1.3　基本形体投影

任何复杂的立体都是由简单的基本几何体所组成。基本几何体可分为平面立体和曲面立体两大类。

1.3.1　平面立体的投影

平面立体的每个表面都是平面，例如棱柱、棱锥，由底平面和侧平面围成。立体的侧面称为棱面，棱面的交线称为棱线，棱线的交点称为顶点。平面立体的投影实际上就是画出组成立体各表面的投影。看得见的棱线画成实线，看不见的棱线画成虚线。

（1）棱柱

棱柱的棱线互相平行，上底面和下底面互相平行且大小相等。常见的棱柱包括三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱。

现以五棱柱为例说明棱柱的投影特征和作图方法。

①棱柱的投影

a.分析。如图1-23（a）所示，正五棱柱的顶面和底面平行于水平面，后棱面平行于正平面，各棱面均垂直于水平面。在这种位置下，五棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形——正五边形。五个棱面的水平投影分别积聚为五边形的五条边。正面和侧面投影上大、小不同的矩形分别是各棱面的投影，不可见的棱线画虚线。

b.作图。其步骤如下。

ⅰ. 先画出对称中心线，如图1-23（b）所示。

ⅱ. 再画出两个底面的三面投影。其 H 面投影重合，反映正五边形实形，是五棱柱的特征投影；它们的 V 面投影和 W 面投影均积聚为直线。

ⅲ. 画出各棱线的三面投影。 H 面投影积聚为正五边形的五个顶点，其 V 面投影和 W 面投影均反映实长，如图1-23（b）所示。

②棱柱表面取点、取线　由于组成棱柱的各表面都是平面，所以，在平面立体表面上取点、取线的问题，实际上就是在平面上取点、取线的问题。

判别立体表面上点和线可见与否的原则是：若点、线所在表面的投影可见，那么点、线的同面投影可见，否则不可见。

【例1-7】 如图1-24（a）所示，已知五棱柱棱面上点 M 的正面投影 m' ，求作另外两投影 m 、 m ″。

【解】 （1）分析

从图1-24（a）中可知： M 点的正面投影 m '可见，由此判断 M 点在五棱柱的左前面 ABCD 上，左前面为铅垂面， H 投影有积聚性，其 M 点 H 投影 m 必在该侧面的积聚投影上。

（2）作图

其过程如图1-24（b）所示。

①分别过 m '向下引垂线交积聚投影 abcd 于 m 点。

②根据已知点的两面投影求第三投影的方法，求得 m ″。

③判别可见性：因 M 点在左前侧面，则 m ″可见。

（2）棱锥

棱锥的棱线交于一点。常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。现以图1-25所示的三棱锥为例说明棱锥的三面投影。

①棱锥的投影

a.分析。三棱锥是由一个底面和三个侧面所组成。底面及侧面均为三角形。三条棱线交于一个顶点，三棱锥的底面为水平面，侧面△ SAC 为侧垂面。

b.作图。其步骤如下。

ⅰ. 画出底面△ ABC 的三面投影： H 面投影反映实形， V 、 W 面投影均积聚为直线段。

ⅱ. 画出顶点 S 的三面投影：将顶点 S 和底面△ ABC 的三个顶点 A 、 B 、 C 的同面投影两两连线，即得三条棱线的投影，三条棱线围成三个侧面，完成三棱锥的投影。

②棱锥表面上取点、取线　棱锥的棱面是一般位置平面，其三面投影没有积聚性，解题时首先确定所给点、线在哪个表面上，再按照表面所处的空间位置利用辅助线作图。

【例1-8】 如图1-26（a）所示，已知三棱锥棱面 OAB 上点 M 的正面投影 m' 和棱面 OAC 上点 N 的水平投影 n ，求作另外两个投影。

【解】 （1）分析

M 点所在棱面 OAB 是一般位置平面，其投影没有积聚性，必须借助在该平面上作辅助线的方法求作另外两个投影，如图1-26（b）所示。也可以在棱面 OAB 上过 M 点作 AB 的平行线为辅助线作出其投影。 N 点所在棱面 OAC 是侧垂面，可利用积聚性画出其投影。

（2）作图

其过程如图1-26（b）、图1-26（c）所示。

①过 m' 作 m'd' ∥ a'b' 交 o'a' 于 d' ，由 d' 作垂线得出 d ，过 d 作 ab 的平行线，再由 m' 求得 m 。

②由 m' 高平齐、宽相等求得 m ″，如图1-26（b）所示。

③ N 点在三棱锥的后面侧垂面上，其侧面投影 n″ 在 o″a ″上，因此不需要作辅助线，利用“高平齐”可直接作出 n '。

④再由 n' 、 n″ ，根据“宽相等”直接作出 n ，如图1-26（c）所示。

⑤判别可见性： m 、 n 、 m ″可见。

1.3.2　曲面立体的投影

常见的曲面立体是回转体，主要包括圆柱体、圆锥体、圆球体等。曲面立体是由曲面或曲面与平面围成的。

曲面立体投影应判别其可见性。曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮廓线。由于转向轮廓线是对某一投影面而言，所以它们的其他投影不应画出。

（1）圆柱体

圆柱体由圆柱面和上下两底面围成。圆柱面可看作由一条母线绕平行于它的轴线回旋而成，圆柱面上任意一条平行于轴线的直母线称为圆柱面的素线。现以图1-27（a）所示的圆柱为例说明圆柱体的三面投影。

