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弗雷格区分了涵义(Sinn)和指称(Bedeutung)。在他看来，名称不仅有指称，而且有涵义。一个名称的指称是它标示(bezeichnen)的东西，而它的涵义是这个被标示的东西的给出方式(Gegebensein)。一般来说，通过一个东西的给出方式确定这个东西本身，即通过一个名称的涵义确定这个名称的指称。名称不仅包括专名，也包括概念词：一个专名的指称是一个对象，它的涵义是这个对象的给出方式；一个概念词的指称是一个概念，它的涵义是这个概念的给出方式。因为弗雷格把语句看作专名，所以语句也有指称和涵义：一个语句的指称是一个真值，即真或假，它的涵义是这个语句表达的思想。弗雷格还认为，在间接引语中，例如，在“哥白尼相信行星轨道是圆圈”这个语句中，“行星轨道是圆圈”这个从句的指称不再是它的通常指称，而是它的通常涵义。这就是在间接引语中发生的所谓指称转移(Reference Shift)现象。一个语句在间接引语中的指称被简称为它的间接指称，它在间接引语中的涵义被简称为间接涵义。既然一个语句的间接指称是思想而非真值，那么它的间接涵义是什么呢？
指称和涵义的区分不仅引出间接指称和间接涵义的区分，而且引出关于涵义的无穷分层问题。正是由于在间接引语中发生的指称转移，我们可以通过如下两种方式产生一个无穷分层(hierarchy)。首先，如果迭代地使用that从句，例如，在“我相信你相信他相信……(I believe that you believe that he believe that··)”这样的语句中，那么不仅得到单一间接引语中的指称和涵义，而且得到双重间接引语中的指称和涵义、三重间接引语中的指称和涵义……如此继续下去，以至无穷。其次，如果一个表达式具有一个涵义，那么假定另一个表达式标示这个涵义，也就是说，第二个表达式的指称是第一个表达式的涵义；但是第二个表达式也具有一个涵义，于是再假定第三个表达式标示这个涵义，也就是说，第三个表达式的指称是第二个表达式的涵义；但是第三个表达式也具有一个涵义……如此继续下去，以至无穷。究竟什么是间接涵义？如何解决由间接涵义引起的无穷分层问题？这个问题在分析哲学特别是语言哲学中产生了广泛和持续的争论。
关于涵义无穷分层问题争论的起源最早可以追溯到卡尔纳普，他认为，实体的增殖远远超出了弗雷格关于名称的通常指称和晦暗指称之间的区分，事实上，这两个指称仅仅构成了指称无穷序列的开始，如果我们把弗雷格的方法运用于多重晦暗语境中的语句，那么我们不得不区分一个名称的通常指称、一重晦暗指称、双重晦暗指称等等，“一个名称的不同出现具有不同指称，这个事实当然是一个缺陷”
。此后，许多学者追随卡尔纳普，他们对弗雷格的涵义无穷分层进行批评。
戴维森曾经给出了所谓可学习性论证(Learnability Argument)，用以说明涵义无穷分层是不可能的。为了完全理解一个名称的涵义，不仅需要理解它在单一间接引语中的涵义，而且需要理解它在双重间接引语中的涵义，还需要理解它在三重间接引语中的涵义……如此继续下去，以至无穷。因此，为了让一种语言是可学习的，必须消除这种无穷分层。
虽然这个论证说明涵义无穷分层的不可能性，但它并没有说明究竟什么是名称的间接涵义；换言之，这个论证只是说明涵义的无穷分层将导致荒谬的结果，但是并没有解释为什么在间接引语中发生指称转移现象。
达米特也认为，弗雷格由于区分涵义和指称所导致的无穷分层问题是一种混乱，他建议通过修改弗雷格哲学的基本原则来避免无穷分层。在达米特看来，涵义确定指称的原则是可质疑的，因为除了涵义之外，语境在确定指称的过程中也发挥了重要作用。因此，涵义和语境共同确定了指称。达米特主张，一个名称在通常语境和晦暗语境中具有相同的涵义，但是由于语境不同，它们的指称不同。因此，所谓的间接涵义与直接涵义是相同的。
放弃指称完全由涵义确定的原则，这一点与语境原则并不矛盾。事实上，在达米特看来，语境原则是说，名称不能孤立地具有指称，但这并不意味着，名称不能孤立地具有涵义。也就是说，指称随着语境的变化而变化，但是涵义并不随着语境的变化而变化。另外，帕森斯还通过文本的历史研究说明，弗雷格本人并不承认涵义的无穷分层。
