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数学中有一些知识是对客观规律的描述。比如，“平面上三角形的三个内角和等于180度”。这类知识的特点是具有较强的客观性，不依人的意志为转移。还有一类主观性较强的知识，是长期以来由于某种原因而人为规定或者约定俗成的。这类主观性较强的知识的背后往往蕴含着深刻的道理，比如关于“长方形”的定义就是人为规定的，其中蕴含着人们对于概念进行种属分类的思想。有些人为规定的道理随着时间的久远而渐渐被遗忘；也有一些由于缺乏研究而没有显现出来。比如，在小学数学中，有三条熟知的结论：
1.在除法运算中，“0”不能做除数，也不能是分数的分母；
2.在有余数的除法中，余数要比除数小；
3.在对自然数进行质数、合数的分类中，“1”既不是质数，也不是合数。
当学生学习此类知识的时候，自然的疑惑是“为什么呢”，此时教师通常的回答是“这是规定”。事实上，这样的回答并没有给出问题的答案，因为学生想知道的是“规定的道理”，而这些道理恰恰是课程内容和教师知识结构中缺失的内容。
小学数学中数字“0”不能做除数，也不能做分数的分母。究竟是什么原因需要做出这样的规定？可以从对除法运算的四种理解分别进行解释。
对除法运算的第一种理解是“逐次相减”，就是用被除数反复减去除数，直到最后的差小于除数为止。比如，6÷2可以理解为下面的过程：
6-2=4
4-2=2
2-2=0
逐次相减的次数就是除法运算的结果商，上面过程中减去2的次数是3，所以6÷2的商就是3。按照这样的理解，如果除数为0，那么被除数每次减去除数0结果都不变。无论减去多少次都得到同样的结果，说明这个除法运算没有确定的商。
除法运算的第二种理解是“等分除”，把被除数看作被平均分的总量，把除数看作平均分的份数，除法的结果就是每份中分得的数量。如果除数为0，就意味着“份”不存在，也就是“分”的活动不存在。这与除数为1的情况不同，如果除数为1，可以理解为是“分”的特例，即分为1份。什么情况才会出现“分”的活动不存在呢，就是总量不存在，也就是总量为0。没有总量也没有分得的份数，“分”的活动就是虚无的，自然也就没有确定的结果。
对除法运算的第三种理解是“包含除”，把被除数理解为总量，把除数理解为平均分后每份的数量。除法的结果就是总量包含的份数。如果除数为0，说明每一份的数量为0，也就是“份”是不存在的。与前面类似，总量也就为0，自然“分”的活动就是不存在的了。
以上解释或多或少有些牵强，在数学中并不具有说服力。数学中是把除法看作乘法的逆运算，也就是说“a÷0=b”应当来源于“a=0×b”。按照这样的理解，采用“归谬”的方法做一个简单的推理，看看如果“0”做除数的时候会发生什么。不妨用字母a表示被除数，字母b表示a除以0的商，即：
a÷0=b
根据乘法与除法的互逆关系，这个等式等价于下面的乘法关系式：
a=0×b
由于零乘以任何数的结果都是零，所以可以得到a=0。上面的等式因此就成为了
0=0×b
由于0乘以任何数都等于0，此时除法的商b无论取什么样的数值，这个等式都是成立的。这就表明如果在一个除法运算中除数为0，那么这个除法运算的结果就是不确定的，这在数学的推理中是不允许的。数学中对于运算通常有两个要求，第一是运算结果要存在，第二是运算结果要唯一确定。这主要是由于下面形式的数学推理的需要：
如果a 1 ÷b 1 =c 1 ，a 2 ÷b 2 =c 2
并且a 1 =a 2 ，b 1 =b 2
那么c 1 =c 2
这个推理形式实际上就是“同样的原因应当有同样的结果”。其成立的前提就是运算结果的存在性和确定性。所以，“0不能作除数”这一规定最主要的原因是为了保证运算结果的唯一确定。
在小学“有余数的除法”这一课程内容中，特别强调“余数要比除数小”。这一命题并不是除法运算自然拥有的规律，而是一种人为的规定。为什么要做出这样的规定？一种源于实际的解释是：如果余数不小于除数，说明没有分完，还可以继续分。比如，7个苹果平均分给2个小朋友，每人分1个，还剩5个；还可以分，就应当继续分完。这个解释易于理解，也有一定的合理性，但并不具备逻辑意义上的说服力。
除法作为乘法的逆运算，“a÷b=q……r”正确与否，应当由“a=b×q+r”是否成立来判断。比如对于7÷2，下面两个算式应当同时成立：
7÷2=3……1，7=2×3+1
如果没有“余数要比除数小”的规定，7÷2在整数范围内就会出现四种形式上不同的结果，依据对应的乘法算式检验都是正确的，见下表1-2：
表1-2
被除数和除数分别相等的除法运算，却得到不同的运算结果，像这样运算结果不确定的情况就会给以此为基础的数学推理带来麻烦，比如，如果没有“余数小于除数”这一条件，下面的推理就不能成立：
如果a 1 ÷b 1 =q 1 ……r 1 ，a 2 ÷b 2 =q 2 ……r 2
并且a 1 =a 2 ，b 1 =b 2
那么q 1 =q 2 ，r 1 =r 2
为了保证运算结果的确定性，不得已做出“余数要比除数小”的规定。不难看出，“余数要比除数小”的道理与“0不能作除数”的道理实质上是一样的，都是为了保证运算结果的唯一确定。
在“质数与合数”的教学中，经常有学生出现这样的疑问，就是“为什么不能把‘1’归为质数？”通常的解释是利用质数的定义。定义质数一般有两种方式：第一种是“除了1和它本身没有其他因数的数是质数”；第二种是“恰有两个因数的数是质数”。无论哪一种方式其实都很难解释为什么“1”不能是质数。“1”的因数和它本身虽然是相同的，但是也可以把它们理解为是意义不同的两个数，一个是“因数”的意义，另一个是“本身”的意义。这样的话，“1”也是符合质数定义的。由此看来，“1”不能成为质数还应当有其他原因。
