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把以教师“教”的活动为主的课堂教学，改变为以学生“学”的活动为主的课堂教学，首先需要改变的是教师备课的思维方式。所谓“备课”不等同于“写教案”，备课的过程更多的是学习和思考的过程，更应当包括教师个体具有创造性的思考。这样的思考应当聚焦于学生应当“学什么”，以及学生可以“怎样学”这样两个基本问题上，即思考“知识属性”和针对不同的属性设计学习活动。
对“学什么”这一问题的思考，实际就是对学生“学习目标（objective）”的确定过程。如果把学生视为学习的主体，那么这样的学习目标相对于学生来说就具有客观性，是课程编制者或者教师对学生应当“学什么”的期望（expectation）。对“怎样学”的思考首先是将学习目标转变为学生所应当执行并完成的学习任务（task），之后是思考学生为完成任务所需要经历的学习活动（activity）。“学什么”和“怎样学”两个问题的思考并不是截然分开的，二者的思考应当是融合在一起，并且都要基于对所学知识本质属性的认识。
比如“平行四边形的面积”，这一知识点反映的是一个平行四边形面积的大小与这个平行四边形内部元素（底边长度和高的长度）之间相互依赖与制约的关系，其本质属性是对客观规律的描述，此类知识的特点是相对于学习者来说具有“确定性”，不依人的意志为转移。认识这种知识的基本方法是“发现（discover）”，也就是通过观察并比较诸多不同对象，从中发现共性，这样的共性就成为了具有一定普遍意义的规律。
数学课程中另外一类知识其本质属性是人的“发明（invention）”，这一类知识通常是依赖于人的主观“需求（need）”而出现的。以分数为例，这种“需求”至少表现在三个方面。从语言的视角看，当表达数量关系的时候，同一种数量关系通常会有两种说法，这两种说法往往是“双向同义”的。如果说“甲的收入比乙的收入多100元”，就会有反过来并且意义相同的说法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果说“甲的收入是乙的3倍”，就需要反过来并且意义相同的说法，如果没有分数，这样的说法就难以实现。有了分数，就可以说“乙的收入是甲收入的三分之一”，从而实现了“双向同义”的语言描述。
历史上人们对分数的“需求”还表现在“量（magnitude）”的测量方面。在没有度量单位的时候，人对量与量之间的比较通常都是“用小量大”，当出现“量不尽”的情况时，就“用余量小”，如此反复，量尽为止。比如图1-2两条线段分别表示量A和量B，其中A是较大的量：
图1-2 量的比较示意图
图1-3 “量不尽”示意图
如果需要了解并且表达两个量之间关系的时候，人们首先就会用较小的量B去与较大的量A重叠测量，目的是为了知道几次量尽，从而就可以知道量A中包含了几个量B。但是测量过程中经常出现量不尽的情况，也就是有剩余的情况出现（见图1-3）。
图1-3中用量B测量量A重叠2次后，出现了小于量B的剩余量C，这时候人们通常会用剩余的量C反过来去与量B重叠测量，如果仍然量不尽，就继续重复这一“用余量小”的过程。图1-3用C量B的结果恰好三次量尽。这时候就需要用数来描述量A与量B之间的关系，此时仅有整数就不够了，有了分数就可以说“A是B的
（或者
）”；也可以说“B是A的
”。用“比”的语言说就是A与B的比是7：3，或者B与A的比是3：7。
数学家对分数的“需求”还表现为对除法运算“封闭”的愿望。在整数范围内，两个整数相除，可能得不到整数的结果，这种情况就叫做“整数集合对除法运算不封闭”，也就是整数集合内两个元素的运算结果跑到了整数集合的外面了。因此需要扩大整数集合的范围，把分数合并到整数集合中来，由此形成了数学中的有理数集合，在这个集合中除法运算就能保证封闭了，即任何两个有理数相除的结果一定还是有理数。
“发现”的知识与“发明”的知识属性不同，当然学习的方式也就有了差异。发现的过程核心环节是“观察与比较”，发明的过程重在“需求与创造”。针对不同属性的知识，备课中就要思考如何为学生设计学习任务和学习活动。
