平方根（初中3年级）

杀人的数

生活在公元前5世纪的古希腊人，坚信所有的数都可以用整数的比（分数）来表示。特别是以哲学家毕达哥拉斯为首的毕达哥拉斯学派，认为“数是万物之源”，他们就像信仰神明一样，忠实地坚信整数和整数的比，甚至给数字1～10下了如下“定义”，也就是所谓的“毕达哥拉斯数秘术”。

毕达哥拉斯数秘术也可用于计算，例如，

2+3=5是“女性+男性=结婚”

2×3=6是“女性×男性=恋爱”

2+5=7是“女性+结婚=幸福”

3×3=9是“男性×男性=野心”

是不是觉得很容易？当然，万事不能一概而论。与一般人相比，数学家更能感受到每一个数字的“个性”，因此，他们这样定义数字也是可以理解的。顺便说一句，占星术和塔罗牌占卜术都源于毕达哥拉斯数秘术。

虽然当时的古希腊人认为，整数和整数的比能描述一切数的概念，但是在已被神化的毕达哥拉斯学派中，已经有人察觉到，其实世上存在无法用整数的比来表示的数。最讽刺的是，那个数的存在，还是通过毕达哥拉斯定理（也称勾股定理）证明出来的。

详细内容参见第6章“令人信服”。

毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现，下面这种直角三角形的斜边长度c无法用分数表示。

据说，当时听到这一说法的毕达哥拉斯非常震惊，要求所有弟子不得向外界泄露这个数的存在，甚至为了维护自己的权威而杀害了希帕索斯。希帕索斯发现的这个无法用整数的比（分数）来表示的数，就是无理数（irrational number）。

irrational number是指无法用比（ratio）来表示的数，所以有些人认为不应该将其翻译成“无理数”，翻译成“无比数”更贴切。

平方根

在讲解无理数之前，我先来复习一下平方根。首先从定义开始：“平方”是指自乘，“根”是指自乘的数。

换言之，a的平方根是指下面这个等式的解，即x。

x ² =a

例如a=4，

x ² =4

则，

所以，

x=2或x=-2（x=±2）

因此，4的平方根就是2或-2（有2个！）。

一般来说，a为正数时，a的平方根有正负2个，可写成“±x”。“±”读作“正负”。

根和根号

那么，7的平方根是什么呢？哪个数字自乘后等于7呢？想必没人能说的出来吧。因此为了描述这种数字，我们要引入一个新的符号，那就是√（根号）。

之所以特别强调“正数”，是因为正负的概念在之后（高中数学）的学习中非常重要，一定要特别注意。

使用√后，平方根便可以这样表示。

a的平方根是“x ² =a”的解，因此，

所以说，7的平方根就是±√7。

我们已经知道，4的平方根是±2。使用根号后，4的平方根就变成了±√4。难道4的平方根有2种表示？完全正确。

±√4=±2

一般来讲，如果里面的数字是平方数（某个数自乘后得到的数），就可以像下面这样去掉根号。

请注意，等号右边是绝对值。

我之前强调过，在a的平方根中，正数的平方根用√a表示。即，

所以，

这个结果是错误的，应该是，

数的种类

接下来我要介绍的是数的种类。

有理数（rational number）是指可以用分数，也就是比（ratio）来表示的数。整数可以用分数表示，所以属于有理数。

另外，像下面这种，

0.33333333…

0.18181818…

小数点后面重复出现相同数字的小数（又叫作循环小数），也可以用分数表示，所以也属于有理数。

我们之前提到过，无法用分数表示的数被称为无理数，如√2、-√5、3√7、π（圆周率）等，都是无理数。

学习数学虽然无需背诵公式和解题方法，但是还是要知道一些数字的概念。无理数的概念对概算有很大的帮助，所以最好记住。

把无法抓住本质的数作为概念理解

在这一节的开头我曾经提到过，发现无理数的希帕索斯被毕达哥拉斯和本学派的弟子们杀害，那么，为什么毕达哥拉斯宁可杀人也不肯承认无理数的存在呢？是因为不想让别人知道自己的理论是错误的吗？

我认为除此之外还有别的原因。以下纯属我的个人推测：可能毕达哥拉斯等人一直坚信，世间万物都可以用数字表示，而无法用分数表示的无理数，是只有“大概值”的数。比如，我想知道（估算）√5到底等于几。

因为，

所以我们能得知，√5是介于2和3之间的数。接着再进一步计算，因为，

通过推算，我们得出了上述结果，可无论怎么算，我们也无法准确地算出√5的值。

在数轴上，只能知道√5的大概位置。

我想，这才是毕达哥拉斯最无法接受无理数的原因。

其实，爱因斯坦也曾遇到过类似的情况。20世纪20年代，有科学家发现，实物粒子也具有波动性，波长可以预测，物质波理论的提出开创了现代量子力学的时代（看不懂也没关系，可直接跳过）。换句话说，在微观世界里，一个粒子会出现在地点A还是地点B是不可以预测的。而对此，爱因斯坦强烈批评道：“神是不会掷骰子的。”他认为，在之前的物理学概念中，自然现象的未来遵循自然的法则，未来只有一种，但是，如今几乎没有一个科学家会怀疑量子力学。

毕达哥拉斯和爱因斯坦都想通过数学诠释自然现象，也许正是这种强烈的意念，导致毕达哥拉斯做出了过激的行为。

言归正传，“无理数”是我们最初遇到的“无法确定的数”。为了计算，自然数诞生了；为了分配、求算比例，分数诞生了；为了表示“无”的状态，0诞生了；为了在同一概念中掌握相反的概念，负数诞生了……这些数都有具体的数值，但无理数的值却难以确定。无理数只是个有大概值的数，但我们可以知道无理数自乘后的结果，这是不是很神奇呢？

我希望大家能通过认识“无理数”，学会从不同的角度理解事物的概念，只要有了这种认知意识，就能理解本不存在的虚数（平方后等于负数的数）。也许随着研究继续深入，我们会发现这个世界不是三维的，可能是“九维”乃至是“十维”的，而到那个时候，我们就不会觉得这种“超弦（玄）理论”不切实际了。

每个人都会对不了解的事物感到不安。如果能抛开事物的本体，在概念的层面思考问题，我们的思维就能在宇宙的尽头穿梭，认识基本粒子的世界。认识“无理数”，正是我们踏上自由之旅的第一步。

无理数平方根的计算

无理数平方根是难以确定的数，所以在加法和乘法的计算中，我们不能将其设为未知数（代数）。下面，我们要详细讲解代数式的计算。

【加法】

【减法】

乘法和除法的计算过程更简单。

【乘法】

【除法】

包含2个以上的平方根的加减法，需要特别注意。

上面的算式是不成立的，你仔细一想，就会发现这样的计算是错误的。

所以，

减法也一样，

结果很明显：

简单的平方根计算

接下来我要介绍简单的平方根计算方法。

我们在前面已经学过，

由于a＞0，所以，

接下来，就让我们就具体应用一下吧。

要想快速得出结果，就必须记住平方数（某个数平方后得到的数）。如果你能将1到15的平方数牢记在心，用起来会非常方便。