下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
你是否还记得初中的时候，老师让你做因式分解时的状况呢？
“为什么要做这种事啊？”我想很多人都会提出过这种疑问吧。
因式分解的目的当然不是为了折磨学生，其意义是增加式子的“信息量”。关于式子的信息量，我在《写给全人类的数学魔法书》中也有提及，去翻阅一下吧。
信息量会根据式子的形式发生改变。
式子的信息量
① A+B=0
② A×B=0
由式子①我们可知，
A+B=0
但是，相加得0的2个数字组合有无数个，比如1和-1、5和-5、10和-10……
也就是说，即使知道和为0，也无法确定A和B的数值。我们再看看式子②。
A×B=0
A×B的积为0，说明其中一个必定是0。即“A=0或B=0”。与①相比，②的信息量明显增加了。
与和相比，积的信息量更丰富，这就是进行因式分解的目的。
我在《写给全人类的数学魔法书中》介绍过的“与其考虑相加，不如考虑相乘”，就是“遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路”之一。
在开始学习因式分解之前，让我们先总结一下多项式的计算吧。算式中的不同字母要区别对待。
5x+2y
举个例子，我们可以将上述式子简单地理解为5个苹果和2个橘子。
（5x+2y）+（x+3y）
我们可以把这个式子理解为，除了5个苹果和2个橘子外，又加了1个苹果和3个橘子。这时，我们就可以通过加法算出苹果和橘子的个数。
苹果：5+1=6（个）
橘子：2+3=5（个）
在此基础上，用代数式进行计算：
（5x+2y）+（x+3y）=（5+1）x+（2+3）y=6x+5y
字母相同（苹果、橘子）的项就被称为同类项。在多项式的加法运算中，同类项可以通过系数（字母前的数字）相加进行合并。
上面提到，只有同类项的系数可以进行加法运算，这根据的是下面的计算法则（分配法则）。
分配法则
（m+n）x=mx+nx
我们可以通过下面的图形，论证分配法则。
图中大长方形的面积是（m+n）x，该面积等于里面2个小长方形的面积mx和nx之和。
（m+n）x=mx+nx……①
所以上述等式是成立的。另外，A×B与B×A的结果相同，所以分配法则可以写成下面这种形式。
x（m+n）=mx+nx……②
如果A=B，那么B=A，所以分配法则也可以左右颠倒。
mx+nx=（m+n）x
下面的等式就是根据分配法则变形的。
5x+x=（5+1）x
2y+3y=（2+3）y
多项式×多项式也可以按照上述的分配法则进行计算。
多项式×多项式
（m+n）（x+y）=mx+my+nx+ny
该计算的正确性也可以通过下面的图形证实。
大长方形的面积=（m+n）（x+y）
4个小长方形的面积之和=mx+my+nx+ny
因为大长方形的面积等于4个小长方形的面积之和，
（m+n）（x+y）=mx+my+nx+ny
所以，上述计算是正确的。
我们今后会经常用到多项式×多项式，所以一定要反复练习，加以巩固。
多项式×多项式的计算有多种形式，我整理出了下列公式。
乘法公式
（1）（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab
（2）（x+a）2=x2+2ax+a2
（3）（x-a）2=x2-2ax+a2
（4）（x-a）（x-a）=x2-a2
记住这些并不难，下面我们就用这些公式做几道练习题吧。我先把公式（1）～（4）的证明过程写出来，大家一定要多多练习，能独立用这些公式解题。
【证明】
以上4个公式都很重要，其中最重要的是（4）。在公式（4）的证明中，（x+a）与（x-a）相乘后，-ax与+ax相互抵消，只剩下x2与-a2。对数学感兴趣的人，一定会惊叹“这个结果真神奇”，和与差这两个完全相反的概念相互抵消后，结果就变得简单明了了。或许你会觉得我的描述有些夸张，只要你亲自证明一下公式（4），也一定会发出这样的感慨：“哦哦！真的消掉了啊！”如果真是这样，你就发现了数学的乐趣和美妙。
接下来，我们就用公式（4）解一道应用题吧。
问题
[明治学院高中部]
当然，你完全可以用笔算的方法得出202×198的答案，如果让你换种思路，也可以用公式（4）解开这个问题。
因为，
202=200+2
198=200-2
所以，
综上可见，①=40000，②=4，③=39996
因式分解的方法
多项式×多项式的式子变形成没有“（）”的式子（分散），叫作“展开式”；反过来，将分散的式子变为多项式×多项式这种乘法运算形式，则叫作因式分解。
任何教科书上都会提到以下3条因式分解的基本要求。
因式分解的基本要求
①提取共同的因数
（例）ax+ay=a（x+y）
②对最低次的字母进行整理
③公式的利用
因式分解的公式
（1）x 2 +（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
