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概念是反映事物本质属性的一种思维方式，是对事物进行逐步抽象，去除非本质属性，提炼本质属性的过程。数学概念是数学知识的基础，是数学思想与方法的载体，是形成与提高数学基本技能的必要条件。概念教学要阐明概念产生的必要性和概念定义的合理性，让学生理解概念的本质内涵，厘清概念之间的区别与联系，把它作为提高学生数学素养的重要途径之一。
在概念教学中，教师应分析所教概念的特性，并选择适当的素材，设计恰当的问题情境，让学生在经历概念发生发展的过程中，认识概念的不同特征，进而有效地应用概念建构原理来解决问题。但是笔者发现，当下概念教学存在两种倾向：
（1）“重结论、轻过程”
有些教师把知识看成定论，重结果轻过程、重灌输轻引导，低估了学习者的认知能力、知识经验及其差异性。典型做法是：概念教学搞“一个定义，三项注意”，要求学生在对数学概念没有基本了解的情况下进行大量解题操练，造成学生概念理解一知半解，问题解决机械模仿。
（2）教学“情境过度”，缺乏本质理解
有些教师在课堂教学过程中存在“情境过度”和“去数学化”的倾向，概念解读往往停留在情境阶段，对概念的理解不够深入，因此具体到应用的时候不能够运用联系的观点，在必要地方联想到这些该应用的概念。
造成上述现象的原因是：部分教师本身的本体性知识不足，对数学概念的理解不到位，不能对数学概念所反映的思想、精神有深入的体会和理解；缺乏一定的概念教学技能，对概念学习的认知过程和思维路径不是很清楚，不知如何从学生的认知规律出发开展概念教学，因此没有前后一致、贯穿始终的主线贯穿课堂，造成学生在外围重复训练，耗费大量时间、精力却达不到对概念的本质性理解。
为了提高概念教学效益，教师既要加强对概念的本质性理解，又要基于理论指导提高教学技能。
APOS理论是美国数学教育家杜宾斯基基于建构主义提出的学说，它基于数学概念所特有的“过程和对象的双重性”，不仅表明了数学概念建构的层次，还指明了概念建构成功的结果，揭示了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论。APOS理论将数学概念的建立分为action（操作）、process（过程）、object（对象）和scheme（图式）四个阶段。它为数学教师提供了指导学生学习数学概念的理论经验和工具，教师可根据它制订教学目标和教学策略，安排教学活动，也可用它作为概念学习结果评价的工具。
操作阶段： 通过“操作活动”亲身体验感受概念的直观背景和概念间的关系，理解概念的意义，从数学学习心理学角度分析，“活动阶段”是学生理解概念的必要条件。
过程阶段： “过程阶段”，学生对“操作活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。
对象阶段： 通过前面的抽象活动，认识概念的本质，赋予其形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在后继学习中以此为新对象进行新活动。
图式阶段： 不仅反映概念的定义及符号，还要建立与其他概念、规则、图形的联系。起初的概型包含概念的特例、抽象过程、定义及符号，随后经过学习建立起与其他概念、规则、图形的联系，最后在头脑中形成综合的心理图式，形成概念体系。
日常的教学需要教师根据教学对象的水平和需要进行设计，在确定合理的教学起点和教学终点的基础上，对内容进行加工和转化，有序地安排教学诸要素。许多教师习惯从“教”的视角思考教学，而不是从输出端开始思考教学，即从学生最终是否真正获得概念、理解概念思考教学。按照逆向设计理论，最好的设计应该是“以终为始”，从学习结果开始逆向思考，强调目标源于标准，评估先于设计，注重目标、评价和过程的一致性。
逆向设计流程图
基于上述思考，教师在开展概念教学之前，应先对概念进行深度分析和解构，基于课标确定目标和重点，基于学情分析进行问题诊断确定难点，基于目标选择证据评价概念学习结果，最后确定概念学习的认知过程和思维路径。于是我们提出了基于APOS理论的初中数学概念教学三阶段五环节模式，鉴于概念教学目前存在的主要问题及其原因，本文主要阐述前面两个阶段：
“三阶段五环节”概念教学模式
