不可思议的最短航线

在一次小学的数学课上，老师在黑板上标出了两点，并让一位学生在两点之间画出最短的路线。学生接过粉笔后，思考了片刻，就用一条曲线把两点连接起来。

老师很生气，说：“我们讲过，两点之间直线最短，你为什么要画一条曲线呢？”

学生回答：“我爸爸教我的，他是开公共汽车的，每天都这么开。”

你是不是跟这位老师的想法一样？如图1所示，很多读者朋友都知道，图中的曲线刚好是南非的好望角跟澳大利亚最南端之间的最短路线。所以，我们不应该去嘲笑那位学生。事实上，我们还能看到更多不可思议的事。图2是从日本横滨到巴拿马运河的两条路线。相比而言，那条半圆形的路线比直线短多了。

千万不要认为我在开玩笑，前面提到的这些，我们都能通过地图测绘员的测绘得到证实。那么，要如何解释这个问题呢？

在这里，我们不得不提到地图，尤其是航海图。我们不妨先看看地图的基本知识。地球是球体，严格意义上讲，它的任何一部分都无法完全展开成一个中间不重叠、不破裂的平面。所以，想在一张纸上真实地画出某块陆地，是不太可能的。人们在绘制地图时，总会不可避免地进行一些歪曲，我们无法找到一张没有任何歪曲的地图。

下面，我们来说说航海图。提到它，我们就必须认识一个人，那就是16世纪荷兰地理学家墨卡托，绘制方法就是他发明的。我们通常把这种方法称为“墨卡托投影法”，如图2所示。这种地图有格子，很容易看懂，上面的所有经线都是用平行的直线表示的，所有的纬线都是用与经线垂直的直线表示的。

那我们不禁要问：如何在同一纬度上找出两个海港间的最短航线呢？你可能会说，只要知道最短航线的位置和它所在方向就行。接下来，你可能还会想到，最短航线肯定在两个海港所处的纬线上，因为地图上的纬线都是用直线表示的，我们可以用“两点之间直线最短”来解答。可惜啊，这是不对的，按照这种方法找出的航线不是最短的。

我们来分析一下。在一个球面上，两点之间最短的路线不是它们的直线连线，而是经过这两个点的一个大圆弧线（球面上，圆心与球心重合的圆称为大圆）。这条大圆弧线的曲率比这两个点之间任何一条小圆弧线的曲率都要小，且球的半径越大，大圆弧线的曲率就越小。所以，看似直线的纬线，其实都是一个个小圆。这就是说，最短的路线不是在纬线上。

我们用实验来证明这一点。找一个地球仪，在上面任选两点，用一条细线沿着地球仪的表面把这两个点连起来，然后拉紧这条细线。你会发现，这条细线与纬线根本不在同一条直线上，如图3所示。从图中可以看出，这两点之间，最短的航线是拉紧的细线，与地球上的纬线根本不重合。也就是说，在航海图上，两点之间的最短距离不是一条直线。因为，纬线都是曲线，而地图上我们通常用直线来表示。反过来，在地图上，任何一条与直线不重合的线都是曲线。由此可知，为什么在航海图上，最短的航线是曲线而不是直线。

再讲一个例子。多年前，俄国出现过一次较大的争议。当时，人们想在圣彼得堡和莫斯科之间修一条铁路，也就是十月铁路。然而，就这条铁路是直线还是曲线的问题，出现了分歧。最后，还是沙皇尼古拉一世给出了结论：这条铁路是一条直线，而不是一条曲线。我们可以想一下，如果当时尼古拉一世用图2所示的地图，他肯定不会得出这样的结论。他会发现，这条铁路是一条曲线。

此外，我们还可以用下面的方法来计算，进行更加严谨的论证。

在地图上，曲线航线比直线航线短。我们可以假设有这样两个港口，它们之间的距离是60°，且它们跟圣彼得堡一样，在北纬60°上。如图4所示，地心为点O, A、B分别表示这两个港口，弧线AB位于纬线圈上，它的弧长是60°，点C是AB所在的纬线圈的圆心。

我们以地心O为圆心，经过点A和点B画一条大圆弧线，半径OB=OA=R。可以看出，这条大圆弧线跟纬线圈上的弧线很接近，但不重合。我们还能计算出每条弧线的长度。根据题意，点A和点B都处于北纬60°上，所以，半径OA和OB跟地轴OC的夹角都是30°。但是，我们知道，在直角三角形ACO中，30°夹角所对应的边AC等于直角三角形的弦AO的1/2，也就是r=R。纬线圈上的弧线AB的长度2是纬线圈总长度的1/6。由于纬线圈的半径r是大圆半径R的1/2，所以纬线圈的长度也是大圆长度的1/2。大圆的长度是40000千米，所以纬线圈上的弧线AB的长度就是 千米。

