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小学低年级学生在解决问题时常常出现一种“欲加却减，欲减又加”的现象。比如，例题1-1表达的是一道看图列式的问题：
这一问题的原意是已知总量为7，其中一个部分量为3，求另一个部分量是多少。期望学生用减法计算，列式为：“7-3=4”，而学生往往列出的算式为：“4+3=7”，把减法算式写成了加法算式。
再看一道文字题（例题1-2）：
湖面上有一些天鹅，飞走了5只，还剩8只，问湖面上原来有多少只天鹅？
本题的意思是知道了“飞走”和“还剩”这两个部分量，求总量是多少。期望学生用加法“5+8=13”计算，可许多学生又偏偏列出减法算式“13-5=8”。当问及学生本题答案时，他们往往能够说出正确答案。
这种“欲减却加，欲加又减”的现象在小学低年级学生中普遍存在，究竟是什么原因导致这种现象的发生呢？这个现象的背后一定隐藏着儿童的某种认知规律。另外，许多教师在判断学生这样做的正误时也出现困惑，当学生这样列式计算时，到底应当判错还是判对呢？辨别对错的标准究竟应当是什么？
学生的认知过程大致可以概括为三个阶段：第一是感知，就是利用诸如眼睛、耳朵等感觉器官获取信息；第二是对感知到的信息进行加工，这一阶段是在头脑中进行的；第三是作为感知和加工结果的输出，通常表现为书面或口头语言的表达。输出既然是感知和加工的结果，那么其中出现的问题一定与感知和加工这两个阶段有关。
例题1-1和例题1-2有一个共同特点，就是学生写出来的算式中数的顺序与题目中阅读到信息的顺序是一致的。在第一个问题中，学生感知到的信息首先是“空篮子”，第二是“3”，第三是“7”，它们之间的关系是前二者的和等于第三者。也就是说，通过感知，学生在头脑中形成的问题结构是“□+3=7”。由于数字相对简单，学生可以轻易算出“□”中是“4”，因此头脑中就不再进行其他加工活动了，按照这个顺序直接就写出算式“4+3=7”。第二个问题也是类似：学生按照阅读顺序感知到信息的顺序是“原有、飞走、还剩”，它们之间的关系是第一个减去第二个等于第三个，相应的问题结构是“原有-飞走=还剩”，也就是“□-5=8”，按照这种顺序直接列出算式就是“13-5=8”。
人的阅读顺序通常是“从左向右，从上向下”，因此输入到头脑中的信息也是有顺序的。这些信息和相应的顺序就在头脑中形成了一个自然的结构。头脑对信息的加工是一个复杂的过程，其中一个重要内容就是根据需要对这样的结构进行调整。对于低龄儿童来说，头脑加工能力相对较弱，因此感知到的这种自然结构就会对输出产生更大的影响。根据这样的分析，前面案例中学生所列算式也就不足为奇了。
我们把学生感知到的“□+3=7”和“□-5=8”叫做问题的自然结构，教师所期望的“7-3=□”和“5+8=□”叫做问题的加工结构。可以得到的一点启示就是，在解决问题的教学中应当注意两种结构转换的启发和引导。而能够做到这一点的前提是，教师不仅要了解问题的加工结构，更应当了解学生可能感知到的自然结构。
明白了学生这样做的道理，还需要分析这样做到底对不对。对此存在不同见解，认为“对”的主要理由是：“这样列式的学生通常都能说出问题的正确答案，说明学生是明白这道题的数量关系，并且能够正确计算的”；认为“错”的主要理由是：“学生没有分清题目中的已知和未知，应当把已知数写在等号左侧，把计算结果写在等号右侧。”
事实上，一个问题中的“已知数”和“未知数”虽然是不同的，但在思考的过程中往往需要把二者统一起来。比如在学习“方程”的时候，就是用字母代替未知数，把它看成和已知数同样的数参与到运算之中。如果利用方程的知识解决前面两个问题，就是用字母x表示未知数，根据题目叙述的顺序列出方程“x+3=7”和“x-5=8”。这实质上与学生所列算式是一样的。另外，这种已知与未知的统一关系还经常体现于数学结论的推广方面。比如用任何具体的已知数都无法表示一般意义的长方形面积公式，一旦将具体的已知数用“未知”的字母来代替，更具普遍性的长方形面积公式“S=a×b”就出现了。因此从更广泛的意义上说，研究一个问题的着力点应当放在数量关系方面，这样的数量关系可以有不同的表达方式，无论什么样的表达方式，“已知”和“未知”往往处于同等地位，放在什么位置上并不是最重要的事情。例题1-1和例题1-2中学生的列式实际上已经表达出了问题的数量关系，所以应当认为是正确的。