相反，有些学者承认涵义的无穷分层，它们从不同角度给出了解释。
在卡普兰看来，弗雷格的涵义和指称理论是依赖语境的，也就是说，一个名称在一个语境中指称它的通常指称，但是在另一个语境(例如间接引语）中指称它的通常涵义。同一个名称在不同的语境中具有不同的指称和不同的涵义，因此，涵义和指称的识别和确定完全取决于语境。
然而，根据弗雷格的说法，一种理想的科学语言必须避免歧义，不允许一个名称在不同语境中具有不同的涵义和指称。因此，我们不能用语境依赖性解释在间接引语中发生的指称转移。在丘奇看来，为了遵循单义性，避免歧义性，必须区分出一个无穷序列：第0层对象o0是语句的指称(即真值)，第1层对象o1是语句的涵义(即弗雷格式的思想)，第2层对象o2是语句在间接引语中的涵义(即弗雷格式思想的名称的涵义)，第3层对象o3是语句在一次迭代的间接引语中的涵义，第4层对象o4是语句在两次迭代的间接引语中的涵义……如此迭代，以至无穷。每一层次的元素(作为涵义）都可以确定上一层次的元素(作为指称)。
然而，根据弗雷格的说法，不同的涵义可以确定相同的指称，但是在丘奇的无穷序列中没有对此给出合理的解释。我们甚至都不知道第2层次的对象究竟是什么，我们当然也不能通过这个无穷序列来识别出一个名称的间接涵义。
在伯奇看来，涵义是一种思维方式，通常涵义和间接涵义是两种不同的思维方式。一般来说，语句的涵义(即通常涵义）是这个语句呈现给心灵的方式，与此稍有不同，从句的涵义或语句在间接引语中的涵义(即间接涵义）不仅依赖于这个语句的通常涵义，而且依赖于从句引导词(that-clause)的涵义。以“哥白尼相信行星轨道是圆圈(Copernicus believed that the planetary orbits are cir-cles)”这个语句为例，为了理解这个宾语从句的间接涵义，不仅需要理解从句本身的通常涵义(“the planetary orbits are circles”的通常涵义)，还需要理解从句引导词的涵义(“that”的涵义)；一旦我们在复杂语境中通过从句引导词识别出从句的位置，并且理解引导词所引导的从句的通常涵义，我们也就理解了从句的间接涵义。
然而，根据弗雷格的涵义理论，名称的涵义具有认识价值，而从句引导词的作用只是在语法层面上识别从句的位置，所以从句引导词的涵义与名称的涵义是完全不同类型的涵义。事实上，弗雷格根本没有谈论过从句引导词的涵义。因此，通过从句引导词的涵义解释从句的间接涵义，这种做法过于牵强。
克里普克在他的《弗雷格的涵义和指称理论》一文中也讨论了涵义无穷分层问题，并且给出了一个解决方案。与前人相比，克里普克如何看待涵义无穷分层问题？他的解决方案合理吗？他是否误解了弗雷格的本义？这是本章考察的目标。本章将从两个方面展开论述。首先，讨论克里普克如何解读弗雷格的涵义与指称理论。我认为，他解决涵义无穷分层问题的三个要点分别是回退道路、亲知启示性和递归规则，我将针对后两个要点进行详细论述，并且指出克里普克解决方案的不合理之处。其次，讨论弗雷格本人的涵义和指称理论。我认为，存在着语法涵义、认知涵义和逻辑涵义三个不同维度，只有通过逻辑涵义才能正确理解涵义和指称的区分，也只有逻辑涵义才能调和语法涵义和认知涵义之间的冲突。在此基础上，我将表明，从逻辑涵义的角度看，在弗雷格那里根本不存在关于涵义的无穷分层问题。
弗雷格区分名称的涵义和指称，他的目的在于说明为什么存在非不足道(具有认知价值）但真的同一陈述，例如，“晨星是昏星”这个语句，“晨星”和“昏星”这两个专名指称相同但涵义不同。因此，“晨星是昏星”比“晨星是晨星”提供了更多的认知意义。涵义被看作其指称的给出方式，因为指称的给出方式是多种多样的，所以相同的指称可以伴随不同的给出方式。弗雷格明确表示，存在一条从涵义到指称的前进道路，即通过识别涵义可以确定指称。但是克里普克认为，也存在一条从指称到涵义的回退道路(Backward Road)，即通过确定指称也可以识别出涵义。克里普克在弗雷格《算术基本规律》一书中找到了一个证据，用以证明存在这条回退道路。弗雷格在该书第31节和32节首先给出形式系统所有语句的真值条件，然后指出这些语句都表达思想，即这些真值条件成立。在克里普克看来，这相当于说，通过确定语句的真值(指称）可以识别出它们所表达的思想(涵义)。
