第四节　模态逻辑

模态逻辑是逻辑的一个分支，它研究必然、可能及其相关概念的逻辑性质。模态逻辑都包含模态命题。在逻辑中，“必然”“可能”“不可能”等叫做“模态词”，包含模态词的命题叫做“模态命题”。

一、模态推理

模态推理是有关模态命题的推理。模态命题主要是反映事物情况存在或发展的必然性或可能性的命题。

1.模态命题

在逻辑中，用“◇”表示“可能”模态词，“□”表示“必然”模态词。模态命题有多种形式，对模态命题可以从它所包含的模态词或者两个不同的角度进行分类。其基本形式有四种：

（1）必然肯定模态命题，□P，断定某件事情的发生是必然的。

（2）必然否定模态命题，□ P，断定某件事情的不发生是必然的。

（3）可能肯定模态命题，◇P，断定某件事情的发生是可能的。

（4）可能否定模态命题，◇ P，断定某件事情的不发生是可能的。

2.模态推理

模态推理是由模态命题构成的一种演绎推理，它是根据模态命题的性质及其相互间的逻辑关系进行推演的。在同素材的四种模态命题之间也存在着真假上的相互制约关系。这种关系与四种直言命题间的对当关系相同，故又称模态命题的对当关系。

“必然P”“不可能P”（必然非P）、“可能P”和“可能非P”之间的真假关系，类似于直言命题A、E、I、O之间的真假关系，也可用一个对当逻辑方阵来表示：

根据四种模态命题之间的逻辑关系（真假关系），便可构成一系列简单的模态命题的直接推理。在逻辑考试中一般只是考查模态命题的矛盾关系，即模态命题的负命题及其等值推理。公式如下：

（1） □P↔◇ P。

并非“必然P”=可能非P。

①并非必然P，所以，可能非P。

比如：并非强盗的儿子必然是强盗；所以，强盗的儿子可能不是强盗。

②可能非P，所以，并非必然P。

比如：火星上可能没有生物，所以，并非火星上必然有生物。

（2） □ P↔◇P。

并非“必然非P”=可能P。

①并非必然非P，所以，可能P。

比如：这道题你不一定不会做，所以，这道题你可能会做。

②可能P，所以，并非必然非P。

比如：不学逻辑的人的思维可能经常会出现逻辑错误；所以，并非不学逻辑的人的思维一定不经常会出现逻辑错误。

（3） ◇P↔□ P。

并非“可能P”=必然非P。

①并非可能P，所以，必然非P。

比如：顾客在购买汽车时不可能一眼就看出汽车的性能，所以，顾客在购买汽车时一定不会一眼就看出汽车的性能。

②必然非P，所以，并非可能P。

（4） ◇ P↔□P。

并非“可能非P”=必然P。

①并非可能非P，所以，必然P。

比如：并非正义可能不会战胜邪恶，所以，正义必然战胜邪恶。

②必然P，所以，并非可能非P。

比如：军队必然是为政治目的服务的武装组织，所以，并非军队可能不是为政治目的服务。

■一把钥匙能打开天下所有的锁。这样的万能钥匙是不可能存在的。

以下哪项最符合题干的断定？

A.任何钥匙都必然有它打不开的锁。

B.至少有一把钥匙必然打不开天下所有的锁。

C.至少有一把锁天下所有的钥匙都必然打不开。

D.任何钥匙都可能有它打不开的锁。

E.至少有一把钥匙可能打不开天下所有的锁。

［解题分析］ 正确答案：A

不可能“一把钥匙能打开天下所有的锁”

=必然非“一把钥匙能打开天下所有的锁”

=任何钥匙都必然有它打不开的锁

■在新疆恐龙发掘现场，专家预言：可能发现恐龙头骨。

以下哪个命题和专家意思相同？

A.不可能不发现恐龙头骨。

B.不一定发现恐龙头骨。

C.恐龙头骨的发现可能性很小。

D.不一定不发现恐龙头骨。

E.在其他地方也可能发现恐龙头骨。

［解题分析］ 正确答案：D

模态命题推理题。可能P=并非必然非P=不一定不P

因此，可能发现恐龙头骨=不一定不发现恐龙头骨。D项为正确答案。

■宇宙中，除了地球，不一定有居住着智能生物的星球。

下列哪项与上述论述的含义最为接近？

A.宇宙中，除了地球，一定没有居住着智能生物的星球。

B.宇宙中，除了地球，一定有居住着智能生物的星球。

C.宇宙中，除了地球，可能有居住着智能生物的星球。

D.宇宙中，除了地球，可能没有居住着智能生物的星球。

E.宇宙中，除了地球，一定没有居住着非智能生物的星球。

［解题分析］ 正确答案：D

不一定有居住着智能生物的星球

=并非必然“有居住着智能生物的星球”