学习某一个概念的意义是什么？这个概念在数学学科内部的地位和作用是什么？学习这个概念有什么用？这个概念产生和发展的途径有哪些？这个概念是如何引申和拓展的？这个概念对核心素养的养成有什么帮助和促进？对于不同类型、不同单元的概念有什么不同的认知过程和思维路径？为了解决上述问题，我们认为老师应在课前对概念进行分析与解构，主要从概念的地位和作用、概念的产生背景、概念的定义方式、概念内涵和外延及其核心所在、概念的发展史及其蕴含的数学文化、概念所处内容模块特征、概念的联系和理解等角度进行深度分析，从而在此基础上阐明教学目标和教学重点。
“平面直角坐标系”是在“数轴”的基础上发展起来的。平面直角坐标系使点与数的关系从一维过渡到二维，使有序数对与平面内的点建立了一一对应关系，架起了“数”与“形”之间联系的桥梁。因此，平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，是构成更广泛范围的数形结合、数形转化的理论基础，是以后进一步学习函数、三角函数及解析几何等内容的必要知识，在数学内容的发展过程中起到转折性的飞跃的重要作用，是初中数学的核心概念。
在众多的初中数学概念中，平面直角坐标系的下定义方式具有典型意义。它是规定性的概念。对于规定性定义要讲清两点：一是规定的必要性，即为什么要规定（平面上的点的表述）；二是规定的合理性，即这样规定的道理，通过其中的两个基本问题“已知点求坐标”和“已知坐标描点”，感受这个概念在现实世界中的具体模型，沟通数学和生活。
“平面直角坐标系”蕴含了丰富的思想方法，具体表现为：通过数轴“类比”建构平面直角坐标系的概念；引导学生利用数轴上点的表示，把平面中点的表示“转化”成坐标轴上的点的表示（二维—一维）；总结归纳平面直角坐标系中的点和有序实数对之间的一一对应关系（数形结合思想）。
“平面直角坐标系”是“笛卡尔坐标系”的一个分支，学生将在高中学习笛卡尔坐标系中的斜角坐标系，这个概念的发展蕴含了丰富的数学史和数学文化，值得学生在课外进行一步的阅读。
教学条件分析： 为了有效实现教学目标，根据起点和终点的潜在距离适当采取探究式教学，强调每一个教学活动（问题情境、问题及其系列、语言讲解引导、教学素材的选择、学生活动的安排等）为学生自主思考服务，调整至最近发展区。根据问题诊断分析和学习行为分析，采取一定的教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维、发现数学规律。例如适当地使用信息技术，帮助学生建立概念的“多元联系”。
教学任务分析
教学难点确定： 教师根据以往经验，按照知识的发生规律和学生的认知规律，对本节课内容教学过程中可能遇到的障碍进行预测与追因分析，并在此基础上指出教学难点。具体来说，就是从认知起点分析入手，分析学生已经具备的认知基础（包括知识水平和生活经历、思维水平、学习品质），对照教学目标，通过已有基础和目标之间的潜在差异和距离分析，分析教学中可能出现的障碍。
学生对平行四边形概念的理解，需要建立在对概念的内涵定义法的理解之上，而学生在小学学习平行四边形时，只停留在对图形的识别上，缺乏这方面的训练。因此，学生极易把平行四边形的概念当作已知，而忽视平行四边形与四边形概念的内涵包容、共性与个性以及它们的从属关系，容易造成只知道平行四边形的特性，而不知它是四边形的现象。所以，教师应在平行四边形概念的教学中，有针对性地设计揭示概念内涵的说明过程。
平行四边形性质的证明过程，一般学生都能理解，但对为什么要添加辅助线，又怎么想到作对角线，理解起来会有些困难。这属于思想方法方面的问题，学生往往只停留在能听懂，但不能内化的层面，需要教师进行精心的设计，充分展示“将平行四边形转化为三角形”问题的过程，讲清楚添加辅助线的目的、作用和意义。
基于APOS理论，我们从学生学习概念的心理建构过程和概念教学的特点出发，建构了概念教学的五环节：
概念教学五环节
从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念，通过情境和问题阐明概念产生的必要性，激发学生学习的兴趣。在这个阶段，教师应从学生已有的知识水平和认知结构出发，通过生活中熟悉的素材，设置符合“常理”的教学情境，因为它不仅蕴含概念的现实背景，同时也能引发学生认知上的冲突和兴趣。