（2）x 2 +2ax+a 2 =（x+a） 2
（3）x 2 -2ax+a 2 =（x-a） 2
（4）x 2 -a 2 =（x+a）（x-a）
因数分解与展开式相反，左右颠倒乘法公式，就是因式分解的公式。
在因式分解的基本要求中，第2条“对最低次的字母进行整理”最容易被学生遗忘。一小部分勤奋的学生虽然记住了这一条，却没有几个人能说明，为什么要对最低次的字母进行整理。
学习数学的目的是为了锻炼逻辑能力，解开未知的问题。会因式分解，却不能从中总结出能进行广范围应用的思考方法，就等同于学无所成。
因式分解是指，将算式改写成乘积的形式，换句话说，因式分解相当于式子的整理。
接下来的内容有点儿跑题，不过我还是希望大家能看看下面的照片。
书架上摆满了物理和化学的习题集，上面2层是物理习题，下面2层是化学习题。同一科目的书籍按照尺寸进行排列，同一尺寸的书籍按照出版社类别进行排列。
假设这个书架因为某些原因倒了，你会怎样整理散落一地的书呢？没错，首先按照科目类别分成物理和化学，然后按照尺寸大小排列，最后再按照出版社类别来排列。
从这个例子我们可以看出，整理事物时，最有效的方法是从变化较少的方面着手分类。再举个例子，如果想对面前的男女老少进行分类，那么最快的方法就是先按照男女类别来划分。
因式分解就是对式子的整理，所以也可以按照这种思路思考。
比如下面这个式子。
x 2 +xy-x-y
这个式子中，x是二次式，y是一次式。
（i）对x进行整理，式子就会分成3部分。
〇x 2 +△x+□
（ii）对y进行整理，式子只会分成2部分。
〇y+△
正如前面所说的，整理要从分类较少的方面着手。因此，对最低次的字母进行整理是最有效的方法。
x 2 +xy-x-y
不仅如此，对上面式子中的y进行整理后，还会得出下面的式子：
（x-1）y+x 2 -x
如果这个式子能进行因式分解，那么（x-1）或y都要加上括号。后半部分的x 2 -x中没有y，所以自然而然地会在x 2 -x中寻找（x-1）。像这样对最低次的字母进行整理，我们能从中得到一些启示，进而从式子中找到因式分解的出路，最后只要继续因式分解便能得出答案。
要想熟练地完成因式分解，实践练习必不可少，让我们来练习一下吧（不好意思，我在此直接用了高中的入学试题）！
问题
请对下列式子进行因式分解：
①x 2 y+5xy-14y [清风高等学校]
②3（x-3） 2 -48 [法政大学第二高等学校]
③a 2 b-b 2 c-b 3 +ca 2 [关西学院高中部]
【解答】
在①式所有的项中，共有的因数是y，所以先提出来。
x 2 y+5xy-14y=y（x 2 +5x-14）
接下来我们看括号里的内容。你看出括号里的式子是因式分解公式（1）的形式了吗？现在把公式和括号里的式子单独列出来。
x 2 +（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
x 2 +5x-14=？
综上所述，只要找到满足下述条件的a和b，就能完成因式分解。那么该如何处理呢？前面说过，积的信息量比和多，这里也是一样，积的式子包含了更多信息。
ab=-14
让我们来思考一下哪些a和b的组合能让该式子成立。在此，你可以限定a和b都为整数（非整数的例子到高中才会出现），因此，a和b的组合只有下列几个。
（a, b）=（1，-14）、（-1，14）、（2，-7）、（-2，7）
然后你再从中找出a+b等于5的组合，就只有唯一一个。
（a, b）=（-2，7）
综上可见，
x2+5x-14=（x-2）（x+7）
在面对下列候选组合时，
（a, b）=（-14，1）、（14，-1）、（-7，2）、（7，-2）
其实不用考虑正负颠倒的问题，因为
（x-2）（x+7）和（x+7）（x-2）
没什么区别。
在②式中先提取共有的因数3。
3（x-3） 2 -48=3｛（x-3） 2 -16｝
你发现了吗？16是个平方数（某个数平方后得到的数）。如果你发现了这个奥秘，就可以借助因式分解公式（4）进行解答。
（x-3） 2 -16=（x-3） 2 -4 2
为了方便大家套用，我在此把因式分解公式（4）也列出来。
x 2 -a 2 =（x+a）（x-a）
（x-3） 2 -16=？
利用这个公式，我们就能进行因式分解了，而解题的重点是将（x-3）看成一个整体。为方便起见，我在此用一个新的字母将其替换——假设（x-3）=X。
式子③有些复杂，而且其中没有共有的因数，这时就需要参考因式分解的基本要求“对最低次的文字进行整理”。我们通过式子可以得知，a是2次、b是3次、c是1次。c为最低次，所以我们就要对c进行整理。
对二次方程进行因式分解，我们会切实感受到式子释放的信息量变多了。在下一章，我将对一次方程、二次方程的解题方法进行详细介绍。