至于“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”，实际上是对等号的一种误解。为了说明这一点，先来介绍数学中的“等价关系”。所谓等价关系，可以说是一种很“亲密”的关系。不妨用熟知的“亲兄弟”关系来理解。凡亲兄弟关系一定会符合下面的条件：如果甲和乙是亲兄弟，那么乙和甲也一定是亲兄弟；另外，如果甲和乙是亲兄弟，同时乙和丙也是亲兄弟，那么甲和丙也一定是亲兄弟。稍微“疏远”一些的“朋友”关系就不符合后面的条件。
等号在数学中表示与亲兄弟类似的“亲密”关系，用符号可以表示成下面三个条件：
1.自身性，即：A=A；
2.交换性，即：如果A=B，那么一定有B=A；
3.传递性，即：如果A=B，B=C，那么一定有A=C。
在数学中，凡符合上述三个条件的关系就叫做等价关系，“相等关系”自然也是一种等价关系。其中的交换性表明等号两侧是可以互换位置的，因此所谓的“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”的说法是不成立的，至多可以认为是约定俗成的一种习惯。从这个意义上说，也应当承认前面例题中学生的做法是正确的。
课程改革倡导学生的学习应当是自主探索的过程，当学生探索的积极性和主动性充分调动起来的时候，自然会出现各种各样的探索结果，这个时候就给教师带来了一个挑战：如何辨别学生探索结果的对错？
《现代汉语词典》对“错误”的解释为：“不正确；与客观实际不符合。”如果以此作为辨别错误的标准，就需要进一步理解数学中“客观实际”的含义。小学生学习的数学内容依据其作用可以分为三类，分别叫做规律性知识、规则性知识和规定性知识。
所谓规律性知识，是对数学中某种客观规律的描述。比如加法交换律（a+b=b+a），它描述的是两种“加”的过程间的内在联系，是加法运算的自然规律。只要有加法的存在，这种规律就随之存在，不以人的意志为转移。再如，“平面上三角形内角和等于180度”，反映的是平面上三角形三个内角之间的内在联系，是平面上三角形的自然属性，只要是平面上的三角形都具有这种属性。
规则性知识是依据数学自身逻辑发展的需要人为规定的内容。比如在除法运算中要求“除数不能为零”；在有余数除法中规定“余数要比除数小”；在对自然数进行分类时规定“1既不是质数也不是合数”等等。诸如此类的要求并不是对某种客观规律的描述，而是为了保证数学运算或逻辑推理的确定性所制定的规则。这种规则性的内容是人为的，是为了数学自身逻辑发展的需要。
规定性知识是依据人的某种需要或者习惯人为规定、约定俗成的内容。比如计算方法中的竖式，在没有电子计算机（器）的时代，为了减轻计算的思维负担，需要借助纸笔作为计算的工具。在此基础上，人们发明了多种多样的计算方法，经过长时间的使用与对比，把为多数人所接受的算法承传下来，作为后人学习的标准算法。虽然这些标准算法是依据数学中的规律形成的，但其更主要的特征是人为规定，目的在于简便。
图1-1 除法竖式示意图
比如，除法竖式起初就不是现在的样子，而是把商写在被除数的右侧（见图1-1）。
再如，概念的命名，把具有相同属性的一类对象冠以名称，这种名称也是人为规定的内容。命名的依据是使得词义尽可能反映概念的内涵和外延。比如“质数”这一概念，最初的命名叫做“数根”，后来演变为质数或者素数。前面所说的“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”，仅仅是一种符合人们习惯的说法而已。
诸如此类的规定性知识还有：圆周角规定为“360度”；圆周率规定用符号“π”表示；在平面上确定位置时规定“横为行，竖为列”；在地图中确定方向时规定“上北下南，左西右东”；在四则混合运算时规定“先乘除，后加减”等等。
上述三类知识依据其主、客定位可以分别概括其特征为：规律性知识具有较强的客观性；规则性知识可以视为是主、客观兼容的一类知识，简单说就是规则是为了适应某种规律而制定的；规定性知识具有明显的主观特征，是为了人的某种需要而作出的规定，具有可变性和多样性。将辨别学生错误的标准局限于人的主观方面，显然是不恰当的。应当把这个标准定位于数学中的“客观实际”，也就是前面所说的“规律性”。
前面案例中呈现的客观规律是“局部与整体”的数量关系，而如何表达这种数量关系就带有明显的主观性了，属于规定性知识。学生的列式应当说并没有违背客观的数量关系，而仅仅与小学算术中习惯的“已知数写在等号左侧，计算结果写在等号右侧”的表达方式不同。“欲减却加，欲加又减”的现象说明低龄儿童头脑中较少有约定俗成的条条框框，这或许恰恰是儿童创造性思维的基础，是需要我们积极保护、鼓励和引导的。