①圆柱体的投影

a.分析。圆柱体由圆柱面、顶面、底面围成。圆柱也可看成是由无数条相互平行且长度相等的素线所围成。当圆柱轴线垂直于 H 面，底面、顶面为水平面，底面、顶面的水平投影反映圆的实形，其他投影积聚为直线段。

b.作图。其过程如图1-27（b）所示。

ⅰ. 用点画线画出圆柱体的轴线、中心线。

ⅱ. 画出顶面、底面圆的三面投影。

ⅲ. 画转向轮廓线的三面投影，该圆柱面对正面的转向轮廓线（正视转向轮廓线）为 AA ₁ 和 BB ₁ ，其侧面投影与轴线重合，对侧面的转向轮廓线（侧视转向轮廓线）为 DD ₁ 和 CC ₁ ，其正面投影与轴线重合。

ⅳ. 还应注意圆柱体的 H 面投影圆是整个圆柱面积聚成的圆周，圆柱面上所有的点和线的 H 面投影都重合在该圆周上。圆柱体的三面投影特征为一个圆对应两个矩形。

②圆柱表面上取点、取线　在圆柱体表面上取点，可直接利用圆柱投影的积聚性作图。

【例1-9】 如图1-28（a）所示已知圆柱面上的点 M 、 N 的正面投影，求其另两个投影。

【解】 （1）分析

M 点的正面投影 m '可见，又在点划线的左面，由此判断 M 点在左前半圆柱面上，侧面投影可见； N 点的正面投影（ n '）不可见，又在点划线的右面，由此判断 N 点在右后半圆柱面上，侧面投影不可见。

（2）作图

其过程如图1-28（b）所示。

①求 m 、 m″ 。过 m '向下作垂线交于圆周上一点为 m ；根据 y 坐标求出 m″ 。

②求 n 、 n ″。作法与 M 点相同。

【例1-10】 如图1-29（a）所示，已知圆柱面上的三点 ABC 的一个投影 a' 、 b 、 c″ ，求其另两个投影，并把 ABC 顺序连接起来。

【解】 （1）分析

圆柱面上的线除了素线外均为曲线，由此判断线段 ABC 是圆柱面上的一段曲线。 AB 位于前半圆柱面上， C 位于最右的转向轮廓线上，因此 a'b'c' 可见。为了准确地画出曲线 ABC 的投影，找出转向轮廓线上的点（如 D 点），把它们光滑连接即可。

（2）作图

其过程如图1-29（b）所示。

①求端点 A 、 C 的投影。利用积聚性求得 H 面投影 a 、 c ，再根据 y 坐标求得 a″ 、 c″ 。

②求侧视转向轮廓线上的点 D 的投影 d 、 d″ 。

③求中间点 B 的投影 b 、 b″ 。

④判别可见性并连线。 D 点为侧面投影可见与不可见分界点，曲线的侧面投影 c″b″d″ 为不可见，画成虚线。 a″d″ 为可见，画成实线。

（2）圆锥体

圆锥体由圆锥面和底圆围成。圆锥面可看作由一条母线绕与它斜交的轴线回旋而成，圆锥面上任意一条与轴线斜交的直母线称为柱锥面的素线。现以图1-30（a）为例说明圆锥的三面投影。

①圆锥体的投影

a.分析。圆锥体可看作是由无数条交于顶点的素线所围成，也可看作是由无数个平行于底面的纬圆所组成。当圆锥轴线垂直于 H 面，底面为水平面， H 面投影反映底面圆的实形，其他两投影均积聚为直线段。

b.作图。其过程如图1-30（b）所示。

ⅰ. 用点划线画出圆锥体各投影轴线、中心线。

ⅱ. 画出底面圆和锥顶 O 的三面投影。

ⅲ. 画出各转向轮廓线的投影。正视转向轮廓线的 V 面投影 o'a' 、 o'b' ，侧视转向轮廓线的 W 面投影为 o″c″ 、 o″d″ 。

ⅳ. 圆锥面的三个投影都没有积聚性。圆锥面三面投影的特征为一个圆对应两个三角形。

②圆锥体表面上取点、取线　由于圆锥面的三个投影都没有积聚性，求表面上的点时，需采用辅助线法。为了作图方便，在曲面上作的辅助线应尽量为直线（素线）或平行于投影面的圆（纬圆）。因此在圆锥面上取点的方法包括素线法和纬圆法两种。

【例1-11】 如图1-31所示，已知圆锥面上点 M 的正面投影 m' ，求 m 、 m″ 。

【解一】 素线法

（1）分析

如图1-31（a）所示， M 点在圆锥面上，一定在圆锥面的一条素线上，所以过锥顶 S 和点 M 作一素线 ST ，求出素线 ST 的各投影，根据点线的从属关系，即可求出 m 、 m″ 。

（2）作图

其过程如图1-31（b）所示。

①在图1-31（b）中连接 s'm '延长交底圆于 t '，在 H 面投影上求出 t 点，根据 t 、 t' 求出 t″ ，连接 st 、 s″t″ 即为素线 ST 的 H 面投影和 W 面投影。

②根据点线的从属关系求出 m 、 m ″。

【解二】 纬圆法

（1）分析

过点 M 作一平行于圆锥底面的纬圆。该纬圆的水平投影为圆。正面投影、侧面投影为一直线。 M 点的投影一定在该圆的投影上。

（2）作图

其过程如图1-31（c）所示。

①在图1-31（c）中，过 m '作与圆锥轴线垂直的线 e'f' ，它的 H 面投影为一直径等于 e'f' 、圆心为 s 的圆， m 点必在此圆周上。

②由 m' 、 m 求出 m″ 。 1eCq7i/GB5JGxc9bqftmri2LyiiAwgePnJKGqcG5N9FyYf3zV3nBvcEVeymEidbw