为了解决涵义的无穷分层问题，克里普克需要说明什么是间接涵义；而为了说明究竟什么是间接涵义，他诉诸关于涵义的元语言解释(Metalinguistic In-terpretation)。弗雷格似乎建议，为了谈论一个表达式“A”的涵义，我们可以只使用“‘A’这个表达式的涵义”这个短语。
也就是说，“A”这个表达式的间接指称是“A”这个表达式的通常涵义，而“A”这个表达式的间接涵义是“A”这个表达式的通常涵义的通常涵义，略微简短地说，
“A”这个表达式的间接涵义是 “A”这个表达式的涵义 的涵义。
如果按照弗雷格的建议，把上面语句中画横线的部分替换为 “‘A’这个表达式的涵义”这个短语 ，那么我们得到
“A”这个表达式的间接涵义是 “‘A’这个表达式的涵义”这个短语 的涵义。
也就是说，通过增加引号的方式，我们把一个表达式的涵义的涵义转变为“一个表达式的涵义”这个短语的涵义。
但是在克里普克看来，元语言解释面临着困难。假如一个人只懂汉语不懂英语，他不能理解“the planetary orbits are circular”这个语句的意思，但是假定他理解“the sense of··”这个短语的意思(在他看来，这个英语短语的意思相当于“……的涵义”这个汉语短语的意思)。由此，他理解“the sense of‘the planetary orbits are circular’”这个短语的意思(在他看来，这个英语短语的意思相当于“‘the planetary orbits are circular’的涵义”这个短语的意思)。因此，如果他理解“Copernicus believed that”的意思(在他看来，这个英语短语的意思是“哥白尼知道”这个汉语短语的意思)，那么即使他不理解“the planetary or-bits are circular”这个语句的意思，他仍然理解“Copernicus believed that the planetary orbits are circular”这个语句的意思(在他看来，这个英语语句的意思是“哥白尼相信‘the planetary orbits are circular’的涵义”这个汉语语句的意思)。这个例子说明，即使我们不能理解一个名称的涵义，但是根据元语言解释，我们仍然能够理解这个名称的涵义的涵义，即这个名称的间接涵义。
显然，上述结果是不合理的。为了避免这个不合理的结果，克里普克认为，名称的间接涵义必须是直接启示性的(immediately revelatory)，他给出了如下定义：
一个涵义对其指称是启示性的，如果人们仅从这个涵义就能弄清楚这个指称是什么。
一个涵义是直接启示性的，如果无须演算就弄清楚它的指称。
也就是说，如果人们理解一个间接涵义，那么他仅从这个涵义就能直接弄清楚它的指称是什么，这一过程既不需要经验信息，也不需要数学演算。克里普克也把直接启示性称为亲知启示性(acquaintance-revelatory)。例如，我们可以理解“行星的数目”这个表达式的涵义，但是为了知道它的指称，我们需要一些经验信息，所以这个表达式的涵义不是启示性的。又如，“3的平方”这个表达式的涵义是启示性的，因为无须经验信息，我们就可以通过它的涵义知道它的指称。但是“3的平方”这个表达式的涵义不是直接启示性的，因为为了通过它的涵义知道它的指称，我们需要进行计算，即3
2
＝9，虽然这种计算是非常简单的，但对于确定指称来说是必不可少的。再如，“9”这个表达式的涵义是直接启示性的，因为既不需要经验信息，也不需要数学演算，我们就可以知道它的指称
。因此，要想识别出一个名称的间接涵义，它必须是直接启示性的，仅从这个间接涵义就可以知道它的间接指称，即它的通常涵义。只有满足这个条件才能避免元语言解释的困难。但是，通过直接启示性我们仅是有可能但并不一定识别出一个名称的间接涵义。为此，克里普克又给出了一个更为一般的指导规则：
(α)如果语词出现在直接引语中，则它们自名地(autonymously)指称，即指称自身。
(β)如果语词出现在间接引语中，例如“言说(says that)”“相信(believes that)”“”等等，它们指称它们在that后从句中的涵义。
而且克里普克认为，这两个规则也适用于涵义和指称的无穷分层：
