1.2　点、直线和平面的投影

1.2.1　点的投影

任何形体都是由若干表面所围成的，而表面都是由点、线等几何元素所组成的。所以，点是组成空间形体最基本的几何要素，要研究形体的投影问题，首先要研究点的投影。

（1）点的三面投影的形成

图1-6（a）是空间点 A 的三面投影的直观图，过 A 点分别向 H 、 V 、 W 面的投影为 a 、 a' 、 a″ 。

（2）点的三面投影规律

从图1-6（a）可看出： aa _x = Aa '= a″a _z ，即 A 点的水平投影 a 到 OX 轴的距离等于 A 点的侧面投影 a ″到 OZ 轴的距离，都等于 A 点到 V 面的距离；由 Aa' 和 Aa 确定的平面 Aaa _x a '为一矩形，所以 aa _x = Aa '（ A 点到 V 面的距离）， a'a _x = Aa （ A 点到 H 面的距离）。

同时，还可以看出：因为 Aa ⊥ H 面， Aa' ⊥ V 面，所以平面 Aaa _x a' ⊥ H 面和 V 面，则 OX ⊥ a'a _x 和 aa _x ；当两投影面体系按展开规律展开后， aa _x 与 OX 轴的垂直关系不变，所以 a'a _x 为一垂直于 OX 轴的直线，即 a'a ⊥ OX 。

同理可知： a'a″ ⊥ OZ ，如图1-6（b）所示。

综上所述，可得以下三条点的三面投影规律。

①一点的水平投影与正面投影的连线垂直于 OX 轴。

②一点的正面投影与侧面投影的连线垂直于 OZ 轴。

③一点的水平投影到 OX 轴的距离等于该点的侧面投影到 OZ 轴的距离，都反映该点到 V 面的距离。

由上面所述规律知，由已知点的两个投影便可求出第三个投影。

【例1-1】 已知点 A 的水平投影 a 和正面投影 a '，求其侧面投影 a ″（图1-7）。

【解】 ①过 a '作 OZ 轴的垂线。

②量取 aa _x = a ″ a _z ， a ″即为所求，如图1-8（a）所示。

用图1-8（b）所示的方法也可求得同一结果。

（3）特殊位置点的投影

若空间点处于投影面上或投影轴上，即为特殊位置点，如图1-9所示。

①如果点在投影面上，则点在该投影面上的投影与空间点重合，另两个投影均在投影轴上，如图1-9（a）中的点 A 和点 B 。

②如果点在投影轴上，则点的两个投影与空间点重合，另一个投影在投影轴原点，如图1-9（b）中的点。

（4）点的投影与坐标的关系

空间点的位置除了用投影表示以外，还可用坐标来表示。我们把投影面当作坐标面，把投影轴当作坐标轴，把投影原点当作是坐标原点，则点到三个投影面的距离便可以用点的三个坐标来表示，如图1-10所示。

设 A 坐标为（ x ， y ， z ），则点的投影与坐标的关系如下。

① A 点到 H 面的距离 Aa = Oa _z = a'a _x = a″a _y = z 坐标。

② A 点到 V 面的距离 Aa' = Oa _y = aa _x = a″a _z = y 坐标。

③ A 点到 W 面的距离 Aa″ = Oa _x = a'a _z = aa _y = x 坐标。

由此可知，已知点的三面投影就能确定该点的三个坐标；反之，已知点的三个坐标，就能确定该点的三面投影或空间点的位置。

【例1-2】 已知 B （4，6，5），求 B 点的三面投影。

【解】 作图步骤如图1-11所示。

①画出三轴及原点后，在 X 轴自 O 点向左量取4mm得 b _x 点，如图1-11（a）所示。

②过 b _x 引 OX 轴的垂线，由 b _x 向上量取 z =5mm，得 V 面投影 b' ，再向下量取 y =6mm，得 H 面投影 b ，如图1-11（b）所示。

③过 b' ，作水平线与 Z 轴相交于 b _z 并延长，量取 b _z b″ = b _x b ，得 W 面投影 b″ ，此时 b 、 b' 、 b″ 即为所求。在做出 b 、 b' 以后也可利用45°斜线求出 b ″，如图1-11（c）所示。