=可能没有“有居住着智能生物的星球”

因此，D项为正确答案。

二、模态复合

模态复合推理包括直言命题的模态推理、复合命题的模态推理以及相应的负命题。

1.直言命题的模态推理

直言命题的模态推理是直言推理和模态推理的综合；根据直言模态命题间的矛盾关系，可以进行下列推理：

（1） ◇SAP↔□SOP。

例如，并非所有人可能都是大学生=有的人必然不是大学生。

（2） ◇SEP↔□SIP。

例如，并非所有男人可能都不是好人=有的男人必然是好人。

（3） ◇SIP↔□SEP。

例如，并非有的宗教可能是科学=所有宗教必然都不是科学。

（4） ◇SOP↔□SAP。

例如，并非所有的演员必然是明星=有的演员可能不是明星。

（5） □SAP↔◇SOP。

例如，并非所有战争必然是正义战争=有的战争可能不是正义战争。

（6） □SEP↔◇SIP。

例如，并非教授必然都不是富翁=有的教授可能是富翁。

（7） □SIP↔◇SEP。

例如，并非有的同学必然学过法语=所有同学可能都没学过法语。

（8） □SOP↔◇SAP。

例如，并非有的同学必然没学过英语=所有同学可能都学过英语。

2.复合命题的模态推理

复合命题的模态推理是复合命题推理和模态推理的综合。

（1）联言命题的模态推理

①□（P∧Q）↔（□P∧□Q）。

鲁迅必然既是文学家又是思想家=鲁迅必然是文学家，并且鲁迅必然是思想家。

②◇（P∧Q）→（◇P∧◇Q）。

反之不成立，因为 P代替Q，（P∧ P）是矛盾式。

（2）选言命题的模态推理

①◇（P∨Q）↔（◇P∨◇Q）。

牛顿可能或是物理学家或是逻辑学家=牛顿可能是物理学家，或可能是逻辑学家。

②（□P∨□Q）→□（P∨Q）。

（3）假言命题的模态推理

① ◇（P→Q）=□ （P→Q）=□（P∧ Q）。

② □（P→Q）=◇ （P→Q）=◇（P∧ Q）。

3.求否定规则

需要掌握如下否定变化口诀：

••肯定变否定，否定变肯定；

••可能变必然，必然变可能；

••所有变有的，有的变所有；

••并且变或者，或者变并且。

注意事项：

（1）找否定词，把否定词后面的所有相关信息按以上口诀简单变化就可以了。

比如：并非必然有的选民不投所有候选人的赞成票=可能所有选民投有的候选人的赞成票。

（2）根据问题来求否定。

比如：“如果上述断定为真，则以下哪项不可能为真？”就是求题干的否定。

“以下哪项与上述断定的含义最为接近？”就是直接对题干进行运算，题干一定包含一个整体的否定。

（3）根据语气否定变化口诀求否定后，要整理语序，再找答案。

■不可能所有的香港人都会讲普通话。

以下哪项判断含义与上述判断最为接近？

A.可能所有的香港人都会讲普通话。

B.可能所有的香港人都不会讲普通话。

C.必然所有的香港人都不会讲普通话。

D.必然有的香港人不会讲普通话。

E.必然有的香港人会讲普通话。

［解题分析］ 正确答案：D

不可能所有的香港人都会讲普通话

=必然非“所有的香港人都会讲普通话”