(α)和(β) 旨在被迭代地理解，以至于在出现直接引语或“that从句”时，指称是由引号内或“that”后的从句递归地确定的。
根据规则(α)，一个语词在直接引语中的指称就是这个语词自身，语词的自名指称是清楚的，我们可以很容易地确定表达式自身，也可以很容易地识别出这个涵义。根据规则(β)，一个语句的间接指称是它的通常涵义，相应地，这个语句的间接涵义是我们确定它的间接指称的方式。但是，在间接引语的情况中，如何识别出一个语词的涵义似乎并不像在直接引语的情况中那样容易。克里普克认为，某种递归规则可以帮助我们识别出一个语句的间接涵义。
组合性原则是弗雷格实际使用但没有明确表述的原则。根据这个原则，一个表达式整体的涵义是一个关于其部分涵义的函数，即把这些部分的涵义输入这个函数后可以输出这个整体的涵义。因为部分和整体之间是函数关系，所以把相同的部分涵义输入这个函数后可以输出相同的整体涵义。克里普克认为，反向的原则也成立，也就是说，这个函数还是一个一对一的函数，即把不同的部分涵义输入到这个函数后可以输出不同的整体涵义。由此得出，如果表达式部分的涵义相同，则整个表达式的涵义相同；反之，如果表达式部分的涵义不同，则整个表达式的涵义不同。因此，整个表达式的涵义是由其部分的涵义唯一地确定的。
根据从上述原则得来的递归规则，我们可以很容易地确定一个名称在引语中的涵义。对于(α)这种情况来说，在我们看到或听到整个语句时，也看到或听到它的任何部分，包括自名指称的部分。例如，
“北京”是一个由两个汉字构成的语词。
上述语句中的“北京”是自名指称的，它的指称不是北京这个城市，而是它自身，它的涵义是我们确定这个指称的方式。也就是说，在我们看到“北京”这两个汉字时，也识别出了“北京”的涵义，由此也确定了“北京”指称其自身，这是一个亲知的过程。类似地，对于(β)这种情况来说，也可以通过亲知和递归的方式识别出一个名称的涵义。例如，
克里普克相信哥白尼相信行星的轨道是圆圈
这里，把“行星的轨道是圆圈”缩写为A，把“哥白尼相信”缩写为B，由此可以把“哥白尼相信行星的轨道是圆圈”缩写为BA。这里假定A的通常涵义是亲知启示性的。由此可得，在我们看到上述语句时，我们也识别出A的通常涵义，即A的间接指称。而A的间接涵义是确定其间接指称的方式，即识别出它的通常涵义的方式，因此，在以亲知的方式识别出A的通常涵义时，我们也理解了A的间接涵义。假如我们还理解B的通常涵义，那么我们也理解BA的通常涵义，这是由递归规则从B的通常涵义和A的间接涵义得到的，而且这是一个亲知的过程。由此我们确定了BA的间接指称，即识别出了BA的通常涵义。在以亲知的方式识别出BA的间接指称时，我们也理解了BA的间接涵义。
总之，克里普克对涵义无穷分层问题的解决方案是(α)和(β)这两个指导原则，它们的使用前提是回退道路、递归规则和亲知启示性。克里普克把他自己的解决方案做了如下概括：
在一个涵义中存在一个从指称到涵义的“回退道路”。因为任何识别出一个指称的人必须按照某种方式这样做。于是，因为他意识到他如何识别出这个指称，所以他也意识到这个指称被固定的方式，因此也意识到这个涵义。就我所知，弗雷格对此最明确的使用是在《算术基本规律》(1893)的开端，他得出如下结论，任何词项都具有唯一的指称，而且任何语句都具有唯一的真值，在此之后他也得出如下结论，这个系统的任何语句都表达一个思想，由识别出这些真值条件的方式给出。语言规则，包括弗雷格式的思想，在通常情况下可以由(α)和(β)说明的一般原则给出。
但是为了运用这些规则，的确也为了理解它们，语言的使用者或思考者必须对直接或间接引用的材料、感觉、时间、主体以及内在心灵状态具有某种类似于罗素亲知的东西。虽然他们在摹状词的分析上有差别，但是弗雷格和罗素基本上比通常所认为的更为类似。亲知的学说在弗雷格那里比在罗素那里更不明显，但是我一直相信，需要用它来对他进行真正的理解。让我希望我是正确的。