这个阶段，学生对“情境和问题”所创设的矛盾和冲突进行思考，在头脑中进行初步描述和反思，初步抽象出概念的属性。教师需要针对各个学生认知水平的不同，从方法和观念角度启发和点拨学生的思路，并尊重学生的“原生态想法”，让学生从其已有的“数学现实”出发，在启发下有所思考与顿悟，进行概念属性的分析、比较、综合、归纳、概括活动。学生的概念理解由不自觉的状态，逐步转向有意识的活动，从而使得概念逐步清晰。
在“形成明确概念”阶段，教师合理引导学生把数学概念的初步思考的结果进行“抽象化和形式化”工作，运用数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）给概念下定义，从而让概念成为一个稳定对象。也就是引导学生进行从现实问题到数学问题的理想化，从数学问题到数学符号的抽象化，进行数学内部的再提炼和理想化加工。
要让学生透彻理解概念，还必须要在概念巩固和运用中进行数学内部的再提炼和加工。教师通过精心设计例题和习题进一步帮助学生提炼概念的本质属性。在应用概念的过程中，注意应用水平的逐层递进，运用概念的标准变式或非标准变式对概念进行多角度的辨析和理解，进行知觉水平上的应用和思维水平上的不同层次的应用。
1.（已有概念在知觉水平上应用）如图，把两张对边平行的纸条，交叉叠放在一起，随意转动其中一张，形成了四边形ABCD，它是平行四边形吗？另外，线段AD和BC的长度有什么关系？
2.（知识重组，思维水平上的应用）如图，
ABCD中，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，求∠FDC的大小。
在“概念的联系”阶段，学生对概念的现实背景、内涵和外延，概念的表征及概念的应用已经有了丰富的认识基础，为了帮助学生把概念以比较完整的心理图式储存于大脑当中，教师要引导学生对课堂教学内容及方法作适当的总结和回顾。主要从三方面入手：
概念要点化——进一步明确概念的内涵与外延，揭示概念的本质；
知识结构化——进一步揭示新、旧知识的内在联系，同时对概念的将来发展作阐述；
过程方法化——对研究问题的方法进行回顾，反思挖掘其中的数学思想方法，这是概念之间建立牢固联系的逻辑纽带，也是学生利用数学观念、数学思想进行理性思考的重要基础。
数学概念的产生是现实原型的抽象或者数学知识概念体系自身发展的结果，因此，数学概念通常从现实背景或者数学内部问题引入。设计教学情境时，除了让学生亲身感知问题，更重要的是促使学生积极展开思考，从现实情境中去发现数学。情境设计的根本目的应该是从“引课”走向“引思”，这要求我们注意以下原则：
典型性原则： 创设的情境要具有一定的典型性，尽可能地蕴含数学概念的现实背景或本质属性——这样的情境可遇不可求，因此有时情境也可以是对概念价值的进一步挖掘和概念的实际应用的体现。当然，我们并不是说所有的数学概念都一定要通过生活情境引入，如果是为了情境而情境，往往会适得其反。
适度性原则： 在概念的引入中，问题的难度要符合学生的认知水平，设计的教学活动要处于学生思维的最近发展区，使得概念的发生发展过程和学生的概念认识过程能够自然融合，让学生从心理上感到亲切。
如果提供的感性材料数量过少，感性体验不够，那么后面的抽象概括就无法落实。因为材料达不到一定数量，各种状态和性质在心理上还只是不足以引起注意的偶然事件，学生无法从中得出规律。但是材料过多则不仅费时，而且容易使学生产生乏味感。因此，创设情境时要注意把握好度，让学生既能进行充足的活动体验，又不至于“情境疲劳”。
有效性原则： 创设情境要避免虚假，注意情境的合理性。一个好的情境能够让学生触“境”生情，激发学习的兴趣，从而有助于概念教学过程的情“境”交融，深刻体会概念学习的必要性和实际意义，这样的情境才是有效的。
设置情境不仅是为了让学生了解概念进行感性认识的铺垫，更重要的是让学生产生思考、形成问题。伴随着情境的发展，教师应设计有层次的问题引导学生深入理解数学概念，最终掌握概念。因此，创设的情境要有利于问题的展开。
数学概念的建构要以丰富的认知过程为基础，因此一定要根据概念的特点来设计教学过程。教学过程的设计一定要能反映出概念的基本属性和本质，否则抽象就不能顺利成功。
（1）原型化策略
许多数学概念在现实生活中存在原型，进行概念教学时，教师可以利用这些概念的生活原型来创设情境，唤起学生的兴趣，让学生借助自己的生活感受，体验数学概念是科学发展和生产实践等实际应用的需要。在感性认识的基础上，通过分析、比较、综合、抽象和概括等思维活动，来建构概念的意义。
