(5)长方体、正方体面积、体积公式综合运用问题。

典型例题1

将七个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为180厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？

分析 每一个正方体有12条棱，七个共有12×7=84(条）棱，组合后共少了2×4+5×8=48(条）棱，即有36条棱，可求出每条棱的棱长，后求出棱长和。

解 七个正方体共有12×7=84(条）棱，组合后减少了2×4+5×8=48(条）棱，即组合后有36条棱，共180厘米长，因此每条棱长180÷36=5(厘米）。

原来每个正方体的棱长和为5×12=60(厘米）。

答：每个正方体的棱长和为60厘米。

思维训练1

1.将五个棱长是8厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

2.把一个棱长40厘米的正方体，分成五个完全相同的长方体，这五个长方体的表面积之和是多少平方厘米？

典型例题2

一个长方体水池，长50厘米，宽40厘米，高30厘米，里面装有12厘米深的水，把一个底面为边长20厘米的正方形的长方体铁块竖直放入玻璃缸，铁块还有一部分露出水面，这时水深多少厘米？

分析 由于铁块有一部分露出水面，利用公式体积=底面积×高，水的体积不变，可求水面高度。

解 水池里水的体积为50×40×12=24000(立方厘米），

铁块底面积为20×20=400(平方厘米），水池底面积为50×40=2000(平方厘米），

因此放入铁块后水深24000÷(2000-400)=15(厘米）。

答：这时水深15厘米。

思维训练2

1.一个长方体，如果高减少4厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

2.至少要几个小正方体才能拼成一个大正方体？如果一个小正方体的棱长是25厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？

典型例题3

有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要15厘米彩带，一共需要多长的彩带？

分析 本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与哪条棱平行，通过求棱长和间接去求彩带长度。前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；上面和下面的长的彩带长度=长的长度；上面和下面的短的彩带长度=宽的长度。需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度。

解 20×4+40×2+30×2+15=235(厘米）

答：一共需要235厘米长的彩带。

思维训练3

1.一个长方体的纸包装箱，长30厘米，宽和高都是20厘米。做10个这样的包装箱，至少需要纸板多少平方厘米？合多少平方分米？

2.某工人在包装长方体箱子，使用麻绳在如图所示的三个方向上加固，麻绳长度分别为370,410,490厘米，如果麻绳之间接头重叠的部分都是10厘米，那么这个长方体箱子的体积是多少立方米？

典型例题4

有一个长为9分米，高为5分米，体积为270立方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为8.6分米，高为4.4分米，宽为6.2分米，是否可以放入该容器？

分析 只计算容器和陶瓷的体积，我们可以发现陶瓷体积<硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。我们还需要观察陶瓷长、宽、高与容器长、宽、高的大小。

解 硬纸盒的宽为270÷5÷9=6(分米），由于6分米<6.2分米，所以无法放入容器中。

答：不能放入容器中。

思维训练4

1.在一个棱长为5厘米的大立方体的顶部中央挖去一个棱长为2厘米的小正方体，现在这个大正方体的表面积是多少平方厘米？

2.把一个玻璃球放进一个底为12平方分米，高为7分米，水深3分米的长方体容器里后，水面升到离容器顶部2.6分米的位置，再放多少个球水将会溢出？ OT1ZMAtb8qyIvzdIUtKS4LL6Y/Q5jtnEP8CFAGEZ56nmhPIx+0WK/tdUoLM7/l2j