但是，在我看来，克里普克混淆了两种不同的涵义，即语法涵义和认知涵义。语法涵义是指，通过语言表达式的递归形成方式而派生出来的涵义，而这种递归形成方式是从组合性原则得来的。从部分表达式的涵义得到整个表达式的涵义；如果部分表达式的涵义相同，则整个表达式的涵义相同；如果部分表达式的涵义不同，那么整个表达式的涵义不同；即使部分表达式的涵义相同，但只要它们组合到一起的递归方式不同，整个表达式的涵义也不同。而认知涵义是指，通过理解一个语句而认知到(或者用弗雷格的话说，把握到）的涵义，这种涵义与这个语句在人们头脑中客观地呈现出来的内容有关。当然，由于每个人头脑中的背景知识不同，同一个语句在人们头脑中呈现出来的内容也会有所不同。但是既然人们之间的相互理解和交流是可能的，这就不得不假定这些不同内容之间有一个公共的客观部分，我们每个人都分有这个部分。
让我们看一看克里普克在哪个地方混淆了认知涵义和语法涵义。他的核心论证体现在如下段落中：
每当我们确定一个指称，我们内省地亲知这个指称是如何确定的，这就是对应的涵义。我们对这个涵义的内省亲知为我们提供了一个确定这个涵义的方式，以及一个指称这个涵义的方式，这就是间接涵义。因此，弗雷格的整个层次，包括间接涵义、双重间接涵义等等，都是通过这种方式给出的。整个层次的每个层次都是上一层次的亲知涵义。
我把上述论证进行如下重构：
(1)确定一个指称。
(2)内省亲知是确定这个指称的方式。
(3)内省亲知它的涵义。
(4)确定这个涵义的方式。
(5)间接涵义。
从(1)到(2)是根据亲知启示性和回退道路，从(2)到(3)是根据“确定这个指称的方式”等同于“它的涵义”。这三个步骤中的涵义都是认知涵义。任给一个语句，如果其涵义是亲知启示性的，我们当然能够确定其指称，因此也亲知其涵义，这个涵义是这个语句在我们头脑中呈现出来的客观公共的内容。但是从(4)到(5)的跳跃是从认知涵义过渡到语法涵义，(4)中的涵义仍然是认知涵义，但是(5)中的涵义变成了语法涵义，即识别出(4)中的涵义的方式，这种识别方式是通过辨认出从句在间接引语中的位置而得来的。从(4)到(5)是因为涵义的确定方式是涵义的涵义，即间接涵义。因此，克里普克对认知涵义和语法涵义的混淆发生在从(4)到(5)的过渡中。
通过递归的方式识别出来的涵义不同于通过头脑中呈现的客观内容识别出来的涵义。即使我们不理解语言表达式所表达的客观公共内容，我们仍然可以快速地学会一个通用的递归形成规则：从专名和概念词可以形成一个原子语句；原子语句通过连接词可以形成复合语句；从语句和命题态度词可以形成间接引语语句；通过命题态度词的重复可以形成迭代的间接引语语句。学会了这种递归形成规则，就学会了如何理解语句的语法涵义。但是认知涵义的获得却是一个漫长的过程，从读文识字到常识的积累，再到相关专业知识的学习，这是一个理论与实践、心灵与世界的交互过程，没有一个通用的方案快速地完成这个过程。因此，语法涵义完全不同于认知涵义。然而，克里普克却强行把二者拼接到一起。他把原子语句的涵义看作认知涵义，并且假定这些涵义是亲知启示性的，但把由原子语句递归形成的复合语句的涵义看作语法涵义。事实上，这种拼接的做法给我们的思想带来混乱：即使不同的递归方式形成不同的语法涵义，但它们的认知涵义仍然有可能是相同的。例如，在有些情况下，人们把一个复合语句作为一个整体进行理解，他们既不关心这个语句部分的涵义，也不关心其各个部分的组合性结构。在这种情况下，人们抛开这个语句的语法涵义，直接理解了它的认知涵义。
让我们看一看什么是弗雷格所说的涵义。在我看来，弗雷格至少提到过三种不同类型的涵义，即语法涵义、认知涵义和逻辑涵义。
弗雷格最早在《函数和概念》这篇论文中给出了涵义和指称的区分：
我们必须区分涵义和指称。“2
4
”和“4
2
”当然具有相同的指称，也就是说，它们是相同的数的专名；但是，它们具有不同的涵义；＝因此，“2
4
4
2
”和“4×4＝4
2
”指称相同的东西，但是它们具有不同的涵义。
他在这里似乎认为，涵义派生于语法表达式，体现在两个表达式(符号的结合）上的任何细微区别都说明这两个表达式的涵义不同。例如“2 4 ”和“4 2 ”是涵义不同的，即“”“”2×2×2×2和4·4是不同符号按照不同的方式形成的，所以“2 4 ＝4”和“4×4＝4 2 ”表达了不同的思想。从这个角度看，涵义是语法涵义。
但是，弗雷格似乎又认为涵义具有认知价值，与认知过程(包括经验知识）或确定指称的过程有关他在给乔丹的一。封信中提到如下例子一：个探险者从北坡看一座雪山，从当地居民那里得知它的名称是“阿尔法”，而且对它进行了实地测量。另一位探险者从南坡看一座雪山，而且得知它的名称是“阿泰博”。然而，后来的比较表明，这两个探险者看到的是同一座雪山。