质数与合数的概念可以说是历史悠久。古代希腊人有一种认识世界的“原子论”观点，认为所有事物都被一些最微小的、不能再小的东西制约着。所以，认识世界的一个办法就是“分”，分到不能再分，这时就会找到这些最微小的东西，掌握了这些最微小的东西就意味着掌握了事物的全部。
这种观点用于数的认识，就出现了把一个数分解为更小数的乘积的做法。比如，“100可以分为25×4”，这时出现的“25”和“4”就被认为是导致“100”出现的原因，所以叫做“100”的“因数”。继续分下去，直到不能再分，就变成了“5×5×2×2”，这时出现的“2”和“5”，由于不能再分，就被认为是制约“100”的最微小元素，诸如此类的微小元素就被认为是制约全体自然数最本质的原因，命名为“起始的数（prime number）”。清代学者李善兰翻译为“数根”，后来改为“素数”或“质数”。
因此可以说，人们最初的想法是把全体自然数分为两类，一类是不能再分的数，叫做“质数”；另一类是可以再分的数，叫做“合数”。起初人们认为数字“1”也是不能再分的数，属于质数。后来为什么把数字“1”从质数中提出来，成为既不是质数，也不是合数的数了呢？
随着数论研究的发展，人们发现将任何一个自然数分解为质数乘积的形式是许多推理的基础，这个分解的过程在小学叫做“分解质因数”。作为推理的基础，就要求这个分解的形式是唯一确定的。比如，给定自然数“100”，将其分解质因数的形式为：
100=2 2 ×5 2
对于给定的任何一个自然数N，将其分解质因数的形式可以写成如下形式：
，其中p
i
（i=1，2，…，n）表示质数，r
i
（i=1，2，…，n）表示质因数p
i
（i=1，2，…，n）的个数。
这就显示出，将一个自然数N分解质因数后，其表达式中出现了质数p i （i=1，2，…，n）、相同质数的个数r i （i=1，2，…，n）以及不同质数的个数n。所谓分解质因数的形式是确定的，就是要求如果自然数N确定了，那么分解质因数后相应的p i （i=1，2，…，n）、r 1 （i=1，2，…，n）和n也要随之确定。
如果数字“1”是质数，这种确定性就无法满足，比如自然数“100”还可以分解为如下的形式：100=2 2 ×5 2 ×1 3 ，等等。
数学家们经过证明发现，如果数字“1”不作为质数，这个确定性的要求就可以满足了。这就是把数字“1”不能归为质数的根本原因。由于数字“1”也不能满足合数“除了1和它本身外，还有其他因数”的要求，所以“1”就成为了“既不是质数，也不是合数”的数了。其中的道理与前面仍然是一样的。
以上问题的解释都可以归结为数学中函数的确定性思想。张景中院士在“感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们”一文中指出：“在数学里，数量之间的确定性关系叫做函数关系。”
如何理解这里的确定性？举个简单的例子，小学生学习加法运算的时候，通常是按照自然数的位数由少到多，而后逐步扩展到小数、分数。在这个过程中，无论加数是什么样的数，通过运算都会得到一个“和”，这个和是随着加数的确定而唯一确定的。换言之，数学中不允许出现相同的加数计算出不同的和的情况。
如果用z=x+y表示加法法则决定的函数关系，那么其中的加数x和y叫做这个函数关系的自变量，其中的和z叫做这个函数关系的因变量。函数的确定性其实是为了保证下面这种形式的推理是可行的：
如果z 1 =x 1 +y 1 ，z 2 =x 2 +y 2 ，
并且x 1 =x 2 ，y 1 =y 2 ，
那么，z 1 =z 2 。
简单说，函数的确定性就是随着自变量的确定，使得这个函数的因变量也随之确定。用一般的函数表达式y=f（x）来表达，就是要求如果x 1 =x 2 ，要有f（x 1 ）=f（x 2 ）成立。
在前面论及的除法运算中，可以把被除数和除数看作函数关系中的自变量，商和余数看作因变量，那么“0不能作除数”和“余数要比除数小”的规定都体现的是函数的确定性思想。在分解质因数的过程中，如果把分解前的数看作自变量，分解后的表达形式看作因变量，那么规定“1既不是质数，也不是合数”，也体现了函数的确定性思想。
总之，函数确定性的意义一方面在于描述自然的规律。比如在描述物体运动时，经常需要研究“时间”和“速度”的关系。把时间作为自变量，对应的速度作为因变量的函数关系，体现的是“时间”一旦确定，对应时刻的速度就随之确定。换言之，对同一物体来说，“相同时刻，不同速度”的现象是不可能出现的。函数确定性的另一个意义在于数学自身逻辑发展的需要。前面的例子表明，如果没有这种确定性，就会使得最基本的推理形式无法进行。也表明了数学中的逻辑是以自然规律为基础的。
数学教学应当明理，也就是不仅要“知其然”，还要“知其所以然”。当今数学教学倡导自主、合作、探究、生活。此时应当清醒地认识到，“所以然”的知识往往具有历史性、贯通性、综合性和人文性，是前人大师长期以来的结晶，是学生难以利用生活经验通过自主或合作的方式探究出来的，是需要教师通过努力学习和研究并潜移默化地传输给学生的。因此，数学教育研究仅限于“如何教”和“如何学”这样的问题是不够的，还应重视“教什么”和“学什么”的研究，特别是“所以然”知识的研究。