混凝土结构设计手算实例详解最新章节_刘峰著

2.4　楼梯和雨篷设计

2.4.1　手算方法及公式

2.4.1.1　楼梯

（1）梁式楼梯

①踏步板计算。为了计算方便，可竖向切出一个踏步作为计算单元，这时板的折算高度 h 可近似取梯形截面的平均高度，即：

其中， c 为踏步高度， d 为板厚。这样，踏步板就可按截面宽度为 b 、高度为 h 的矩形板进行内力及配筋计算。这种受弯的假定，同实际受力情况不一致，但配筋计算结果偏于安全。

②梯段斜梁计算。楼梯斜梁两端支承在平台梁上，一般按简支梁计算。作用在斜梁上的荷载为踏步板传来的均布荷载，其中恒载（包括踏步板、斜梁等自重重力荷载）按倾斜方向计算，而活荷载则按水平方向计算。为了统一起见，通常也将恒载换算成水平投影长度上的均布荷载[图2-26（a）]。图中的 p 包括恒载及活载。

图2-26　斜梁的弯矩及剪力

斜梁是斜向搁置的受弯构件，总竖向荷载 pl 中与斜梁纵轴垂直的荷载分量 pl cos α 使梁产生弯矩和剪力。设斜梁长度为 l ₁ ，其水平投影长度为 l ，则与斜梁纵轴垂直作用的均布荷载为 pl cos α / l ₁ 。斜梁跨中截面最大弯矩和支座截面剪力[图2-26（b）]分别为：

实际工程中，一般将斜梁按水平投影长度 z 、荷载为 p 的水平简支梁计算，如图2-26（c）所示。可见，按水平简支梁算得的跨中截面弯矩即为斜梁的实际截面弯矩，但算得的支座截面剪力应乘以cos α ，才是实际的支座截面剪力。

当无平台梁时，即形成折线形斜梁，这种梁也可按水平简支梁计算内力，如图2-27所示。由于其上作用的荷载值不同，需将梯段上的荷载化成水平投影长度上的均布荷载，并求出最大弯矩发生的截面位置，然后求出最大弯矩值。

图2-27　折线形斜梁计算

斜梁的截面计算高度 h 应按垂直斜向轴线的梁高取用，并按倒L形截面计算其受弯承载力。

③平台板与平台梁计算。平台板一般为单向板（也可能是双向板），当板的两端均支承在平台梁上时，考虑到梁对板的弹性约束[如图2-28（a）所示]，板的跨中弯矩可按式（2-28）计算：

图2-28　平台板、平台梁构造

当板的一端支承在平台梁而另一端支承于墙上时[图2-28（b）]，板的跨中弯矩应按下式计算：

平台梁除承受平台板传来的均布荷载外，还承受梯段斜梁传来的集中荷载（支座反力） P ₁ 和 P ₂ （当上、下梯跑等长时， P ₁ = P ₂ ），一般将平台梁按支承在楼梯间两边横墙上的简支梁考虑，计算简图如图2-29所示。平台梁的计算及构造可按一般受弯构件处理。平台梁虽为倒L形截面，但考虑其工作时截面的不对称性，故计算时可不计入翼缘的作用而近似按梁肋宽度为 b 的矩形截面计算。

图2-29　平台梁计算简图

（2）板式楼梯

①梯段板。梯段板计算时，一般取1m宽的板带作为计算单元，并将板带简化为斜向简支板。它的计算简图如图2-30所示，图中荷载 g '+ q '分别为沿斜向板长每米的恒荷载（包括踏步和斜板的自重及抹灰荷载）和活荷载的设计值。为计算梯段板的内力，将 g '+ q '分解为垂直于斜板和平行于斜板的两个分量，平行于斜板的均布荷载使其产生轴力，其值不大，可以忽略。垂直于斜板的荷载分量使其产生弯矩和剪力，它的荷载分量 g ″+ q ″=（ g '+ q '）cos α =（ g + q ）cos ² α 。

图2-30　梯段板计算简图

简支斜板截面内力可计算如下。

a.跨中截面最大弯矩：

考虑到梯段板、平台梁及平台板的整体性，并非理想铰接，设计中跨中截面最大弯矩一般取：

b.支座截面最大剪力：

式中 g 、 q ——作用于梯段板上沿水平方向均布竖向恒荷载和活荷载设计值；

l 、 l ₀ ——分别为梯段板沿水平方向的计算跨度和净跨度；

α ——梯段板与水平方向的夹角。

由式和式（2-30）的推算可知：

ⅰ.斜向梁板在竖向荷载下跨中正截面最大弯矩是其在水平投影下的水平梁板在此荷载下的最大弯矩；

ⅱ.斜向梁板在竖向荷载下支座截面最大剪力是其在水平投影下的水平梁板在此荷载下的最大剪力乘以cos α 。

②平台板。平台板通常为单向板，其一边与平台梁联结，另一边与过梁联结或支承在墙上。当另一边与过梁联结时，取跨中弯矩 M _max =1/10 pl ² ，当另一边支承于墙上时，取跨中弯矩 M _max =1/8 pl ² 。

