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数学与算数最大的差别在于，解答数学问题会使用负数和字母。我们已经在上一章学过负数。那么，为什么数学会使用字母呢？简而言之，是为了抓住事物本质。例如，
-1、0、3、8、15、24、35、48、63、80、99……
大家知道这些数字之间有什么联系吗？如果你发现了其中的奥秘，说明你的洞察力相当敏锐（其实是有些难度的）。在描述这些数字之间的关系时，我们就需要代入一个字母。
n 2 -1（n为正数）
如此一来你就明白了吧——上面的数是平方数（某个数平方后得到的数）减去1之后得到的数字。其实字母不具备具体属性，无法明确表达意义，却能帮助你发现本质，你可以用一个列式表示所有拥有同一性质的数。
比如，如果你想列举所有的偶数，用数字的话，根本不可能完成。
0、2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26……
写到最后，你只能用“……”表示省略。但是，使用字母后，你只要写成：
2n（n为整数）
这个简单的数字字母组合就能代表所有的偶数，这就是所谓的“一般化”。
本质指的就是概念。我们在前一章提到过负数和无理数，这两种数都需要借助概念才能理解，可以说，理解“概念”是学习数学的一大目标。
一旦使用字母代替数字，我们便走进了代数（algebra）的世界。
代数，是9世纪的波斯数学家阿尔·花剌子模的著作——IIm al-jabr wal-muqubalah中“al-jabr”的词源，原本是“移项”的意思。阿尔·花剌子模又被称为“代数之父”。
“某个数的5倍减去3等于7。这个数是多少？”代数起源于3世纪，这种语言描述形式的文辞代数（rhetorical algebra）是代数发展的第一阶段。你也许会觉得这样的描述很啰嗦，如果使用字母和符号，这个问题就可以用下面的式子表示。
5x-3=7
这种算式（代数式）最早出现于17世纪。完善这种符号代数（symbolic algebra）的正是那位因“我思故我在（《方法论》）”而闻名天下的笛卡尔。
在式子中使用字母时，必须遵守几个规则，下面我们就来整理一下。
代数式的规则
规则1：省略乘法运算的符号（×）。
a×b=ab
规则2：数字与字母相乘，数字要写在前面。
a×3=3a
规则3：相同字母之积写成乘方。
a×a=a 2
规则4：不使用除法运算符号（÷），除法用分数表示。
与“1”或“-1”相乘时，1要省略，这点需要特别注意。
1×a=a
（-1）×a=-a
另外，看到代数式时，一定要时刻想着“1”可能被省略了。在式子变形时，这一点非常重要。
【例】
我们一开始就说过，在算式中使用字母，可以帮你抓住算式的本质。假设你不知道三角形的面积公式，有人给你看了下面这张图，
然后告诉你“这个三角形的面积是6”，不知你能否发现“6”是这样计算出来的：
4×3÷2=6
或许，你会误以为“6”是这样算出来的：
5+4-3=6
如果别人给你的图是这样的，并告诉你“这个三角形的面积是1/2ab”，你就能立刻发现它的本质：
三角形的面积=
底边长×高（=底×高÷2）。
如果再遇到下面的三角形，你就能准确地求出它的面积。
这就是字母的作用，认识到这一点非常重要！学会代数式的表达，并熟练将其应用于具体事例，你会发现很多复杂的东西都能变得很简单。
抓住事物的本质，总结出共同的概念，这就是所谓的一般化。数学的基本精神，就是从多个具体事例中找出潜藏的本质。因此，在学习数学过程中，我们应该随时想到用字母来表示对象。
以三角数为例。将物品以三角形式排列，我们会得到一串数字：1、3、6、10……我们将这些数字称为三角数。
这里列举了5个数，那么，第10个数是多少呢？
“等一下，我画图看看……”
