“规律”往往体现为事物之间的联系，这种联系相对于探索者主体来说具有客观性，因此探索规律的核心环节是“观察”，通过观察发现这样的联系。观察的过程必然伴随着思考，怎样的思考方式有助于规律的发现，是一个值得研究的问题。

一、“由此及彼”的观察与思考

所谓“由此及彼”指的是在观察活动中，不仅关注单个或者同类事物及其属性本身，而且关注多个或者不同类型事物及其属性之间的关系。从一个或者一类事物及其属性联想到另一个或者一类事物及其属性，这种思考方式在逻辑学中也叫做“类比推理（analogy）”。

比如对于除法“商不变”规律的学习，就可以采用“由此及彼”的思考方法，通过与加法、减法和乘法类似规律的类比，联想出除法的这一规律。

首先，观察一组加法算式：

9+3=12；8+4=12；7+5=12；……

归纳出加法运算具有“和不变”的规律，即“一个加数增加多少，另一个加数就减少多少，那么加法的和不变”。

接下来，观察一组减法算式：

60-12=48；55-7=48；72-24=48；……

总结出减法运算的“差不变”规律，即“被减数与减数同时增加或者减少相同的数，那么减法的差不变。”

再来观察乘法算式：

2×36=72；4×18=72；8×9=72；……

得到乘法运算具有“积不变”的规律，即“一个因数扩大的倍数与另一个因数缩小的倍数如果相等，那么乘法的积不变”。

在此基础上，自然而然的想法就是“除法有没有类似的规律呢”。这样的思考方式就属于“由此及彼”，也可以叫做类比推理。

按照通常的理解，学习数学的理解方式（mathematical understanding）有两种类型。第一种是追求“会做”，叫做“工具性理解（instrumental understanding）”。这种理解方式的学习主要依赖于“模仿”和“练习”；第二种理解方式叫做“关联性理解（relational understanding）”， 这种理解方式的学习过程相对复杂。运用“由此及彼”的观察与思考自然有易于数学学习的关联性理解。下面以平行四边形和梯形面积的学习进一步说明由此及彼探索规律的过程。

二、运用案例1：学习平行四边形面积

平行四边形面积公式反映的是，一个平行四边形面积与其底边长度和高的长度之间的关系，是以长方形面积以及平行四边形与长方形关系的认识为基础的。“面积”在数学中属于“连续量”，数学家研究连续量往往需要从更加直观的“离散量”入手。为此可以先来观察图2-4中篮球的两种摆放方式。图2-4左图是将15个篮球摆放成长方形形状，图2-4右图是将同样的15个篮球摆放成平行四边形形状。

可以先来思考讨论：“为什么摆放形状不同，而篮球个数是一样的呢？”针对这个问题可以有两种不同类型的回答。第一种是孤立、静止地看两个图形，具有一个共同特征，就是“每一行都是5个篮球，一共有3行”，因此篮球个数相等，都是“（5×3=）15”个。

另一种是用联系与变化的眼光看两个图形，认为这两个图形是可以通过某种方式相互转化的。比如将左图阴影处的3个篮球取出，安放到右侧的相应位置，左图就变为了右图。还可以认为左图第二行整体向右平移1格，第三行整体向右平移2格，同样左图就变为右图。这两个过程反过来就是将右图转化为左图的方法。所有这些变化过程并没有使得篮球总数发生变化。所以两种摆放方式中篮球个数是相等的。

在此基础上就可以开始认识面积相等的长方形和平行四边形的关系了。图2-5左图画出了一个长方形，右图画出一个面积相等的平行四边形。

需要研究的问题是：“两个图形形状不同，为什么面积会相等呢？”有了前面图形之间相互转化的经验，就可以自然而然地想到如何将长方形转化为平行四边形，或者将平行四边形转化为长方形。像这样从篮球摆放问题引出长方形与平行四边形关系的认识过程，运用的就是“由此及彼”的思考方式。

