第3讲

盈亏问题
（一）

经典例题1

保育员阿姨给幼儿园小朋友分饼干，如果每人分3块，那么多出16块饼干；如果每 人分5块，那么就差4块饼干。这批小朋友有多少个？一共有多少块饼干？

思路点拨

我们不难知道，小朋友的人数和饼干的块数是不变的。比较前后两种不同的分配方法：第一种方案是每人分3块，那么多出16块饼干；第二种方案是每人分5块，那么就差4块饼干。两种不同的方案“一多一少”相差16+4=20（块），相差的原因在于两种方案的分配饼干数不同，第一种方案每人分3块，第二种方案每人分5块，两次分配数之差是5-3=2（块）。每人相差2块，多少个人就相差20块呢？因此，可以求出小朋友的个数和饼干的块数。

小朋友的人数：（16+4）÷（5-3）

=20÷2

=10（个）

饼干的块数：10×3+16=46（块）或5×10-4=46（块）

答：这批小朋友有10个，一共有46块饼干。

智力热身1

1.保育员阿姨给幼儿园小朋友分饼干，如果每人分2块，那么多出8块饼干；如果每人分3块，那么就差7块饼干。这批小朋友有多少个？一共有多少块饼干？

2.新世界服饰商城有一种帽子，如果每顶卖20元，那么共盈利300元；如果每顶卖12元，那么就要亏损100元。商城一共有多少顶帽子？这批帽子的成本是多少元？

3.植树节那天，少先队员们去植树，如果每人种3棵，那么剩下13棵；如果每人种5棵，就要少67棵，参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？

经典例题2

春节前夕，四（3）班的少先队员们带了一些苹果去敬老院慰问老人。如果每人分8个苹果，那么剩下47个；如果每人分10个，那么就剩下3个。少先队员们慰问了多少位老人？一共准备了多少个苹果？

思路点拨

根据题意，比较前后两种不同的分配方法：第一种方案是每人分8个，那么多出47个苹果；第二种方案是每人分10个，那么就多出3个苹果。两种不同的方案都是多出了，相差47-3=44（个），相差的原因在于两种方案的分配苹果数不同，第一种方案每人分8个，第二种方案每人分10个，两次分配数之差是10-8=2（个）。每人多分2个，几个人就多分44个呢？因此，可以求出老人的人数和苹果的个数。

老人的人数：（47-3）÷（10-8）

=44÷2

=22（位）

苹果的个数：8×22+47=223（个）或10×22+3=223（个）

答：少先队员们慰问了22位老人，一共准备了223个苹果。

智力热身2

1.王老师准备把一些笔记本奖励给三好学生。如果每人奖5本，那么剩下2本；如果每人奖4本，那么就剩下14本。那么，三好学生有多少个？王老师一共准备了多少本笔记本？

2.一根绳子绕一棵大树三圈余10米，绕五圈余6米，这根绳子长多少米？绕这棵大树一圈有多少米？

3.某车间加工一种零件，如果每台机器完成15件，那么将超额20件；如果每台机器完成13件，仍将超额4件。这个车间有多少台机器？一共有多少件零件？

经典例题3

少年宫外国语活动基地暑假期间招收了一批新生，如果每个班安排40名学生，还少25名；如果每个班安排36名学生，则还要招收5名。那么，暑假期间一共招收了多少名新生？

思路点拨

我们模仿前面的分析方法，比较两种不同的分配方案：第一种方案是每班安排40名，那么还少25名；第二种方案是每班安排36名，那么还少5名。两种不同的方案都是少人的，相差25-5=20（名），相差的原因在于两种方案的分配人数不同，第一种方案每班安排40名，第二种方案每班安排36名，两次分配数之差是40-36=4（名）。每班少安排4名，几个班就少分20名学生呢？因此，可以求出班级的个数和学生的人数。

班级的个数：（25-5）÷（40-36）

=20÷4

=5（个）

学生的人数：40×5-25=175（名）或36×5-5=175（名）

答：暑假期间一共招收了175名新生。

智力热身3

1.小英和晨晨等几个小朋友在一起玩耍。小英的妈妈拿出一包糖果分给他们，如果每人分12块就缺8块；如果每人分10块就缺2块。这包糖果有多少块？

2.学校新买了一批跳绳分给各个班级，如果每班分18根就缺136根；如果每班分15根就缺10根。这批跳绳有多少根？

3.某市发生大地震后，社会各界伸出了援助之手。一位热心人捐出一批帐篷给地震灾区某村，如果每顶帐篷住16人，那么空出100个人的床位；如果每顶帐篷住12人，该村的村民恰好全部住满。这位热心人一共捐出了多少顶帐篷？

经典例题4

奥运会期间，奥运村为各国代表团准备了舒适的住宿环境。A国领队给该国运动员安排住宿，如果每个房间住3人，则多出20个人；如果每个房间住5人，则有4个房间空着。A国代表团有几个房间？代表团共有多少人？