1.我当破译小高手（如图）
（1）请破译下列密码：
A5 B5 C4 E5 B1 C2（有志者事竟成）
（2）请编制密码：
天才来自勤奋（B4 D2 E3 C5 D4 C3）
2.我做影院服务生
（1）你能在电影院找到电影票上所指的位置，对号入座吗？
（2）在电影票上，“4排3号”与“3排4号”是同一个座位吗，为什么？
（2）类比化策略
数学概念体系中，有许多概念有相似的内容和结构，相似的研究方法。因此可以通过与相关概念的联想类比，得到新概念与相关概念在认识处理方法上的一些共同特点或规律，从而得到启发，这对于认识和理解新概念是非常有帮助的。如：分式概念和分数概念进行类比，教学向量的运算与实数的运算作联想类比等。
（3）“支架式教学”策略
建构主义理论教学观强调以学生为中心，强调学生的主动探索、主动发现和对所学知识的主动建构。“支架式教学”借用建筑行业脚手架作为概念框架的形象比喻，即利用恰当的概念框架作为学习过程的脚手架，帮助学生理解特定的知识。建立的教学模式在原有概念基础上，经过多层次的抽象概括而引入新概念，在概念属种关系中，种概念的内涵在属概念定义过程中已经被部分提示出来，所以只要抓住种概念的本质特征进行授课，便可使学生建立起新的概念，形成概念类结构。
概念的初建阶段，教师要突出学生的主体地位，扮演好学习的组织者、引导者与合作者的角色，除了考虑预设的课堂教学设计以外，更多关注学生的“异想天开”，善于捕捉闪烁学生灵性的智慧火花，鼓励学生的合情推理，有意识地训练学生的直觉思维，通过启发性的问题鼓励大家讨论，让他们互相修正从而帮助学生形成概念。在这个环节中，教师要注意以下两种策略：
（1）活动化策略
学生要形成一个概念，需要经历从片面到全面，从模糊到清晰，从表象联系到本质联系的复杂的思维过程，绝不可能一步到位。我们要给学生充分的时间思考，而不是将一个现成的定义强加给学生。学生通过自己的实践活动学会怎样定义一个数学概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会。在概念的探究和初步建构过程中，对引入阶段的情境或者问题，学生都会有自己的思考，而这些思考是发散式的，或正确，或错误，或清晰，或模糊，无论思考的结果怎样，都是学生真实的、本能性的第一反应，这种思维的结果和假设在老师的引导下逐步清晰化和理想化，最终形成概念。而如果由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使能跟随教师进行有意义学习，学生的学习活动也是不连贯的，其建构的概念缺乏完整性，所以说一定要注意这个阶段学生活动的充分性。
试一试 观察这五个数，你有更简单的表示方法吗？
说一说 这些表现形式的共同特征。
师：你是怎么想的？
生：这些数都有很多0，写起来麻烦，可以把0都去掉……
师：前后两个数相等吗？为什么可以这样做？
生1：相等，用的是小数点移位？
生2：用的是乘方的意义。
设计意图：如果没有充分的时间保证，上述合情推理得到的富有创造性的结论是不可能出现的，这是学生根据已有的认知进行的初步建构，哪怕这种建构是错误的或者是不完善的，也应该有展现的机会，充分暴露学生的思维。
（2）问题化策略
为学生提供了思维的土壤，并不意味着必然产生数学的思考。因此教师要用启发性、探索性、层进性的问题去引发、驱动学生对情境或者问题进行自觉的思考。教师除了要预设一些递进性、针对性的问题外，还要针对学生的回答及时作出反应，随机应变地进行启发和点拨，让学生不断地修正思考的方向，这要求教师在教学具体把握上具有一定的临场反应能力。一般地，教师可以问，“你能得到什么”“你是怎样得出来的”“你为什么要这样做”等。让学生自己讲述，自己提问，使学生不仅会回答问题，逐渐地也能自己提出问题。可以以师生、生生间互动以及与课本互动等形式进行。
数学概念教学对整个数学教学起重要作用，它能促进学生数学素养的形成，深化知识的理解，提高解决问题的能力等。因此，教师在数学概念教学中应努力揭示概念发生、形成、巩固、应用和拓展等过程，培养学生深度学习的思维能力，可根据概念的不同特征，在教学中完善学生的认知结构，激活学生的思维，发展学生的创新能力，提升课堂教学效率。
（徐晓燕）