（5）两点的相对位置与重影点

①两点的相对位置　如图1-12所示，根据两点的投影，可以判断两点的相对位置。从图1-12（a）表示的上下、左右、前后位置对应关系可以看出：可以由正面投影或侧面投影判断上下位置，由正面投影或水平投影判断左右位置，由水平投影或者侧面投影判断前后位置。根据图1-12（b）中 A 、 B 两点的投影，可以判断出 A 点在 B 点的左、前、上方；反之， B 点在 A 点的右、后、下方。

②重影点及可见性的判断　当空间两点位于某一投影面的同一条投影线上时，则此两点在该投影面上的投影重合，这两点称为对该投影面的重影点。

图1-13（a）中， A 、 C 两点处于对 V 面的同一条投影线上，它们的 V 面投影 a' 、 c' 重合， A 、 C 两点就称为对 V 面的重影点。同理， A 、 B 两点处于对 H 面的同一条投影线上， A 、 B 两点就称为对 H 面的重影点。

当空间两点为重影点，其中必有一点遮挡另一点，这就存在着可见性的问题。图1-13（b）中， A 点和 C 点在 V 面上的投影重合为 a' （ c' ）， A 点在前遮挡 C 点，其正面投影 a' 是可见的，而 C 点的正面投影（ c' ）不可见，加括号表示（称前遮后，即前可见后不可见）。同时， A 点在上遮挡 B 点， a 为可见，（ b ）为不可见（称上遮下，即上可见下不可见）。同理，也有左遮右的重影状况（左可见右不可见），如 A 点遮住 D 点。

【例1-3】 求点 C 与点 D 的正面投影，说明它们的相对位置，并判别其可见性（图1-14）。

【解】 作图如图1-15（b）所示。

从图1-14可知，点 C 与点 D 的 X 坐标与 Z 坐标均相等，因此，这两点位于对 V 面的同一投射线上，它们是正面重影点，如图1-15（a）所示。点 D 距 V 面近，所以点 D 不可见。

1.2.2　直线的投影

直线一般用线段表示，在不考虑线段本身的长度时，也常把线段称为直线。从几何学得知，直线的空间位置可以由直线上任意两点的位置来确定。所以，直线的投影可由直线上两点在同一投影面上的投影（称为同面投影）相连而得。

直线按其与投影面相对位置的不同，可分为一般位置线、投影面平行线和投影面垂直线，后两种直线统称为特殊位置直线。

（1）一般位置直线

对三个投影面均倾斜的直线称为一般位置直线，又称倾斜线。

图1-16（a）为通常位置直线的直观图，直线和它在某一投影面上的投影所形成的锐角，称为直线对该投影面的倾角。对 H 面的倾角用 α 表示，对 V 、 W 面的倾角分别用 β 、 γ 表示。从图1-16（b）中看出，一般位置直线的投影特性为：

①线的三个投影仍为直线，但不反映实长；

②直线的各个投影都倾斜于投影轴，并且各个投影与投影轴的夹角，都不反映该直线与投影面的真实倾角。

（2）投影面平行线

只平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面的直线，称为某投影面的平行线。它有以下三种状况。

①水平线：与 H 面平行且与 V 、 W 面倾斜的直线，如表1-1中的 AB 直线。

②正平线：与 V 面平行且与 H 、 W 面倾斜的直线，如表1-1中的 CD 直线。

③侧平线：与 W 面平行且与 H 、 V 面倾斜的直线，如表1-1中的 EF 直线。

由表1-1各投影面平行线的投影特性，可概括出它们的共同特性为：投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，并且该投影与相应投影轴的夹角，反映直线与其他两个投影面的倾角；直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但是不反映实长。

（3）投影面垂直线

指只垂直于一个投影面，同时平行于其他两个投影面的直线。投影面垂直线也有三种状况。

①铅垂线只垂直于 H 面，同时平行于 V 、 W 面的直线，如表1-2中的 AB 线。

②正垂线只垂直于 V 面，同时平行于 H 、 W 面的直线，如表1-2中的 CD 线。

③侧垂线只垂直于 W 面，同时平行于 V 、 H 面的直线，如表1-2中的 EF 线。

综合表1-2中的投影特性，可知投影面垂直线的共同特性为：投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；直线在另两个投影面上的投影反映实长，并且垂直于相应的投影轴。