=必然有的香港人不会讲普通话

■一方面确定法律面前人人平等，同时又允许有人触犯法律而不受制裁，这是不可能的。

以下哪项最符合题干的断定？

A.或者允许有人凌驾于法律之上，或者任何人触犯法律要受到制裁，这是必然的。

B.任何人触犯法律要受到制裁，这是必然的。

C.有人凌驾于法律之上，触犯法律而不受制裁，这是可能的。

D.如果不允许有人触犯法律而可以不受制裁，那么法律面前人人平等是可能的。

E.一方面允许有人凌驾于法律之上，同时又声称任何人触犯法律要受到制裁，这是可能的。

［解题分析］ 正确答案：A

不可能“P且Q”=必然“非P或非Q”，因此，A项与题干断定等价。

■有球迷喜欢所有参赛球队。

如果上述断定为真，则以下哪项不可能为真？

A.所有参赛球队都有球迷喜欢。

B.有球迷不喜欢所有参赛球队。

C.所有球迷都不喜欢某个参赛球队。

D.有球迷不喜欢某个参赛球队。

E.每个参赛球队都有球迷不喜欢。

［解题分析］ 正确答案：C

“有球迷喜欢所有参赛球队”的负命题是“所有球迷都不喜欢有的参赛球队”。

可见，C项与题干为矛盾关系，因此，如果题干为真，C项不可能为真。

【专项训练】

01. 不可能所有的证人都说实话。

如果上述命题是真的，那么，以下哪个命题必然是真的？

A.所有证人一定都不说实话。

B.有的证人说实话。

C.有的证人不说实话。

D.刑事案件的证人都说实话。

E.刑事案件的某些证人都不说实话。

02. 甲：“我们辅导班不会有人考不上MBA”。

乙：“未必”。

乙的真正意思是什么？

A.所有人都必然考上MBA。

B.所有人都可能考不上MBA。

C.有人考不上MBA。

D.所有人都可能考上MBA。

E.有人可能考不上MBA。

03. 最近一段时期，有关要发生地震的传言很多。一天傍晚，小明问在院里乘凉的爷爷：“爷爷，他们都说明天要地震了。”爷爷说：“根据我的观察，明天不必然地震”。小明说，“那您的意思是明天肯定不会地震了。”爷爷说：“不对”。小明陷入了迷惑。

以下哪句话与爷爷的意思最为接近？

A.明天必然不地震。

B.明天可能地震。

C.明天可能不地震。

D.明天不可能地震。

E.明天不可能不地震。

04. 某公司人力资源管理部人士指出：由于本公司招聘职位有限，在本次招聘考试中不可能所有的应聘者都被录取。

基于以下哪项可以得出该人士的上述结论？

A.在本次招聘考试中，可能有应聘者被录用。

B.在本次招聘考试中，必然有应聘者被录用。

C.在本次招聘考试中，可能有应聘者不被录用。

D.在本次招聘考试中，必然有应聘者不被录用。

E.在本次招聘考试中，可能有应聘者被录用，也可能有应聘者不被录用。

05. 不可能宏达公司和亚鹏公司都没有中标。

以下哪项最为准确地表达了上述断定的意思？

A.宏达公司和亚鹏公司可能都中标。

B.宏达公司和亚鹏公司至少有一个可能中标。

C.宏达公司和亚鹏公司必然都中标。

D.宏达公司和亚鹏公司至少有一个必然中标。

E.如果宏达公司中标，那么亚鹏公司不可能中标。

06. 不必然任何经济发展都导致生态恶化，但不可能有不阻碍经济发展的生态恶化。

以下哪项最为准确地表达了题干的含义？

A.任何经济发展都不必然导致生态恶化，但任何生态恶化都必然阻碍经济发展。

B.有的经济发展可能导致生态恶化，而任何生态恶化都可能阻碍经济发展。

C.有的经济发展可能不导致生态恶化，但任何生态恶化都可能阻碍经济发展。

D.有的经济发展可能不导致生态恶化，但任何生态恶化都必然阻碍经济发展。

E.任何经济发展都可能不导致生态恶化，但有的生态恶化必然阻碍经济发展。

07. 人都不可能不犯错误，不一定所有人都会犯严重错误。

如果上述断定为真，则以下哪项一定为真？

A.人都可能会犯错误，但有的人可能不犯严重错误。

B.人都可能会犯错误，但所有的人都可能不犯严重错误。

C.人都一定会犯错误，但有的人可能不犯严重错误。

D.人都一定会犯错误，但所有的人都可能不犯严重错误。

E.人都可能会犯错误，但有的人一定不犯严重错误。

【答案解析】

01. 答案：C

题干推理过程如下：

不可能“所有的证人都说实话”

=必然非“所有的证人都说实话”

=必然“有些证人不说实话”

因此，C项为正确答案。

02. 答案：E

甲：“不会有人考不上”

乙：“未必”=并非必然

并非必然“不会有人考不上”

=可能并非“不会有人考不上”

=可能“有人考不上”

03. 答案：C

根据模态命题对当关系，不必然P=可能非P。

因此，C项为正确答案。

04. 答案：D

不可能“所有的应聘者都被录取”

=必然非“所有的应聘者都被录取”

=必然“有的应聘者不被录取”

因此，D项为正确答案。

05. 答案：D

不可能（非A且非B）=必然非（非A且非B）=必然（A或B）。

不可能宏达公司和亚鹏公司都没有中标，就意味着：必然宏达公司中标或者亚鹏公司中标，也就是宏达公司和亚鹏公司至少有一个中标，因此，D项正确。

06. 答案：D

不“必然任何经济发展都会导致生态恶化”=可能有的经济发展不导致生态恶化

不“可能有不阻碍经济发展的生态恶化”=必然所有的生态恶化都阻碍经济发展

因此，选项D为正确答案。

07. 答案：C

不可能=必然非；因此，人都不可能不犯错误=人都一定会犯错误。

不一定A=可能非A=可能O；因此，不一定所有人都会犯严重错误=可能有的人不犯严重错误。因此，答案为C。 TZAM2QjVbA2q9vOPhLbPwXTFrwM12N1udUFwG8kEXyBWuEYMpsfHhZMIGwvi2U7E