③平台梁。因为平台板和梯段板支承在平台梁上，所以平台梁承受由它们传来的均布荷载和自重，平台梁的两端一般支承在楼梯间承重墙上，可按简支梁进行计算，其计算简图如图2-31所示。

图2-31　平台梁计算简图

（3）折板悬挑式楼梯

①空间刚架法。空间刚架法计算时，把上、下跑楼梯段都用一根经过其形心的直线杆件来代替，平台板则用半径为 R 的半圆形水平曲杆来代替，其中 R =（ b + c ）/2（ b 为平台板挑出长度， c 为上、下跑梯段板内侧净距）。计算简图如图2-32所示，利用结构力学的方法求解各杆件的内力。

图2-32　空间刚架法计算简图

②板的相互作用法。各控制截面上的基本内力可通过以下两个步骤的计算得到。第一步，在交线3-4-9-10的长度上，虚设竖向不动铰支座[图2-33（a）所示]，求出在竖向荷载作用下不动铰支座的反力 R _b ，以及平台板和上、下梯段斜板各控制截面的内力值；第二步，去掉上述虚设的竖向不动铰支座，把支座反力风反向作用到交线3-4和9-10，由静力平衡条件求得上跑楼梯的偏心拉力 V _os 及下跑楼梯的偏心拉力 V _ox [图2-33（b）所示]。叠加这两个图形的内力总和即为悬挑楼梯的内力。

图2-33　板的相互作用法计算假定图

2.4.1.2　雨篷

（1）雨篷设计的一般要求

①当雨篷为现浇时，悬挑板一般做成变厚度的，其根部不小于70mm，板端不小于50mm（如图2-34所示）。雨篷梁的宽度一般与墙厚相同，其高度则按计算要求确定。

图2-34　雨篷设计

②雨篷梁伸入墙体的长度，要按抗倾覆的要求确定。梁伸入墙体的支承长度越长，压在梁上的墙体重量越大，则抗倾覆的能力越大。为此，雨篷梁伸入墙体的支承长度一般不应小于240mm（目前常为370mm）。

③预制雨篷往往带有边梁，雨篷梁和边梁通常做成反梁（即梁位于板的上面），形成一个封闭圈。这样，可以正向平置浇制，且能使雨篷顶棚平整。预制雨篷通用构件的一般尺寸为：板的悬挑长度≤1160mm，板厚为35mm，雨篷梁长度为1800～3300mm，梁高为160～180mm（如图2-35所示）。

图2-35　预制雨篷

④作用在雨篷板上的荷载有恒荷载（包括防水层、找平层、顶棚抹灰等构造层重及板自重，有时还要考虑周边加砌砖沿的重量）、雪荷载或施工与检修集中荷载，计算时雪荷载和集中荷载不同时考虑。

⑤雨篷的设计计算应包括雨篷板、雨篷梁的计算及整个雨篷抗倾覆验算三部分内容。

⑥雨篷梁除承受由雨篷板传来的荷载外，还承受其上墙体的重量及楼（层）盖梁板可能传来的荷载（按过梁荷载的计算规定采用）。

（2）雨篷板的设计　雨篷板承载力按受弯构件计算。雨篷的计算跨度取板的挑出长度。计算单元取1m板带，计算截面取板的根部。雨篷板的截面高度，即雨篷板的厚度，可取挑出长度的l/12～l/10，且≥80mm，若采用变厚度板，则板的悬臂端厚度应不小于50mm。

雨篷板承受的荷载有恒荷载和活荷载，计算时按下列两种组合情况考虑。

①第一种情况，均布活荷载（取0.7kN/m ² ）和雪荷载中的较大者与恒荷载组合。

②第二种情况，恒荷载加施工或检修集中荷载（施工或检修时人和工具的重量，沿板宽每隔1m考虑一个取值为1kN的集中荷载，作用于最不利位置上）。

按两种情况分别计算出最大弯矩后，选较大者进行配筋计算。由于最大弯矩产生在雨篷板根部，所以截面高度应取根部的板厚，钢筋应设置在板的上部。

（3）雨篷梁的设计　雨篷梁承受下列荷载，并在梁内产生各种相应的内力。

①雨篷梁兼作门过梁，承受着门过梁上砌体的重量，由于砌体的起拱作用，有一部分重量直接传给支座，而只有部分砌体重量作用在过梁上[详见《砌体结构设计规范》（GB 50003—2011）]，由此可以计算出弯矩和剪力。

