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我们知道，二级债券市场上的债券成交，都是以债券的到期收益率（或行权收益率）为谈判标的。图2-9是某一天的二级债券成交明细。
从图2-9中我们可以看出，成交价都以到期收益率为标的，而不是债券净价或全价。原因很容易理解：如果以净价为交易标的，你还得自己再倒算到期收益率，还不如直接以到期收益率为标的进行谈判及成交，更为直接方便。
此外，债券的结算价格以及你的盈亏，都是以债券价格（尤其是净价，因为应计利息是确定性的）为计算基准的。收益率多1个基点或少1个基点，对债券净价，乃至整个结算金额，有什么影响呢？
当然，一种最容易想到的方法是通过收益率去计算净价和全价，然后再计算结算金额。收益率多几个基点或少几个基点，也可以利用这个方法算出来。
图2-9 债券报价
资料来源：Wind.
假设在2018年2月1日上午，你买入3000万元面值的17国开15（170215），成交明细如下：
债券代码：170215
结算日：2018/2/1
成交面值：3000万元
成交收益率：5.06%
成交净价：93.8786元
成交全价：95.7488元
结算金额：28 724 641.48元
当天下午，170215的收益率上涨到5.10，即上涨4个基点。你的头寸估值亏损多少？如果止损，实现亏损多少？
最简单粗暴的方法就是通过最新收益率再倒算债券净价及全价：
面值：3000万元
收益率：5.10%
成交净价：93.5929元
成交全价：95.4632元
结算金额：28 638 956.62元
每百元面值的全价（净价）波动=95.4632-95.7488=-0.2856（元）
与买入价差额：28 638 956.62-28 724 641.48=-85 684.86（元）
因此，估值亏损85 684.86元；如果卖出，会实现同样的亏损。■
这种使用收益率再计算债券价格的方法固然没错，但是太过复杂烦琐，不利于投资决策。投资经理需要通过心算就能知道，自己的头寸估值盈亏和买卖盈亏，只有这样才能快速决策。
我们需要一种速算法，对于任何一只债券，收益率每变动1个基点或几个基点，都能迅速知道对应价格的变化，从而能够粗略计算出你的头寸盈亏情况。
于是，久期的概念应运而生。
按照定义，久期指的是收益率每变动1个基点，债券全价的百分比变动。用公式表示就是：
注：在久期的公式中，之所以使用收益率双向波动来计算平均值，是因为收益率向上和向下的波动，对于债券价格的影响是不一样的，因此一般采用上下波动并取平均值的办法。
式中 Δy——收益率的变动，如1个基点就是0.01%；
V 0 ——债券初始全价；
V - ——收益率下降Δy时，对应的债券全价；
V + ——收益率上升Δy时，对应的债券全价。
假设在2018年2月1日，170215的久期是7.473。也就是说，收益率变动1个基点，170215的债券全价反向变动7.473×0.01%=0.0743%。
在上述例子中，170215的收益率从5.06上涨至5.10，即上涨4个基点。
170215的久期为7.473，则：
每百元面值的价格百分比变动=7.473×0.04%=0.2989%
每百元面值的价格的绝对值变动=0.2989%×95.7488=0.2862（元）
绝对亏损额=30 000 000×
=85 863.69（元）
这与之前使用传统方法计算出来的85 684.86元相差178.83元，误差在0.2%左右，足够精确。
注：在上述计算中，均假设先进行计算，再四舍五入。■
由于债券价格与收益率变动是反向关系（收益率上升时，债券价格下降），因此按照公式，久期应该是个负数。但是市场约定俗成，不说正负号，久期直接就是一个正数，大家心里知道就行了。使用久期计算的时候，公式是这样：
债券价格的百分比变动=-久期×收益率的百分比变动
使用久期去速算当然很方便！不过，使用久期进行速算，其实内含了一个假设。再去看久期的公式：
实际上，久期假设债券收益率与价格是线性关系：
债券价格的百分比变动=-久期×收益率的百分比变动
实际上，根据我们上面的叙述，债券价格P是收益率y的多项式函数（负次方），而不是线性函数：
P=f（y）
