专题概述

因数和倍数包含着大量数学关系，在进行因数和倍数的训练时，掌握数的整除特征是基础，主要的题型有以下几个：

(1)根据约数个数定理，求出因数个数及其相关问题；

(2)根据数的整除特征，求出多个数的倍数问题；

(3)在进行分配有多有少的情况时，先把多(少)的减(加)去(上)，再通过因数或者倍数求出最后答案；

(4)遇到已知总数的规划问题时，先列两个式子相减，将结果凑成整数，得出最后答案。

典型例题1

72的全部因数有多少个？全部因数的和是多少？

分析 根据约数个数定理，对于一个大于1的正整数n,可以分解成k个互不相同的质因数： ，则n的因数个数 。

其中 是 的指数。

72=2×2×2×3×3,所以72的因数有(3+1)×(2+1)=12(个）。

全部因数的和:1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72=195。

解 全部因数个数：(3+1)×(2+1)=12(个）

全部因数的和:1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72=195。

思维训练1

1.自然数378000共有_______个因数。

2.将1800分解质因数，并回答以下问题：

(1)1800有多少个因数？

(2)1800有多少个奇因数？

(3)1800有多少个偶因数？

典型例题2

一个三位数，既有因数3,又是2和5的倍数，这个数最小是_______。

分析 根据题意，可知这个三位数同时是2,3,5的倍数，根据2,3,5的倍数特征，这个三位数个位必须是0,因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数；要想最小，百位上的数字必须是1,然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1、十位上的数和个位的0相加是3的倍数，因为1+0=1,1再加2,5,8的和是3的倍数，即十位可以是2,5,8,其中最小的是2。因此这个数最小是120。

思维训练2

1.611至少要加上_______，才是2和3的倍数。

2.在218后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3,4,5整除，且使这个数尽可能小。

典型例题3

“学雷锋”活动时，五(1)班学生带了39根香蕉和25个苹果去敬老院看望老爷爷和老奶奶。他们将香蕉和苹果分发给爷爷奶奶，每人一样多，结果香蕉剩下3根，苹果差2个。该敬老院最多有几位老人？

分析 39-3=36,25+2=27,敬老院老人数应该是36、27的因数。要求最多有几位老人，即求36,27的最大公约数。(36,27)=9,即这个养老院最多有9位老人。

解 39-3=36(根）

25+2=27(位）

(36,27)=9

答：养老院最多有9位老人。

思维训练3

1.有一盒糖果，每次取3颗正好能取完，每次取5颗则少3颗，每次取7颗也少3颗。问这盒糖果至少有多少颗？

2.爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年是你的5倍。”爷爷和小明现在的年龄各是多少？

典型例题4

有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？

分析 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张、d张，要求是否能够恰好是100元，即求解得的a,b,c,d是否都为整数，如果是，那就恰好是100元，如果不是，则总面值不能恰好是100元。

解 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张、d张，列方程如下：

注意到式③左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元。

思维训练4

1.某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且每3位职工可带一个孩子参加，男职工每人种13棵数，女职工每人种10棵数，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵，那么其中有多少名男职工？

2.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最短是多少厘米？ RIqGf4CiZb9nEG84kgXTamHsIDQibsGP+t7QyQv5eFsjmNr0rv5Q5Tm96WlAeBgZ