约公元前370年

欧多克斯建立比例论

约公元前370年，因为无理数的发现，数学史上发生了第一次数学危机，在这场危机中，一位名叫欧多克斯的人殚精竭虑，创设理论，试图力挽狂澜。那么，欧多克斯是个怎样的人呢？

欧多克斯是古希腊的著名学者，公元前408年出生于尼多斯的一个医生家庭。他父亲喜欢在夜间观察星象。年幼时的欧多克斯耳濡目染，对医学和天文学产生了兴趣。公元前368年，欧多克斯来到雅典进行为期2个月的访问，为贫困所迫，他只能住在离雅典主城区约10公里的比雷埃夫斯，但求知的渴望驱使他每天来回步行，到雅典学园听柏拉图等学者的哲学演讲。在埃及的赫利奥波利斯，他潜心研究天文，到附近的天文台去观察天象，并提出了地心说，后经亚里士多德和托勒玫进一步发展而逐渐建立和完善起来。后来，他来到小亚细亚的基齐库斯，收了许多门徒，形成一个学派，人称欧多克斯学派。

早期的地心说模型

欧多克斯博学多才，并写过多部学术著作，可惜都失传了。他的成就，我们只能从生活年代稍晚于他的其他学者的著作中得知。

在数学上，欧多克斯最重要的贡献，就是比例论。这部分工作主要保留在欧几里得《几何原本》的第5卷中。书中对欧多克斯的比例论描述如下：

比是两个同类量之间的一种大小关系。

对于两个量a和b，如果存在一个正整数m，使得ma＞b，又存在一个正整数n，使得nb＞a，那么称它们有一个比。

欧多克斯的这个贡献，拯救了陷入不可公度量困境的毕达哥拉斯学派，因为这个定义适用于所有可公度和不可公度的量，换句话说，不可公度量也能有一个比。以正方形的边长和对角线长为例。由于三角形两边之和大于第三边，所以正方形的边长的两倍大于对角线长；又由于直角三角形的斜边大于直角边，所以对角线长大于边长。于是，正方形的边长和对角线长有一个比，即它们有大小关系。

有了比，人们自然要问：这个比有多大？欧多克斯的比例论回避了这个问题。

欧多克斯的比例论可适用于一切量，不管它是可公度的还是不可公度的，这样它就绕过了“不可公度”这个障碍，证明了许多毕达哥拉斯学派只能对可公度量证明的命题。

公元前387年，欧多克斯率领着他的一批门徒，第二次访问雅典学园，与柏拉图等学者进行了广泛的学术交流。欧多克斯最终还是回到故乡尼多斯定居，并在当地的立法机关担任重要职务，但他仍坚持他的学术研究，直到公元前355年逝世。

尼多斯

当然，欧多克斯的比例论是有其时代局限性的。我们知道，不可公度量的比就是无理数。为了避免出现无理数，欧多克斯从来不用数来表达这种比，他的比例论中也从来没有出现过比之间的运算。这样处理，只能暂时地缓解第一次数学危机。第一次数学危机的彻底消除，还要再过2000多年，等到严格的实数理论建立之后。