思路点拨

这是一道复杂的“盈亏问题”，解决的关键是把它转化成前面三种简单类型中的一种，然后，运用相应的公式进行计算。因为“如果每个房间住5人，则有4个房间空着”，也就是说“如果每个房间住5人，则有5×4=20（个）铺位是空着的”，这样，问题就转化成：

如果每个房间住3人，则多出20个人；如果每个房间住5人，则有20个铺位空着。A国代表团有几个房间？代表团共有多少人？

所以，我们便有下面的解答。

（1）比较两种分配方案，一共相差多少个人：

20+5×4=40（人）

（2）一共有几个房间：

40÷（5-3）=20（个）

（3）代表团共有多少人：

3×20+20=80（人）或5×（20-4）=80（人）

也可以直接列出综合算式：

（20+5×4）÷（5-3）

=40÷2

=20（个）

3×20+20=80（人）

答：A国代表团有20个房间，代表团共有80人。

智力热身4

1.育才小学给一年级全托新生安排宿舍，若5人一间则多9人，若6人一间则最后一间只住1人。那么，共有新生多少人？有多少间宿舍？

2.学校安排学生到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，则剩下48人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅。听报告的学生有多少人？

3.光华国际大酒店负责一个大型旅游团的食宿。如果每个房间住4人，要用33个房间；如果每个房间住3人，需要增加10个房间。这个旅游团共有多少人？

经典例题5

军军用一根绳子测量一口井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外绳子长8米；军军又把这根绳子对折后，将一端放入井底，这时，在井口外的绳子还有1米。这口井有多深？

思路点拨

这类测量“井深”“桥高”等问题也是典型的“盈亏问题”，可以这样理解：把井的深度看作是“小朋友的个数”，绳子的长度看作是“糖的块数”。

因此，“把绳子的一端放入井底，井口外绳子长8米”可以看作是“把一些糖分给一个小朋友，还多8块糖”；“把这根绳子对折后，将一端放入井底，这时，在井口外的绳子还有1米”可以看作是“把这些糖分给两个小朋友，还多1×2=2（块）糖”，特别要注意的是，现在是多“2块糖”而不是多“1块糖”，这是因为将绳子对折以后，两折都出了1米，所以，要乘2，即多出2米，同样道理，“三折”的话就要乘3。

有了上面的比较和联系，我们来解决这个问题。

（8-1×2）÷（2-1）

=6÷1

=6（米）

答：这口井有6米深。

智力热身5

1.豪豪用绳测量井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外的绳子有11米；他又把这根绳子对折后，将一端伸入井底，这时在井口外的绳子还有1米。这口井有多深？

2.在桥上用绳子测量水面上桥的高度，把绳子直接垂到水面，还余7米；把绳子三折后垂到水面还差1米不到桥面。求桥的高度和绳子的长度。

3.小彤用一根绳子测量井台到井水面的深度，他把绳子对折后垂到水面，绳子超过井台9米；他又把这根绳子三折后垂到水面，绳子超过井台2米。求绳子的长度和井台到水面的距离。

大显身手

1.四（2）班的同学去植树，若每人植2棵，还剩18棵；若每人植3棵，差25棵。四（2）班有多少个同学？一共有多少棵树苗？

2.动物园饲养员刘叔叔把一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分9个，那么多出28只桃子；如果每只猴子分12个，只多出4只桃子。这堆桃子有多少只？

3.四（2）班进行大扫除，劳动委员把全班同学平均分成7组，那么缺12个人；若平均分成6组，还缺3个人。这个班有多少个同学？

4.把一堆苹果分给小朋友，如果每人分2个，还剩下3个苹果；如果每人分3个，还缺4个苹果。有几个小朋友？一共有多少个苹果？

5.袁阿姨把一些花插入花瓶，如果每瓶插8朵，则缺少13朵；如果每瓶改成插6朵，则缺少1朵。袁阿姨准备了多少只花瓶？有多少朵花？

6.陈老师买来一批课外书，奖励给那些在“讲文明树新风”活动中表现突出的小朋友。如果每人分3本课外书，还剩余31本；如果每人分5本课外书，还有5个小朋友分不到课外书。这批课外书有多少本？

7.陈刚用一根绳子测量一口井的深度，把绳子两折，井口余3米；把这根绳子三折后，还差1米不到井口。那么，这口井有多深？绳子长多少米？

8.小荷姐姐给小朋友分饼干，若每人分2包，则余12包；若每人分3包，则还有2个小朋友没分到。那么，一共有多少个小朋友？小荷姐姐准备了多少包饼干？

9.绿茵小学四年级的学生去秋游。如果每辆客车坐45人，有10人不能坐车；如果每辆车多坐5人，又空出一辆客车。四年级共有多少名学生？

10.三（1）班的同学去划船，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。这个班共有多少名同学？

参考答案 XrJlYratx2HSdutMpFq9J8jGlUOl1YvFWhVnoIeiyaUeYe4At8VJv3rh/RHIntto