如果你肯这么费心地解答我提出的问题，那我不得不说，你真是个有耐性的人啊。但是，如果我问你第100个三角数是多少呢？我想，即便你再有耐性也不想画，一定会说：“我怎么知道。”
但是，如果你知道三角数可以用下列代数式表示，
（n为自然数）就能轻松计算出第10个数：
即便是计算第100个三角数，也不在话下。
用字母表示对象，实现一般化，就能轻松解决麻烦的问题，是不是很神奇？
我再举个例子。大家听说过“月龄历”吗？
月龄历上记下了月亮一整年的圆缺情况，市面上有许多种类。另外，在某些网站也能查到指定日期的月龄，不论是多少年以前的，都能查到，你知道这是为什么吗？顺便说一句，这世上可不存在“天气日历”哦。
y年m月d日的月龄a可以用以下公式求出。
p（m）是每月都会变化的补充项，所以应根据所求月份，代入下列表格中的值。
例如，我们要求出2020年1月1日的月龄。
将y=2020、p（m）=0（根据上表）、d=1代入上面的公式。
因此，月龄为5日。
该公式是简略版的，所以最多会出现2天的误差。在一些能进行详细计算的网站上查询，2020年元旦的月龄是5.4日，所以差不了多少。
月龄可用代数式表示，因此我们能轻松地算出指定日期的月龄。但是，目前我们完全不能通过将日期代入某算式，得知该日期的天气状况。也就是说，月龄被一般化了，但天气并未一般化，即便是天气预报，也经常报不准。
我们来做几个练习，试着借助一般化的概念，解决一些简单的问题吧。题目的内容冗长，我们的目标是用代数式来表示它！
问题
已知某个自然数能被9整除，同时各位数字之和也能被9整除。假设该自然数是个3位数，证明上述假设成立。
[涉谷教育学院幕张高中]
【答案】
问题中出现的是“3位数的自然数”，首先，我们要考虑用字母来表示。这是十进制的计算题，在序章中，我们已经了解了部分和十进制相关的知识，比如，当我们看到789这个数时，会根据所学知识认为，789是由7个100、8个10、9个1组成。也就是说，我们会下意识地认为789是这么构成的：
789=100×7+10×8+1×9
假设百位数为a、十位数为b、个位数为c的数，我们可以用以下代数式表示一个3位数。
接下来用字母表示“能被9整除”的数也就简单了。能被9整除，就相当于是9的倍数。9的倍数是“9×整数”，所以设m为整数，那么能被9整除的数，就能用9m表示了。综上所述，“某个3位数的自然数能被9整除”这句话，可以“翻译”成下列算式。
100a+10b+c=9m（m为整数）……①
将文字应用题改成算式（先随便取个名字，就叫“数译”吧）的方法，第3章中会详细解说。
“各位数字之和也能被9整除”，这句话可以转换成下面的代数式。
a+b+c=9×整数……②
现在我们要对①式进行变形，去掉c。
消去c的原因，将在下一章讲述。
根据①得出，
100a+10b+c=9m
⇔c=9m-100a-10b ……③
将③代入②。
a+b+c=a+b+9m-100a-10b
=（1-100）a+（1-10）b+9m
=-99a-9b+9m
=9×（-11a-b+m）
因为a、b、m为整数，所以“-11a-b+m”也是整数。
没错，上面的式子已经变形成下面的等式（②的形式）了。
a+b+c=9×整数
也就是说，我们已经得出了a+b+c（各位数的和）是9的倍数（能被9整除数），这个结论。
上述内容证明了“3位数的自然数能被9整除的同时，各位数的和也能被9整除”。
不熟悉式子变形的人，请认真阅读接下来的“式子的计算（初中2年级）”。这里最重要的不是式子变形，而是用字母表示“3位数的自然数”或“能被9整除的数”，这就是一般化的过程。3位数的自然数是100～999，一共有900个，能被9整除的数不计其数，但只要用1个式子来表示，就能完全列举。
使用字母实现一般化，会将具体的描述转化成抽象的代号。但是，使用字母能表示无穷尽的数，还能抓住事物的本质，你难道不觉得很神奇吗？毫不夸张地说，通过符号代数，数学实现了向抽象世界的飞跃！