对客观规律的认识至少应当包括两个方面。首先应当是定性的认识，比如对于“平行四边形面积”来说，应当认识无论什么样的平行四边形，其面积的大小都受制于底边长度和高的长度；在定性认识的基础上，就可以有定量的认识，即面积的大小等于底边长度与高的长度的乘积。针对定性的认识，需要观察并且比较不同的平行四边形，在不同中发现共性，也就是所有平行四边形面积的大小都受制于底边长度和高的长度；而对于定量的认识，也就是平行四边形的面积等于底边长度与高的长度的乘积，则需要观察平行四边形与面积相等的长方形之间的关系而得到。如果把长方形视为特殊的平行四边形，那么就可以将定性的认识与定量的认识合为一体，把学习目标确定为“发现平行四边形面积的大小与底边长度和高的长度的关系”。
既然这一学习目标的实现依赖于观察与比较的活动，备课中需要思考的重要问题就是如何设计能够沟通学习目标及观察与比较活动之间联系的学习任务。这种任务的设计是否有效取决于两个前提，第一是观察者为什么需要观察，也就是要为学生提供观察的理由，这种理由可以使得学生具有观察的动机；第二是观察什么，也就是需要为学生提供观察对象以及思考方向。学习任务的叙述可以是以问题的形式出现的，不妨称之为“问题型”任务。比如针对学习目标“发现平行四边形面积的大小与底边长度和高的长度的关系”，可以设计如下的问题型任务：
下面是三组平行四边形，每一组中两个平行四边形面积是否相等？你是怎么得到结论的？
图1-4 平行四边形面积比较图
例题1-3中第一组中两个平行四边形是底边长度不相等，但是高的长度相等；第二组中两个平行四边形是底边长度相等，但是高的长度不相等；第三组中两个平行四边形的底边长度相等，同时高的长度也相等。为了回答这样两个问题，学生可能的学习活动有用眼睛“看”，看不出来还可以用尺子“量”，当然也可以用剪刀把两个平行四边形“剪”下来重叠在一起“看”。所有的活动都是针对“是否相等”以及“为什么”这样两个问题，因此活动就不是盲目的，而是有目的的，活动的目的性使得学生具有了参与活动的动机。同时，教师为学生提供的三组图形相当于为学生的观察提供了对象。通过活动最终期望学生发现平行四边形面积的大小与底边长度以及高的长度有关。
学习任务的叙述还可以是“指令性”的，就是指明要求学生做什么。比如在例题1-3已经完成的基础上，为了能够发现平行四边形面积公式，可以给学生布置如下任务：
在方格纸上画出一个长方形，再画出一个与长方形面积相等的平行四边形，和你的同伴说说你的画法。
学生依据前面观察的经验，在画图过程中自然而然地就会把平行四边形的底和高与长方形的长和宽建立起联系。
在以上学习活动的基础上，最后可以通过布置指令性任务：
请自己总结出计算平行四边形的面积公式，将你的结论写出来。
通过以上三项任务，学生经历一系列以观察与比较为核心的学习活动，就应当可以达成“发现平行四边形面积的大小与底边长度和高的长度的关系”这一学习目标。
对于“发明”的知识，认识的核心环节是感受需求，并且经历自主发明的过程。以分数为例，分数的学习包括分数概念的形成与语言表述、分数之间的相等与不等关系、分数的运算以及分数与除法和比的关系等内容，这些内容需要一个螺旋上升的学习过程。如果把分数的本质属性定位于语言，那么其学习过程就应当遵循语言学习的规律。语言通常是按照“先听说，后读写”的顺序进行学习的。通过“听说”可以感受到分数的存在以及分数概念的含义，通过“读写”让学生经历“发明”的过程，感受数学中文字语言、图形语言以及符号语言之间的相互关系。学习分数之初，首先应当让学生感受到对分数的“需求”，体现“让知识因需要而产生”的教学原则。因此小学三年级 “分数初步认识”的学习目标 可以确定为如下三条：
1.感受分数在语言中的存在及其必要性；
2.经历分数符号从“多样”到“统一”的发明过程；
3.了解分数的含义。
针对 第一条学习目标 ，可以设计如下的学习任务：
钟表上表示的时间是“7点半”，思考其中的“半”是什么意思？与同伴交流自己的想法。（见图1-5）。
图1-5 钟表示意图
学生在执行并完成这一任务的过程中，自然要思考和交流分针转动一圈与半圈的关系，或者时针转动一格与半格之间的关系。这种思考与交流一方面感受到二分之一的现实存在，同时也能初步感受到分数用于描述局部与整体关系的含义。类似的任务还可以设计为如下的形式：
●将一张长方形纸对折，折痕将整张纸平均分成了两部分。这两部分的大小是什么关系？用尽可能多的语言说说其中一部分的大小与整张纸之间的关系。
●用尽可能多的语言说说“10元钱”与“2元钱”之间的关系。
