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古怪的数学题

解方程的时候,可能会碰到一些情况,让没有足够数学经验的人不知所措。下面,我们就来举几个这样的例子。

例1:有一个两位数,它十位数上的数字比个位上的数字小4。如果把十位和个位上的数字对调,新得到的两位数比原来的两位数多27。求这个两位数。

假设这个两位数十位上的数字是x,个位上的数字是y,根据题意可得到下面的方程组:

将第一个方程代入第二个方程,可得到下面的方程:

[10y+(y-4)]-[10(y-4)+y]=27

化简得到:36=27

也就是说,我们没有得出x和y的值,反而得到了一个矛盾的等式,这是怎么回事呢?

这说明,要求的两位数是不存在的,因为方程组中的两个方程是矛盾的。

化简第一个方程得到的是:y-x=4

化简第二个方程得到的是:y-x=3

上面两个方程的左边都是(y-x),但第一个方程的右边是4,而第二个方程的右边是3,显然这是矛盾的。

在求解下面的方程组时,也会遇到类似的问题:

两个方程的两端分别相除,可得到下面的方程:

xy=2

第二个方程是xy=4,对比可得出这样一个结论:4=2,显然这是不可能的。所以,满足这个方程组的数也是不存在的。一般我们称这种情况为“不相容”方程组或“矛盾”方程组。

例2:把例1中的已知条件稍加改变,又会遇到另一种意外的情形。比如,已知这个两位数十位数上的数字比个位上的数字小3,而不是小4,其他条件不变,求这个两位数。

假设这个两位数十位上的数字为x,个位上的数字则为x+3,可得到类似例1中的方程:

[10(x+3)+x]-[10x+(x+3)]=27

通过计算,可得出:

27=27

显然,这个等式是恒等式,但我们并未计算出x的值。是不是不存在这样的两位数呢?

情况刚好相反,这个恒等式说明,无论x的值是多少,方程永远成立。事实上,也很容易验证这一点,题目中讲到的已知条件,对于任何一个十位上的数字比个位上的数字小3的两位数来说,都是成立的,比如:

41-14=27

52-25=27

63-36=27

74-47=27

85-58=27

96-69=27

例3:有一个3位数,满足以下条件:

(1)十位上的数字是7;

(2)百位上的数字比个位上的数字小4;

(3)如果把这个三位数颠倒过来写(即个位与百位上的数字互换),新得到的数比原来的3位数大396。求这个三位数。

假设这个3位数个位上的数字为x,则有:

100x+70+x-4-[100(x-4)+70+x]=396

化简上面的方程,得到:

396=396

通过例2的经验,我们知道这个结果表示:任意一个三位数,只要它百位上的数字比个位上的数字小4,不考虑十位上的数字,那么,如果把这个三位数颠倒过来写,得到的新数就会比原来的那个数大396。

上面讨论的这些问题都比较抽象,之所以列举这些例子,就是为了帮助读者养成一个习惯:遇到这样的问题,把方程列出来,剩下的就是求解方程的问题了。现在,我们已经有了这样的理论知识,接下来就能解决日常生活、体育或军事方面的问题了。 dAtaHOL+BVbYXdNsX6CkyDwx64zO2FLq0PZjvXzPkLglJf4dtNJmm2P0ZzW+asHR

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