“阿泰博是阿尔法”这个语句的内容远不是同一原则的纯粹结论，而是包含了有价值的地理学知识。
可以按照不同的方式确定一个对象，通过如此这般的方式为这个对象引入一个名称，又通过如此那般的方式为这个对象引入另一个名称，这两种不同方式是两种不同的认知过程，所以这两个名称的指称相同但涵义不同。从这个角度看，涵义应该是认知涵义。
此外，弗雷格还认为涵义与逻辑规律有关，由此派生出了逻辑涵义。对于语法涵义来说，按照不同方式形成的表达式，它们的涵义不同；但对于逻辑涵义来说，不同的表达式仍然可能具有相同的涵义。在一篇批判皮亚诺逻辑系统的遗稿中，弗雷格说：
让我们看一个语句，它是从我们的一般语句转变而来的，把前件的否定看作后件，把原后件的否定变为前件……涵义几乎不受它影响，因为这个语句在转变之后给出的信息与先前相比不多不少。
也就是说，“p→q”和“￢q→￢p”这两个语句的语法涵义不同，前者是用蕴涵词从“p”和“q”得到的，而后者是先用否定词从“p”和“q”得到“￢p”和“￢q”，再用蕴涵词进行连接。但在弗雷格看来，这两个语句的涵义是相同的，因为根据假言易位规则，它们是逻辑上等价的。因此，逻辑涵义是名称在逻辑上的呈现方式，逻辑上等价的名称具有相同的呈现方式，所以具有相同的涵义；而逻辑上不等价的名称，它们的涵义不同。例如，“p→q”和“q→p”这两个语句的涵义不同。
那么如何调和这三种不同类型涵义之间的冲突？究竟哪一种涵义是弗雷格理解的涵义？我认为，逻辑涵义并不与其他两种涵义冲突，而且逻辑涵义还能调和其他两种涵义之间的冲突，因此，只有逻辑涵义才是弗雷格所理解的涵义。首先，逻辑涵义不与认知涵义冲突。弗雷格发明新逻辑系统的目的就是为了揭示算术规律的认识论本性。
任何假定都不能被忽视，任何需要的公理都必须被揭示出来。正是由于那些默认地并且没有清楚意识地做出的假定，阻碍了对于一条规律的认识论本性的洞悉。
通过建立概念文字，可以把算术知识整理为一个公理化系统，由此尽可能少地把其中一些知识假定为公理，而所有其他知识作为定理都可以凭借概念文字的逻辑规律由这些公理推导出来。因此，逻辑规律就像链条一样，毫无间隙地把公理和定理连接起来，由此我们追溯到算术知识的源泉。通过这种追溯，弗雷格发现算术的公理实际上仅仅是逻辑的公理，或者说，从逻辑规律可以推出算术规律，所以算术从根本上来源于逻辑。根据弗雷格的逻辑观
，在逻辑公理和非逻辑公理之间有着鲜明的界限，公理是“一个其真是确定的思想，不用通过逻辑推理链条的证明”
，而且公理的涵义必须是自明的、清澈见底的。因此，如果仅通过逻辑公理或规律就可以证明两个名称的相等或等价，那么我们自明地认识到它们的相等或等价，即它们的涵义是相同的。但是有很多名称，我们在常识上认为它们是“相等或等价的”，但却无法从逻辑公理或规律证明它们的相等或等价。这时我们首先要增加经验公理
，然后从经验公理经由逻辑公理或规律推出它们的相等或等价，但是从经验公理推出的相等或等价不再意味着涵义的相同，而仅仅意味着指称的相同。例如，“晨星”的涵义不同于“昏星”的涵义，在一个公理化的系统中，我们可以把晨星定义为一个在如此这般时间、如此这般位置出现的行星，把昏星定义为一个在如此那般时间、如此那般位置出现的行星。虽然根据经验公理(关于行星运行轨道的规律）可以证明晨星的定义恰好等同于昏星的定义，即这两个名称指称相同的行星，但是它们的涵义不同，因为只有仅仅通过逻辑公理或规律被证明为相等的东西才是涵义相同的。因此，其证明过程依赖于先天的逻辑公理还是后天的经验的非逻辑公理，这是判断一个等式或等价式的两边是否涵义相同的标准。由此可见，逻辑涵义与认知涵义并不矛盾：如果两个名称在逻辑上被证明为相等或等价，即它们的逻辑涵义相同，那么它们的认知涵义也相同，即不需要经验公理来证明它们的相等或等价；如果两个名称的认知涵义是不同的，即需要非逻辑公理才能证明它们的相等或等价，那么它们的逻辑涵义也是不同的，即不能仅仅通过逻辑公理证明它们的相等或等价。
