式子的计算（初中2年级）

与次数的邂逅

小学的时候老师都教过我们，得出的应用题答案要带单位。个数的单位用（个），长度的单位用（cm），面积的单位用（cm ² ）……然而随着我们深入地学习数学，对“单位”就不那么执着了，归根结底，是因为解答带单位的具体问题（应用题）的机会减少了。数学中不常出现单位，是因为从式子中能找到与单位相同的意思。

拿16来说，如果没有单位，我们无法得知16表示的是下面这个正方形的周长还是面积。

因此，有必要带上单位——如果表示的是长度就是16cm，如果表示的是面积就是16cm ²

如果用字母代替数字，

对于上面的正方形，就算我们得出的结果没有单位，也可以一目了然地知道它们是什么。

4a指的是周长，a ² 指的是面积

那是因为，一次式表示的是长度，二次式表示的是面积。“一次”“二次”都属于次数。在使用数字时，我们很难意识到次数的概念，但是使用字母就不一样了，我们能从中感受到更多的含义。

次数是什么

让我们重新复习一下次数吧。

【例】

0次式：只有数字，如：

一次式：“数字×字母”的形式，如：

二次式：数字×字母×字母，如：

在上面的例子中，使用数字和字母进行乘法运算，得到的式子叫作单项式。由多个单项式的和（或差）组成的式子叫作多项式。比如下面的式子，就是二次三项式。

次数=因子的数

看式子判断次数并不难。如果是单项式，只看相乘字母的个数即可；多项式的次数指的是次数最高的项的次数。事实上，次数蕴含着更深层次的意义，让我们用图形来加深印象吧。

直线的长度（设为l），用一次式表示如下。

测量出长度（a），便能确定l的值。换句话说，直线的长度只有一个要素（因子）。

与之相对应的是矩形的面积，它是二次式（如下）。

S=ab

不知道矩形的长和宽分别是多少，就无法确定面积，所以面积由2个要素决定。

接下来，我们来看下面的长方体。

长方体的体积（设为V）是长×宽×高，公式如下。

V=abc

这里的长、宽、高也是自由的，所以长方体的体积是由3个独立要素决定的。

通过上面的例子，我想大家都能明白。代表长度、面积、体积的数中，都潜藏着因子，我们掌握了次数的概念，才能知道其中有多少个因子。另外，因子（独立的要素）的数量也可以称为“自由度”，一个式子拥有n个独立要素，就可以理解为该式子的自由度为n。

次的概念

现在，3D电影和3D电视随处可见。“D”是英文单词“Dimension”的首字母，日语中是“次元”的意思。“次元”指自由维度。一维度的世界是直线的世界，在一维度的世界里，车辆只能向前或向后走（不能转方向盘）；在二维度的世界中，自由度为2，你除了前后移动，还能选择左右移动（可以转方向盘），也就是平面的世界；而在三维度的世界中，你能跳跃（给车子装上翅膀，让其翱翔空中），所以三维空间指的是立体空间。

一次：由1个要素构成→自由度为1：直线（一维度）

二次：由2个要素构成→自由度为2：平面（二维度）

三次：由3个要素构成→自由度为3：空间（三维度）

了解这些内容，是理解次方的第一步。著名的勾股定理就是个二次式（第6章）。

a ² +b ² =c ²

该定理可以通过图形的面积证明。在1000多年前，求根公式尚未出现，欧几里得通过几何学的方法解开了二次方程。

了解函数概念的读者可能会问：

“那么，二次函数的2个要素分别是什么呢？”

真是一针见血。实际上，二次函数有2个非0的变化率，看到这里，估计有人已经懵了（很抱歉）。

其实，函数的次数与变化率的关系，已经牵扯到微分的知识了。这些内容，我会在第4章进行详细描述，敬请期待！

如果你能代入字母列出方程，再根据次数推测出命题中有几个独立要素，当你看到算式时，脑子里就会浮现出丰富的画面。下面我要介绍的“德雷克公式”，就是拥有7个独立因子的7次式。

德雷克公式

1961年，美国天文学家法兰克德雷克为了推测可能与我们接触的银河系内外星球高智慧文明的数量，提出了下面的方程。N表示银河系中地球以外的文明（可进行通信）数量。

N=A×B×C×D×E×F×G

A：银河系内每年诞生的恒星数量

B：该恒星拥有行星的概率

C：其中具备生命诞生条件的行星的数量

D：生命诞生的概率

E：该生命进化成有智慧的生命体的概率

F：拥有与其他星球进行通信的技术的概率

G：该技术文明能够存在的时间

N是A到G的乘积，所以是7次式。也就是说，德雷克认为，地球以外的文明是由7个独立的因子决定的。

顺便说一句，1961年德雷克得出的数值如下：

A=10[个/年]（每年平均诞生10个恒星）

B=0.5（恒星中有一半有行星）

C=2（拥有行星的恒星，有2个可能诞生生命的行星）

D=1（在可能诞生生命的行星中，诞生生命的概率为100%）

E=0.01（诞生了生命的行星中，1%孕育了知识文明）

F=0.01（有知识文明的行星中，1%能够通信）

G=10000[年]（能够通信的文明能维持1万年）

将以上数值代入公式（如下）。

N=10×0.5×2×1×0.01×0.01×10000=10

银河系有10个能够通信的文明。从中不难看出，生物能够进化成智慧生物并创造文明的概率（E和F）及其延续时间（G）是非常少的。

假设你面前有一只蚂蚁和一只蝗虫，就在一瞬间，蝗虫突然跳到蚂蚁的背后。这时，蚂蚁肯定会惊呼：“哇！蝗虫瞬间移动了！”因为蚂蚁（也许）无法理解三维的世界。

增加一个维度，我们的世界会延伸出超乎想象的广度（所以，哆啦A梦的“四维百宝袋”是合理的）。

换言之，增加“次”也就意味着世界会变得更复杂。所以，在解答高次的问题时，我们要降低次方和次数，将问题放到更单纯的世界中解决。这一点是《写给全人类的数学魔法书》中介绍的“遇到任何数学题却能够解答的10种解题思路”中的重中之重。 0iDiht8AEDzfTsEmJxAjQ8v0tSrGVR5vYzsMrhECAzkFgbS7VpP1+uLpuwnm1s1Z