②雨篷梁的自重作为均布荷载作用在梁上而引起弯矩和剪力。

③雨篷板传来的荷载，可根据雨篷板端部作用集中荷载以及雨篷板面作用均布荷载的两种情况，计算得到雨篷梁上承担的较大的均布荷载和扭矩，扭矩的分布在梁两端支座处最大，在跨中最小，如图2-36所示。

图2-36　雨篷梁上的扭矩

根据雨篷梁的受力特点，可按弯、剪、扭构件进行截面设计，确定所需纵向钢筋和箍筋的截面面积，并满足有关构造要求。

（4）雨篷抗倾覆验算

①荷载计算。作用在雨篷板上的荷载（包括恒荷载和活荷载），将绕 O 点产生倾覆力矩 M _0v 而雨篷梁自重、梁上部的砌体重量，以及可能有的压在雨篷梁上面的其他梁和板的荷载（不考虑活荷载）的总和将产生抗倾覆力矩 M _r0 。因此，雨篷的抗倾覆可按下式进行验算：

M _r ≥ M _0v （2-33）

式中 M _r ——雨篷的抗倾覆力矩设计值；

M _0v ——雨篷的荷载设计值对计算倾覆点产生的倾覆力矩。

②抗倾覆力矩设计值计算。雨篷的抗倾覆力矩设计值可按下式计算：

M _r =0.8 G _r （ l ₂ - χ ₀ ）　　（2-34）

式中 G _r ——雨篷的抗倾覆荷载，为雨篷梁尾端上部45°扩散角范围（其水平长度为 l ₃ ）内的砌体与楼面恒荷载标准值之和（如图2-37所示，图中 G _r 距墙外边缘的距离 l ₂ = l ₁ /2， l ₃ = l _n /2）；

χ ₀ ——计算倾覆点至墙外边缘的距离，当 l ₁ ≥2.2 h _b 时， χ ₀ =0.3 h _b ，且不大于0.13 l ₁ ；当 l ₁ <2.2 h _b 时， χ ₀ =0.13 l ₁ ；

l ₁ ——梁埋入砌体墙中的长度；

h _b ——梁的截面高度。

③荷载设计值对计算倾覆点产生的倾覆力矩 M _0v 可按下式计算（如图2-37所示）：

图2-37　雨篷抗倾覆验算简图

式中 F ——作用在雨篷板尾端的施工或检修集中荷载设计值，按沿板宽每隔2.5～3m考虑一个集中荷载；

q ——作用在雨篷板上的均布恒荷载和活荷载设计值总和。

2.4.2　手算实例详解

【例2-9】 某学校教学楼现浇梁式楼梯结构平面图如图2-38所示，剖面图如图2-39所示，踏步面层为30mm厚的水磨石地面，底面为20mm厚的混合砂浆抹底。混凝土为C25，梁内受力筋采用HRB335钢筋，其他钢筋用HPB300钢筋，采用金属栏杆。楼梯活荷载标准值为2.0kN/m ² 。试设计此楼梯。

图2-38　楼梯结构平面图

图2-39　楼梯结构剖面图

【解】 （1）计算踏步板TB ₁

根据结构平面布置，踏步板尺寸为150mm×300mm，底板厚 δ 为40mm，楼梯段的倾角为 α ，cos α =0.8944，取一个踏步为计算单元。

①荷载的计算。

a.恒载设计值。

b.活荷载设计值： q =1.4×2.0×0.3=0.84（kN/m）

c.荷载总设计值： p = q + g =1.57+0.84=2.41（kN/m）

以上荷载为垂直于水平方向分布的荷载。

d.垂直于斜面的荷载总设计值为： p '= p cos α =2.41×0.8944=2.16（kN/m）

②计算跨度。斜梁截面尺寸取150mm×350mm，则踏步板的计算跨度为：

l ₀ = l _n + b =1350+150=1500（mm）=1.5m

或 l ₀ =1.05 l _n =1.05×1350=1418（mm）≈1.42m

取较小值，即 l ₀ =1.42m。

③踏步板的跨中弯矩计算。

④承载力的计算。

按构造要求，每踏步下至少应配2 ф 6， A _s =2×28.3=56.6（mm ² ）>22.74mm ² ，因此选择每踏步下配2 ф 6，并且其中一根应弯起并伸入踏步梁，伸入长度应超过支座边缘 l _n /4=1350/4=337.5（mm），取350mm，如图2-40所示。分布筋选用 ф 6@300，在踏步板筋内侧垂直放置。