其次，逻辑涵义也不与所谓的“语法涵义”相冲突。弗雷格在《函数和概念》一文中所举的例子似乎说明，语言表达式上的细微差别都表现为涵义上的差别，但这并不意味着弗雷格主张严格意义上的语法涵义。根据弗雷格的逻辑涵义，即使从逻辑公理推理算术公理，然后再从算术公理经由逻辑规律推出具体的算术定理，例如1＋1＝2，这也并不意味着“1＋1”和“2”是涵义相同的。这里的关键在于如何理解弗雷格的定义观。“1”、“2”和“＋”并不是纯粹逻辑符号，只有通过定义才能把它们引入逻辑系统中，即用逻辑符号定义非逻辑符号。定义一般以等式的形式出现，其左边是被定义项，其右边是定义项；但是被定义项和定义项的相等是一种约定，并非从逻辑规律推导而来，事实上这一相等是不可证明的。在弗雷格看来，定义是“对语词或符号指称的规定”
，定义的目标在于“被定义项从定义项那里获得涵义”
，我们可以断定被定义项与定义项涵义相同，仅当这一点是“自明的”。也就是说，只有通过“直接洞见”才能识别出定义项和被定义项是涵义相同的。
由此可见，定义等式仅能保证被定义项和定义项的指称相同，不能保证它们的涵义相同。在这个意义上，即使弗雷格成功地把算术公理还原为逻辑公理，他仍然不得不面对如下问题：他所定义的算术符号的涵义是不是我们日常使用的算术符号的涵义？只有通过直接洞见或自明性才能确定它们的涵义相同。但是直接洞见或自明性不是绝对确定的，它们随着我们直观能力和理想化能力的扩展而不断变化。
因此，弗雷格不能绝对地确定他所定义的符号完全地反映或刻画了我们日常使用符号的涵义。具体来说，虽然从弗雷格的逻辑公理可以证明“1＋1”和“2”是相等的，但是这一证明过程依赖于数算子和加法符号的定义
，这个定义的涵义并不像公理的涵义那样是自明的，弗雷格所定义的加法符号的涵义不一定就是我们日常使用的加法符号的涵义，所以即使在逻辑上证明“1＋1”相等于“2”，这也不意味着“1＋1”与“2”涵义相同。因此，弗雷格在《函数和概念》一文中所举的例子并不说明他主张严格的语法涵义，通过逻辑涵义也可以合理地解释这个例子。
克里普克混淆了上述三种不同类型涵义之间的区别，没有从逻辑涵义的角度正确地理解认知涵义和语法涵义，因此，他没有正确地把握弗雷格的涵义观。他在《弗雷格的涵义和指称理论》一文中也表达了他自己的困惑：
众所周知，弗雷格在后来的段落中似乎在这一点倒退了。参见他给胡塞尔的信
，这接近于把逻辑等价语句所表达的思想识别为同一的，不过它有一个限制条件，这个限制条件仅仅增加了困惑(至少对于本文作者而言)。根据弗雷格，算术通过恰当的定义被还原为逻辑，所以一个包含
“738”的语句将与它在其中被替换为“643＋95”的语句保持相同的涵义。这是弗雷格对先前关于涵义和指称观点的根本转变。
克里普克不理解弗雷格的涵义在实质上是逻辑涵义，他从字面上把涵义理解为语法涵义，由此给出了关于如何理解涵义的所谓递归规则，而且把认知涵义严格局限为亲知启示性，然后从亲知的认知涵义出发，通过递归规则理解复杂语句(包括在迭代间接引语中的语句）的涵义。克里普克的这种做法是对弗雷格的歪曲。实际上，涵义无穷分层的问题是一个伪问题，它根本不会出现在弗雷格的涵义和指称理论中。
虽然弗雷格在生前正式发表的著作和论文中没有讨论由间接涵义引起的无穷分层问题，但是卡尔纳普在弗雷格关于概念文字的课堂上亲笔记录过如下表格：
其中间接引语中语句的涵义一栏被留作空白，这肯定不是卡尔纳普的疏忽，而是弗雷格根本不认为这种语句具有涵义。而且在弗雷格给罗素的书信中也讨论过这个问题：
这里这个从句是一个思想的专名，正如“亚里士多德”是一个哲学家的专名。这里从句并不表达一个思想而是标示一个思想。在我的《概念文字》中我没有引入间接引语，因为我还没有机会这样做。
可见，在弗雷格看来，间接引语中的从句根本不表达思想，所以也不具有涵义。既然不存在间接涵义，那么由间接涵义所引起的无穷分层问题当然也就不存在了。但是，这个说法似乎不能令人信服，有人可能认为，通过否认间接涵义的存在而消解涵义无穷分层问题的做法是一种循环论证。为了应对这个挑战，我尝试从弗雷格的角度提出一种新的解释来消解涵义无穷分层问题。
首先，我把关于涵义和指称的区分与关于概念和对象的区分进行类比。众所周知，弗雷格不仅区分了概念和对象，也区分了一层概念和二层概念等等，由此还可以区分出更高层次的概念。
但是，就我所知，弗雷格从未提到四层以上的概念，原因在于，通过外延算子的化归作用，可以用一层概念表示二层概念，由此还可以类似地用二层概念表示三层概念，等等。具体来说，可以用弗雷格的外延算子定义属于关系：
