【题目】假设我们讨论天气的时候,只能用有云或没云来区分,也就是只有阴天和晴天两种情况,那么,你认为会在多长的时间内,天气变化情况完全不重复?
粗略地估计一下,这个数值应该不会太大,最多是两个月,所有的晴天和阴天的组合应该都有了。在后面的时间里,这些组合中总有一个会重复出现。
那么,真实的情况是这样吗?下面,我们就通过第五种数学运算来计算一下,看看在这种分类方法下,究竟有多少种不同的组合。
【解答】首先,在一周之内有多少种不同的阴晴组合形式呢?
第一天可能是晴天,也可能是阴天,即存在两种可能;第二天也一样,同样存在两种可能。因此,前两天共有2 2 种可能的组合,即:
两天都是晴天;两天都是阴天;第一天阴天,第二天晴天;第一天晴天,第二天阴天。
那么,前三天呢?由于第三天也有2种组合,因此,跟前两天所有可能的组合结合起来,前三天所有可能的天气变化组合数就是:2 2 ×2=2 3 。以此类推,前四天所有可能的天气变化组合数为:2 3 ×2=2 4 ;前五天共有2 5 种组合;前六天共有2 6 种组合;一个星期共有2 7 种组合,也就是128种。
即最多经过连续128周,天气变化情况会完全不同。在128周之后,总会有128种组合中的一种再次出现。当然,也可能在128周之前就已经出现了重复的情况,这里的128周只是一个最长的期限,超过这个期限,重复必然会发生。不过,也有可能在这128周中完全没有重复的情形,但概率非常小。
【题目】某个单位的保险柜的密码被遗忘了,只有钥匙而没有密码,根本没办法将其打开。保险柜的门上有一个密码锁,由5个带字母的圆环组成,每个圆环上有36个字母,只有把这5个圆环上的字母组成一个单词,才能解锁。想打开这个密码锁而不破坏保险柜,必须把圆环上所有的字母组合都尝试一遍,假设每尝试一个组合要用3秒钟,倘若计划用10个工作日把保险柜的锁打开,能够做到吗?
【解答】我们先来计算一下,这些字母所有可能的组合共有多少种。
先看2个圆环的情况。每个圆环上都有36个字母,从这2个圆环上各取一个字母,所有可能的组合情况是:36×36=36 2 (种)
上面的任一种都能跟第3个圆环上的任一个字母搭配,得到所有可能的组合情况有:
36 2 ×36=36 3 (种)
以此类推,4个圆环所有可能的组合是36 4 种,5个圆环所有可能的组合是36 5 =60466176种。由于尝试每个组合需要的时间是3秒钟,要把所有的组合都试一遍,需要的时间是:
3×60466176=181398528(秒)
将上面的数换算成小时,就是:
181398528÷3600≈50388(小时)
如果每天工作8小时,大概需要
50388÷8≈6300(天)
差不多是20年。
所以,想用10个工作日打开这个密码锁,概率只有10/6300,也就是1/630,太渺茫了。