在一份五年级单元测验试卷上发现这样一道判断题（例题1-9）：

例题1-9

长方体的六个面都是长方形。

翻看标准答案发现豁然是一个“错”字。与几位熟识的小学数学教师谈起此事，得到如下几种解释：

●这道题所考查的知识点是“长方体的六个面中允许相对的两个面是正方形”，如果学生答“对”，说明他没有认识到这一点，所以本题应该答“错”。

●正方形是特殊的长方形，但不是真的长方形，如果答“对”，不就没有包括正方形的情况了吗？所以本题应该答“错”。

●“正方形是特殊的长方形”这句话在平面图形中是对的，但在立体图形中是不对的。所以本题应该答“错”。

这些模棱两可、似是而非的解释令人困惑，如果学生听了这样的讲解，岂不是越听越糊涂。看来矛盾的焦点在于如何理解“正方形”与“长方形”这两个概念之间的关系。

概念之间的关系大致来说有两种，一种是相容关系，另一种是相斥关系。如果两个概念所包括的对象（外延）有共同的部分，那么这两个概念之间的关系就是相容关系。如果两个概念所包括的对象（外延）没有共同的部分，这两个概念之间的关系就是相斥关系。

比如“质数”和“偶数”这两个概念，由于2既是质数又是偶数，这两个概念所指的对象有公共部分，所以“质数”和“偶数”这两个概念符合相容关系。再如“奇数”和“偶数”这两个概念，由于奇数中没有偶数，偶数中也没有奇数，所以这两个概念属于相斥关系。

相容关系中有一种特殊的情况，如果甲概念具有乙概念的全部属性，就意味着甲概念所包括的全部对象（外延）包含在乙概念所指对象（外延）中，这时称这两个概念之间的关系为属种关系，其中甲概念就是相对于乙概念的种概念（species），乙概念就是相对于甲概念的属概念（genus）。

按照这样的理解来分析长方形和正方形这两个概念之间的关系。首先将长方形所具有的属性列举出来：

●是四边形；

●对边互相平行且长度相等；

●四个角都是直角；

●两条对角线长度相等且互相平分；

●面积等于相邻两边长度的乘积。

不难发现诸如此类的所有属性正方形都是具备的，就是说长方形所包含的对象（外延）中应该含有正方形，所以长方形是相对于正方形的属概念，正方形是相对于长方形的种概念。二者外延之间的关系可以从图1-7中明显地看出来：

正是由于正方形具备了长方形的所有属性，所以说“正方形是长方形”这个命题就是正确的。其实这里蕴含的意思是长方形按照相邻边的相等与不等可以分为两类：

无论是哪一类，都属于长方形这一大类中。类似于此符合种属关系的概念还有：长方形与平行四边形、梯形与平行四边形、四边形与梯形、长方体与正方体、偶数与4的倍数、数与分数等等。

翻阅一下小学数学课本，发现其中对此问题的叙述也有欠妥之处，这也许是出现误解的原因之一。在《九年义务教育六年制小学试用课本（第十册）》第5页上，对长方体的面的特征是这样叙述的：

“长方体有6个面， 一般 都是长方形（ 也可能 有相对的两个面是正方形）。”

其中“一般”和“也可能”的用词搭配，给人一种感觉，就是这里的长方形指的是长和宽不相等的那一类长方形，无意之中偷换了概念，把叙述中的“长方形”和“正方形”之间的关系变成了相斥关系，完全违背了两个概念之间的属种（相容）关系。如果把这句话换成下面的叙述也许会好一些：

“长方体有6个面， 每个面 都是长方形（ 包括 两个相对的面是正方形的情况）。”

应当承认，数学中概念的定义与命名具有人为的规定性。规定的目的在于保证其含义的确定性，也就是人们对研究对象的理解上不能出现歧义，这样才能保证判断与推理的一致性。如果对同一个概念出现了不同的理解，就会导致“是非不分”的现象。既然在学习长方体之前已经规定了“正方形是特殊的长方形”，就意味着明确了长方形的外延是包括正方形的。所谓概念的确定性就是，这样的含义在任何时候以及对任何人都不能再变化了。

数学知识体系基本上是由概念、判断和推理构成的。概念教学首要的任务就是保证概念理解上的确定性，实现这一目的可以有两个途径，第一是揭示每一个概念的内涵和外延，第二是让学生了解概念之间的关系。这对逻辑思维正在形成过程中的小学生来说尤为重要。课程与教学中切不可模棱两可、似是而非，更不能自相矛盾。 Zdkh7KwVyIFUHFIz8aYMqebc8cvz7/As1Qxmx9O4dZJRqsQwiFEE8dod56Eml+Nk