（4）直线投影的识读

识读直线的投影图，判别它们的空间位置，主要是依据直线在三投影面上的投影特性来确定。

【例1-4】 判别图1-17所示几何体三面投影图中直线 AB 、 CD 、 EF 的空间位置。

【解】 判别：图中直线 AB 的三个投影都呈倾斜，所以它为投影面的一般位置线；直线 CD 在 H 面和 W 面上的投影分别平行于 OX 轴和 OZ 轴，而在 V 面上的投影呈倾斜，所以它为 V 面的平行线（即正平线）；直线 EF 在 H 面上的投影积聚成一点，在 V 面、 W 面上的投影分别垂直于 OX 轴和 OY _W 轴，所以它为 H 面的垂直线（即铅垂线）。

1.2.3　平面的投影

（1）平面的表示法

平面的表示方法有以下几种，如图1-18所示。

平面与投影面之间按相对位置的不同，可分为：一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面，后两种统称为特殊位置平面。

（2）一般位置平面

与三个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面，也称倾斜面。图1-19所示为一般位置平面的投影，从中可知，它的任何一个投影，既不反映平面的实形，也无积聚性。因此，一般位置平面的各个投影，为原平面图形的类似形。

（3）投影面平行面

平行于某一投影面，因而垂直于另两个投影面的平面，称为投影面平行面。投影面平行面有以下三种状况。

①水平面：与 H 面平行，同时垂直于 V 、 W 面的平面，见表1-3中 P 平面。

②正平面：平行于 V 面，同时垂直于 H 、 W 面的平面，见表1-3中 Q 平面。

③侧平面：平行于 W 面，同时垂直于 V 、 H 的平面。见表1-3中 R 平面。

综合表1-3中的投影特性，可知投影平行面的共同特性为：投影面平行面在它所平行的投影面的投影反映实形，在其他两个投影面上投影积聚为直线，并且与相应的投影轴平行。

（4）投影面垂直面

垂直于一个投影面，同时倾斜于其他投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面也有三种状况，其状况如下。

①铅垂面：垂直于 H 面，倾斜于 V 、 W 面的平面，见表1-4中的 P 平面。

②正垂面：垂直于 V 面，倾斜于 H 、 W 面的平面，见表1-4中的 Q 平面。

③侧垂面：垂直于 W 面，倾斜于 H 、 V 面的平面，见表1-4中的 R 平面。

综合表1-4中的投影特性，可知投影面垂直面的共同特性为：投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，它与相应投影轴的夹角，反映该平面对其他两个投影面的倾角；在另两个投影面上的投影反映该平面的类似形，且小于实形。

【例1-5】 已知四边形 ABCD 的水平投影 abcd ，完成四边形 ABCD 的正面投影，如图1-20（a）所示。

【解】 （1）分析

四边 ABCD 是一平面图形，所以点 D 可以看作是三角形 ABC 确定的平面上的点。根据点在平面内的几何条件知，则点 D 一定在 ABC 平面的某条直线上。为此，可先过点 D 在已知平面内作一条辅助线 BD ，再根据点在直线上的从属性求得点 D 的正面投影 d '，最后连线即可。

（2）作图［如图1-20（b）所示］

①连接 AC 的同面投影 ac 、 a'c' ，得到三角形 ABC 的两面投影。

②连接 bd ， bd 与 ac 相交于 e ， BD 与 AC 是平面 ABC 的一对相交直线， e 为其交点。

③由 e 在 a'c' 上求得 e' 。

④连接 b'e' ，延长后得 d' 。

⑤连接 a'd' 、 c'd' ，完成四边形的正面投影。

【例1-6】 已知等腰三角形 ABC 的顶点 A ，该三角形为铅垂面，水平投影积聚成直线 bac ，高为25mm， β =30°，底边 BC 为水平线，长等于20mm，如图1-21所示，试过点 A 作等腰三角形的投影。

【解】 ①过 a 作 bc ，与 X 轴成30°且使 ba =ac=10mm。

②过 a '向正下方截取25mm，并作 BC 的正面投影 b'c' 。

③根据水平投影及正面投影，完成侧面投影，如图1-22所示。