这样的任务可以启发学生在思考和交流的过程中，沟通描述数量关系的多种语言之间的联系。比如关于“10元钱”与“2元钱”之间的关系，学生可能利用先前熟悉的描述加减关系的语言，说出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。学生还可能利用二年级学习过的“倍的认识”说：“5个2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此时恰好说明需要一种与之相反的说法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而产生了。
通过“听说”初步感受到分数的含义后，就需要符号来表示分数。符号作为一种数学中的语言，具有“人造（artificial）”的特点，其发生与发展必然是从“多样”走向“统一”的过程。如果把分数的符号表示方法直接告知学生，表面看省时省力，但失去的是学生经历发明符号的思考过程。
为了让学生经历这种“发明”的思考过程，针对 第二条学习目标 ，可以设计这样的学习任务：
你认为应当用什么样的符号表示二分之一？向同伴介绍你的发明。
图1-6 学生分数符号表达
在课堂教学实践中，发现学生依据这个任务开展活动后，的确出现了“多样”的符号表达（见图1-6）。这些符号表达中，学生运用斜线、横线、逗号等多种方式表达“分”的含义。而且还发现许多学生在写“二分之一”的符号时，喜欢将“2”写在左侧或者上面。这实际上反映出平时习惯的阅读和书写顺序（从左向右，自上而下）对学生认识分数的符号是有影响的。分数“二分之一”的读法是“先2后1”，因此学生书写也是这样的顺序。
在学生“多样”的发明充分交流和展示之后，教师可以补充一个学习任务：
同一个二分之一出现了这么多不同的符号，行吗？应当怎么办呢？
这一任务的目的在于引发学生思考，分数符号作为一种数学中的语言，其重要作用是用于交流，多样化会带来交流的困难。因此需要统一，统一的目的是让所有人看到后都能够知道其确定的含义。
这两个任务之后，为了进一步沟通不同语言之间的联系，深化对分数含义的理解，可以再为学生布置一个任务：
举个例子说明
的意思。在小组内交流不同的想法。
学生可以通过画图、折纸、讲故事等多样化的活动完成这个任务，过程中自然会加深对分数含义的理解。
如果时间允许，还可以设计数学与其他学科沟通联系的学习任务。比如中国传统文化中成语和诗词的学习通常是语文课程中的内容，如果引入到数学课程与教学中，一方面可以沟通不同学科知识之间的联系，同时也能够激发学生学习数学的兴趣，感受到数学学习的现实意义。在前面已经初步认识分数之后，可以利用成语“半斤八两”设计如下的学习任务：
中国古代用“斤”和“两”作为重量单位，16两为1斤。古代成语中有“半斤八两”的说法，请你用今天学习的知识描述这个成语的意思。
这个任务的思考讨论实际上已经渗透了六年级将要学习的“正比例”的知识。如果把“斤”和“两”看作两类不同的量，那么其相互依赖的关系可以从表1-1中明显看出。类似的成语还有“事半功倍”与“事倍功半”等。
表1-1 “半斤八两”关系表
中国古代诗词中也有蕴含着分数含义的。比如明代诗人杜庠的题为“岳阳楼”的诗：“茫茫雪浪带烟芜，天与西湖作画图。楼外十分风景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳阳楼位于洞庭湖畔湖南省一侧，在楼中能够远眺君山。“楼外十分风景好，一分山色九分湖”可以用分数的语言描述为：把楼外的风景看作整体，那么山景占了其中的
，水景占了
，描绘出了近大远小的视觉效果。
课堂教学期望的是学生“自由、自主、自信”地开展学习活动，为此就需要教师在备课中准确把握知识的本质属性，合理设置学习目标。在此基础上，“把目标变成任务、把知识变成问题、把方法变成活动”，让学生在课堂的学习活动中“爱做、能做、善做”。所谓“爱做”就是学生对于执行学习任务具有积极性和主动性，也就是所谓内在的动机（motivation），让学习活动成为学生“自觉自愿”的主动活动，而不是“被逼无奈”的被动活动；所谓“能做”是期望每位学生都能够明白自己应当做什么和怎样做，而不是“部分人做，其他人陪”；所谓“善做”指的是每位学生都有做好的愿望，活动过程中有机会向同伴学习，也有机会与同伴分享自己的想法，真正做到“每位学生都有活动，每位学生都有机会”。