如果学过微积分，我们都知道，当收益率y变动在很小的范围内时（一般当日市场的收益率波动也不会很大），可以使用线性函数去近似拟合多项式函数（见图2-10）。
如图2-10所示，实际的债券价格P与收益率y的图形是曲线，使用久期来进行速算，实际上是使用直线（线性关系）来替代曲线求解近似值。当收益率变动Δy较小时，误差很小。
图2-10 债券收益率与价格关系
但是当收益率变动比较大时，只用久期的线性函数去求近似解，误差就比较大了。这时候，凸性就派上用场了。
简单说，久期是用一次方函数（线性函数、直线）去近似真实的“债券价格–收益率”曲线，而凸性是二次方函数，使用“久期+凸性”组合成一个二次方函数去近似真实的“债券价格–收益率”曲线，误差就更小了。或者说，凸性是对久期速算的一种误差调整。这时候，债券价格变动的速算公式变成了这样：
式中
——债券全价的百分比变动；
Δy——收益率变动；
D——久期；
C——凸性。
具体这个公式的推导，我相信大部分读者是不感兴趣的，大家只要记住就好了。具体的推导过程在后面的章节中有介绍。
假设在2018年2月1日上午，你买入3000万元面值的17国开15（170215），成交明细如下：
债券代码：170215
结算日：2018/2/1
成交面值：3000万元
成交收益率：5.06%
成交净价：93.8786元
成交全价：95.7488元
结算金额：28 724 641.48元
当天下午，170215的收益率大幅上涨了50个基点至5.56%。估值亏损多少？
通过收益率再倒算债券净价及全价：
收益率：5.56%
成交净价：90.3845元
成交全价：92.2547元
结算金额：27 676 415.36元
每百元面值的全价（净价）波动=92.2547-95.7488=-3.4941（元）
与买入价差额：27 676 415.36-28 724 641.48=-1 048 226.12（元）
因此，估值亏损1 048 226.12元；如果卖出，会实现同样的亏损。
通过久期进行速算：
170215的久期：7.473
每百元面值的价格百分比变动=7.473×0.50%=3.7365%
每百元面值的价格的绝对值变动=3.7365%×95.7488=3.5777（元）
绝对亏损额=30 000 000×
=1 073 296.17（元）
与实际的亏损1 048 226.12元相差25 070元，误差为2.39%。
通过“久期+凸性”的组合进行速算：
170215的久期D：7.473
170215的凸性C：70.4827
每百元面值的价格百分比变动：
-7.473×0.50%+0.5×70.4827×（0.50%）2=3.6484%
每百元面值的价格的绝对值变动=3.6484%×95.7488=3.4933（元）
绝对亏损额=30 000 000×
=1 047 988.80（元）
与实际的亏损1 048 226.12元相差237.32元，误差为0.02%。
我们可以看出，当收益率变动幅度较小时，使用久期进行估算是足够精确的，误差不大。但是当收益率变动幅度较大时，使用久期估算的误差就比较明显了，这时候使用“久期+凸性”的组合进行估算，能够明显缩小估算误差。久期方法就好比是牛顿理论体系，适用于物体低速运动的情形，而“久期+凸性”的方法就好比是爱因斯坦的理论体系，同时适用于物体的低速和高速运动情形。
注：在上述计算中，均假设先进行计算，再四舍五入。■
凸性的一大特点是：久期相同时，凸性越大越好。凸性越大，当利率下行时价格上升越多，而利率上行时价格下跌越少，即“涨多跌少”。我们从“债券价格–收益率”曲线上可以很明显看出区别（见图2-11）。
图2-11 债券凸性
延伸阅读2-2 久期及凸性的推导公式
债券价格与到期收益率的关系公式如下：
式中 P——债券净价；
AI——债券的应收利息；
y——债券的到期收益率。
如果用一般性函数表示债券净价P与到期收益率y之间的关系，则是：
P=f（y）
其中，f（）是个多项式函数。
根据泰勒公式：
则：
式中 Δy——债券到期收益率的变动（%）；
——久期的相反数-D；
——凸性C。
因此，债券价格的变化（应收利息不变，且应收利息占比较小，因此可以近似认为是净价的变化）：
久期D就是价格对收益率的一次导数，凸性C是价格对收益率的二次导数。■