此外，我们还能计算出经过点A和点B的大圆弧线长度，即两个港口之间的最短路线。此时，我们先要计算出∠AOB的大小。小圆上60°弧对应的弦AB刚好是它的内接正六角形的一条边，AB=r=R。连接点O与弦AB的中点D，2得到直线OD，这就又得到一个直角三角形ODA，其中∠D=90°。又：DA=1/2AB, OA=R，所以有：sinAOD=DA/OA=1/4，由三角函数∠AOD=14°28＇5″，所以∠AOB=28°57＇。

计算出这些数据后，我们就能得出最短路线的长度。对地球来说，大圆1分的长度约等于1海里，即1.85千米，那么28°57＇=1737＇≈3213千米。

综上所述，在航海图上，沿纬线圈的直线航线是3333千米，而大圆上的航线是3213千米，也就是说，后者比前者少了将近120千米。

如果你想检验一下图中所画的曲线是不是大圆弧线，只需要一个地球仪和一根细线就能做到。在图1中，非洲好望角和澳大利亚之间的直线航线是6020海里，但曲线航线只有5450海里，两者相差570海里，也就是1050千米。从地图上，我们可以轻易地看到，在上海和伦敦之间画一条直线航空线的话，一定会穿过里海，但它们之间的最短航线却是经过圣彼得堡再往北这一条。通过分析可见，在航行中，如果不事先弄清楚航线的问题，很有可能会走弯路，浪费时间和燃料。

我们都知道，时间是很宝贵的，如果能够缩短航线，就意味着能够节省燃料和费用。所以，航海家们现在用的不是墨卡托地图，而是一种叫作“心射”的投影地图，这种航海图用直线来表示大圆弧线，通过它，就能保证轮船一直沿着最短的航线前进。

那么，对于过去的航海家们来说，他们知不知道我们说的这些知识呢？答案是肯定的。既然如此，他们为何还要在航海时使用墨卡托地图，而不选择走最短的航线呢？其实，这就跟硬币有两个面一样，虽然墨卡托地图有一定的缺陷，但在某些特定的条件下，它却能给航海家们带来很大的帮助。

第一，除了距离赤道很远的地方，墨卡托地图所表示的小块陆地区域的轮廓大体是准确的。在那里离赤道越远的地方，地图上表示出来的陆地轮廓比实际要大，且纬度越高，陆地轮廓被拉伸得越厉害。对外行人来说，可能无法理解这种航海图。比如，在墨卡托地图上，格陵兰岛的大小看起来跟非洲大陆差不多，而阿拉斯加看起来却比澳大利亚大很多。但真实的情况是什么样的呢？格陵兰岛的面积只有非洲的1/15，而阿拉斯加和格陵兰岛的面积加起来，也只有澳大利亚的面积的一半。但是，对于那些熟悉墨卡托地图的航海家们来说，这种地图上表示出来的大小不是问题，他们可以包容这些小的缺陷，因为在很小的区域里，航海图上所表示的陆地轮廓跟实际上差不多，如图5所示。

第二，在航海中使用墨卡托地图有很大的便利，因为它是唯一用直线表示轮船定向航行航线的一种地图。所谓的定向航行，说的是轮船航行的方向、方向角不变，也就是说，轮船的航线跟所有经线相交的角度始终是相等的。这些航线又被称为“斜航线”，只有在这种用平行直线表示经线的地图上，才能用直线表示航线。我们知道，地球上的所有纬线圈与经线圈都是垂直的，夹角为90°，所以在墨卡托地图上，经线都垂直于纬线。简单来说，看上去全是经线和纬线绘成的方格网，正是墨卡托地图的特点。

由此可见，航海家们青睐于墨卡托地图也是有原因的。如果一名船长想到某个海港去，他可以先用尺子在出发地和目的地之间简单画一条直线，然后测量出这条直线跟经线的夹角，来确定航行的方向。在浩瀚的大海上，船长只需要保证轮船始终朝着这个方向前进，就能准确地达到目的地。从这里也能看出，这条斜航线虽然不是最短、最经济的，但却是最方便的。

再举个例子，如果我们想从南非的好望角出发，去澳大利亚的最南端，如图1所示。那我们只要保证轮船一直朝着南偏东87°50＇的方向前进就行了。但如果我们想走最短的航线，就要不断地改变航行的方向，先沿着南偏东42°50＇的方向，在抵达了某个地方后，再改为偏东39°50＇的方向。实际上，这条最短航线根本不存在，如果这么走的话，最后到达的地方就是南极了。

有趣的是，斜航线和大圆弧线在某些地方有可能重合，当我们沿着赤道或经线航行时，就会出现这样的情况。因为，在墨卡托航海图上，这些地方的大圆弧线也刚好是用直线表示的。不过，除此之外，其他任何地方的斜航线与大圆航线都不一样。 Agz7mfvZeln398h/LwzcKoomEeNfrWpQ06G0WhArceBW3q3KyaOxlwOIoGM1FWCh