x∈y←→∃Y(y＝εY∧Yx)
其中εY表示Y这个概念的外延，在弗雷格看来，外延是对象。例如：
∃xΦ(x)
这是一个二层概念(函数)，其中f表示这个二层概念的主目位置，如果把非空一层概念填充到这个主目位置，则这个函数的值是真，否则，这个函数的值是假。但是这个二层概念对应如下一层概念(函数)：
∃x(x∈y)
其中y表示这个一层函数的主目位置，如果把非空外延填充到这个主目位置，则这个函数的值是真，否则，这个函数的值是假。因此，在弗雷格概念文字的系统中既不存在也不需要无穷层次的概念。遵循这个思路，我认为，即使确实存在所谓的间接涵义，也可以把二次迭代的间接引语中的语句涵义还原为一次迭代的间接引语中的语句涵义，类似地，还可以把三次迭代的间接引语中的语句涵义还原为二次迭代的间接引语中的语句涵义……如果这种还原是可能的，那么根本不存在涵义的无穷分层问题。
间接涵义的还原可以在如下方案中进行。我把“A这个人相信Ψ这个语句”形式化地表示为：在经典逻辑系统中从A所具有的经验公理可以推演出y这个语句，即：
Φ A ┠ C Ψ
其中Φ
A
是A的经验公理的合取，┠
C
表示相对于经典逻辑的推演关系。也就是说，我把涵义理解为逻辑涵义，如果A这个人相信y这个语句，而且把A头脑中所具有的经验知识进行公理化，这些经验公理的合取是Φ
A
，那么从Φ
A
可以推演出Ψ。
在相同主体的迭代间接引语中，例如
(S)A这个人相信A这个人相信Ψ这个语句
我首先将其形式化为：A这个人相信，在经典逻辑系统中从A所具有的经验公理可以推出Ψ这个语句，即：
A这个人相信Φ A ┠ C →Ψ
根据演绎定理，上述形式化表示可以等价地写为：
A这个人相信┠ C Φ A →Ψ
进一步将其形式化为：
Φ A ┠ C Φ A →Ψ
再根据演绎定理，将其等价地写为：
┠ C Φ A →(Φ A →Ψ)
根据基本逻辑规律得到：
┠ C (Φ A ∧Φ A )→Ψ
因为(Φ A ∧Φ A )←→Φ A ，所以得到：
┠ C Φ A →Ψ
因此，(S)与“A这个人相信Ψ这个语句”在实质上是一回事，也就是说，就相同主体而言，一次迭代间接引语中的语句涵义被还原为单纯间接引语中的语句涵义。对于不同主体的迭代间接引语，情况是类似的。例如：
(D)B这个人相信A这个人相信Ψ这个语句
按照前面类似的方法得到：
┠ C (Φ B )∧Φ A )→Ψ
其中Φ B )是B的经验公理的合取。根据演绎定理，等价地得到
Φ B ∧Φ A ┠ C Ψ
因此，(D)相当于说，从B和A的经验公理可以推演出Ψ，也就是说，A和B共同相信Ψ这个语句。因此，在不同主体的迭代间接引语中的语句涵义可以被还原为在两个主体的单纯间接引语中的语句涵义。
从语言哲学的角度看，弗雷格与克里普克的根本分歧表现为描述理论和历史因果理论之间的争论。以弗雷格为代表的描述理论认为，专名既有指称又有涵义，专名的涵义是由摹状词给出的，摹状词帮助我们在具体情况中确定专名的指称。但是克里普克认为，专名没有涵义，只有指称，任何摹状词都不是确定专名指称的充分必要条件。因此，专名是严格指示词，它在任何可能世界中都指称同一个对象。在此基础上，克里普克发展出所谓的因果历史理论：在初始的命名仪式中人们通过实指的方式为某个对象命名一个名称，然后这个名称经过传递链条从一个说话者传播到另一个说话者。只要先前的说话者和后来的说话者保持一致，就可以正确地确定这个名称的指称，这个过程不需要涵义或摹状词的帮助。从克里普克对涵义无穷分层问题的解决方案中可以清楚地看出，历史因果理论的某些要点在间接涵义问题上重新表现出来：初始的命名仪式对应于涵义的亲知启示性，历史因果的传递链条对应于语言表达式的递归规则，以亲知的方式理解一个原子语句的认知涵义相当于以实指的方式为一个对象命名，通过递归规则理解复合语句的语法涵义相当于一个名称在历史因果的传递链条上从一个说话者传播到另一个说话者。因此，克里普克的解决方案实际上是描述理论与历史因果理论之间“战争”的延续。我不想对描述理论和历史因果理论之间的争论做出最终裁决，这种争论可能会一直持续下去，但是根据我在本章中的论证，克里普克对弗雷格关于涵义和指称理论的解读是不成功的，至少他歪曲了弗雷格的本义。