三、运用案例2：学习梯形面积

梯形面积公式通常是将梯形转化为平行四边形而得到的，这种方法易行并且易懂，不足之处是没有揭示出梯形内部诸元素（上底、下底、高）之间的关系。另外一种方法是类似于前面与离散量类比的思考得到梯形面积公式。

将图2-4中15个篮球摆放为两个不同的梯形形状（见图2-6）。

图2-6中左图可以看作是将前面图2-4左图第一行左、右两端（图2-6左图第一行阴影处）的2个篮球取出，并放置在第三行两端（图2-6左图第三行阴影处）而得到的。图2-5右图可以看作是将图2-4左图第一行最右端1个篮球（图2-6右图第一行阴影处）取出，并放置在第三行最右端（图2-6右图第三行阴影处）而得到的。

这样的移动过程使得第一行和第三行的篮球个数分别发生了变化，但第一行和第三行的篮球总数并没有变化，也就是平均数没变。无论是左图还是右图，第一行和第三行篮球个数的平均数仍然等于原来图2-4长方形中每一行篮球个数，因此篮球总数可以用第一行与最后一行篮球个数的平均数乘以行数得到。对于图2-6左图来说，篮球总数为：

同样右图中篮球总数为： 。

有了这样的认识，就可以把一个梯形（见图2-7）的上底和下底分别看作前面篮球摆放图形的第一行和最后一行。图2-7梯形的高看作是前面图2-6的行数。

因此，梯形面积就可以类比推理为“上底和下底长度的平均值乘以高的长度”，也就是 。之后，可以运用剪拼的方法对这个结论进行验证。

经常听到有学生和教师说梯形面积公式为：“上底加下底乘高除以2”，这样的说法实际上把“上底和下底相加”与“除以2”割裂开了。根据前面的经验，应当把 看作是一个整体，表达的是上底与下底的平均数，这个平均数实际上就是梯形中位线（即梯形两腰中点的连线，见图2-8虚线）的长度。

四、“类比”有时不可靠

类比与归纳类似，是认识事物有效的思维形式，但都属于合情推理（plausible reasoning），也叫做启发式推理（heuristic reasoning），所得到的结论有时是不可靠的。运用这样的思考方式得到的结论应当叫做“猜想（conjecture）”，凡猜想都需要对其正确性进行检验（convincing）。

比如六年级学生在学习圆锥体积时会产生疑问：“为什么圆锥体积是底面积乘高的三分之一，不是二分之一呢？”这一疑问实际上就是源于与三角形面积公式的类比推理（见图2-9）。

作为立体图形的圆锥与平面上的等腰三角形形状上相像，而三角形面积公式为“底乘高的二分之一”，即 。由此及彼推理出圆锥体积应当是“底面积乘高的二分之一，即 。”这样的推理应当说是符合人的思维规律，但是所得到的结论是错误的。

再比如，学生学习乘法对加法的分配律时经常出现如图2-10中的错误。

也就是对于形如“a×（b+c）”的算式，学生容易将其变形为“（a×b）+c”。这实际上是潜意识中认为“a×（b+c）=（a×b）+c”，应当是从过去所熟悉的加法结合律（（a+b）+c=a+（b+c））或者乘法结合律（（a×b）×c=a×（b×c））类比推理而来。

在学习“3的整除特征”时，由于之前学生已经熟悉了“2和5的整除特征”，都是根据个位数字判断整除性的。因此自然而然地类比推理出“凡个位数字是3的倍数的数，就能被3整除”这样的错误结论。

因此，在运用由此及彼的观察与思考方式设计学习活动时，在充分的观察和比较得到初步结论后，应当安排对其正确性进行检验的活动。学生通常会有“得出结果，万事大吉”的心理。教师应当引导学生用批判与怀疑的态度对待这样的结果，能够运用多种方法对自己结论的正确性进行检验，并能够向其他同学证明自己所得结论的正确。 3PBt7F3KjIb0fHyJOfdAfJs6unxK2+llCZvHlFWVuCNUF4n55tJmWOuyB0AnomLQ