专题概述

整数拆分，顾名思义就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是一种自然数的拆分。在面临整数拆分问题时我们常会遇到以下几种题型：

(1)要求将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积最大(或最小)的问题；

(2)要求将一个自然数拆成几个连续自然数的和，或几个等差连续自然数的和的问题；

(3)已知几个自然数，要求组成一个特定自然数的所有情况的问题；

(4)以上几种情形的综合运用。

典型例题1

把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？

分析 要使乘积尽可能大，把19分成的几个自然数中,3要尽量多且不能有1,所以应把19分成5个3及1个4的和。最大乘积为3×3×3×3×3×4=972。

解 19=3+3+3+3+3+4,所以最大乘积为3×3×3×3×3×4=972。

思维训练1

1.把7拆分成几个自然数相加的形式(0除外），共有多少种不同的拆分方法？

2.三个自然数的积为40,这三个数分别为多少时，它们的和最小？最小为多少？

典型例题2

将364拆分成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。第1个数与第6个数分别是几？

分析 这7个数中第4个数是中间数，它是这7个数的平均数，即364÷7=52。因为相邻两个数的差都是5,所以这7个数是37,42,47,52,57,62,67。故第1个数是37,第6个数是62。

解 第1个数是37,第6个数是62。

思维训练2

1.将15本书分成数量不同的4叠，共有多少种不同的分法？

2.把70拆分成11个不同的非零自然数之和，这样的拆分方式一共有多少种？

典型例题3

求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为11个连续自然数之和，又可以表示为12个连续自然数之和，还可以表示为13个连续自然数之和。

分析 11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍,12个连续自然数之和是其中第6个和第7个数的和的6倍,13个连续自然数之和是其中第7个数的13倍。这样，可以表示为11个,12个,13个连续自然数之和的数必是11,6和13的倍数，故最小的这样的数是[11,6,13]=858。对858进行拆分可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进”的方法。例如,858÷11=78,则11个连续的自然数为73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83。所以858是满足条件的最小自然数。

解 这个数是11,6和13的倍数，最小为[11,6,13]=858。

答:858是满足条件的最小自然数。

思维训练3

1.将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？

2.把456表示成若干个连续自然数的和，要求写出所有的表达式。（如9可以有两种表达形式:9=4+5=2+3+4)

典型例题4

有面值为1分,2分,5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法？

分析 要支付2角3分，最多只能使用4枚5分币。因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。当使用3枚5分币时,5×3=15(分）,23-15=8(分），所以使用2分币最多4枚，最少2枚。

解 当使用3枚5分币时：

23=15+(2+2+2+2)，

23=15+(2+2+2+1+1)，

23=15+(2+2+1+1+1+1)，

共有3种支付方法。

当使用4枚5分币时,5×4=20(分）,23-20=3(分），所以最多使用1枚2分币，或不使用。

23=20+(2+1)，

23=20+(1+1+1)，

共有2种支付方法。

所以共有2+3=5(种）支付方法。

答：总共有5种不同的支付方法。

思维训练4

1.电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？

2.把37拆分成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆分方法？将每一种拆分方法所拆出的质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？ IuHYQlGIR9gt0gdPqOBZ057oKnij4qFT0tnA7Tm98YNsS8jJGm58ob3igOJMMx86