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1.2 点、直线和平面的投影

1.2.1 点的投影

任何形体都是由若干表面所围成的,而表面都是由点、线等几何元素所组成的。所以,点是组成空间形体最基本的几何要素,要研究形体的投影问题,首先要研究点的投影。

(1)点的三面投影的形成

图1-6(a)是空间点 A 的三面投影的直观图,过 A 点分别向 H V W 面的投影为 a a' a″

图1-6 点的三面投影

(a)空间状况;(b)投影图

(2)点的三面投影规律

从图1-6(a)可看出: aa x = Aa '= a″a z ,即 A 点的水平投影 a OX 轴的距离等于 A 点的侧面投影 a ″到 OZ 轴的距离,都等于 A 点到 V 面的距离;由 Aa' Aa 确定的平面 Aaa x a '为一矩形,所以 aa x = Aa '( A 点到 V 面的距离), a'a x = Aa A 点到 H 面的距离)。

同时,还可以看出:因为 Aa H 面, Aa' V 面,所以平面 Aaa x a' H 面和 V 面,则 OX a'a x aa x ;当两投影面体系按展开规律展开后, aa x OX 轴的垂直关系不变,所以 a'a x 为一垂直于 OX 轴的直线,即 a'a OX

同理可知: a'a″ OZ ,如图1-6(b)所示。

综上所述,可得以下三条点的三面投影规律。

①一点的水平投影与正面投影的连线垂直于 OX 轴。

②一点的正面投影与侧面投影的连线垂直于 OZ 轴。

③一点的水平投影到 OX 轴的距离等于该点的侧面投影到 OZ 轴的距离,都反映该点到 V 面的距离。

由上面所述规律知,由已知点的两个投影便可求出第三个投影。

【例1-1】 已知点 A 的水平投影 a 和正面投影 a ',求其侧面投影 a ″(图1-7)。

图1-7 两点投影

【解】 ①过 a '作 OZ 轴的垂线。

②量取 aa x = a a z a ″即为所求,如图1-8(a)所示。

用图1-8(b)所示的方法也可求得同一结果。

图1-8 作图结果

(a)方法一;(b)方法二

(3)特殊位置点的投影

若空间点处于投影面上或投影轴上,即为特殊位置点,如图1-9所示。

①如果点在投影面上,则点在该投影面上的投影与空间点重合,另两个投影均在投影轴上,如图1-9(a)中的点 A 和点 B

②如果点在投影轴上,则点的两个投影与空间点重合,另一个投影在投影轴原点,如图1-9(b)中的点。

图1-9 投影面、投影轴上的点的投影

(a)空间状况;(b)投影图

(4)点的投影与坐标的关系

空间点的位置除了用投影表示以外,还可用坐标来表示。我们把投影面当作坐标面,把投影轴当作坐标轴,把投影原点当作是坐标原点,则点到三个投影面的距离便可以用点的三个坐标来表示,如图1-10所示。

图1-10 点的投影与坐标

(a)空间状况;(b)投影图

A 坐标为( x y z ),则点的投影与坐标的关系如下。

A 点到 H 面的距离 Aa = Oa z = a'a x = a″a y = z 坐标。

A 点到 V 面的距离 Aa' = Oa y = aa x = a″a z = y 坐标。

A 点到 W 面的距离 Aa″ = Oa x = a'a z = aa y = x 坐标。

由此可知,已知点的三面投影就能确定该点的三个坐标;反之,已知点的三个坐标,就能确定该点的三面投影或空间点的位置。

【例1-2】 已知 B (4,6,5),求 B 点的三面投影。

【解】 作图步骤如图1-11所示。

①画出三轴及原点后,在 X 轴自 O 点向左量取4mm得 b x 点,如图1-11(a)所示。

②过 b x OX 轴的垂线,由 b x 向上量取 z =5mm,得 V 面投影 b' ,再向下量取 y =6mm,得 H 面投影 b ,如图1-11(b)所示。

③过 b' ,作水平线与 Z 轴相交于 b z 并延长,量取 b z b″ = b x b ,得 W 面投影 b″ ,此时 b b' b″ 即为所求。在做出 b b' 以后也可利用45°斜线求出 b ″,如图1-11(c)所示。

图1-11 已知点的坐标,求点的三面投影

(a)自 O 点向左量取4mm得 b x 点;(b) V 面投影 b '和 H 面投影 b ;(c) W 面投影 b

(5)两点的相对位置与重影点

①两点的相对位置 如图1-12所示,根据两点的投影,可以判断两点的相对位置。从图1-12(a)表示的上下、左右、前后位置对应关系可以看出:可以由正面投影或侧面投影判断上下位置,由正面投影或水平投影判断左右位置,由水平投影或者侧面投影判断前后位置。根据图1-12(b)中 A B 两点的投影,可以判断出 A 点在 B 点的左、前、上方;反之, B 点在 A 点的右、后、下方。

图1-12 两点的相对位置

(a)空间状况;(b)作图

②重影点及可见性的判断 当空间两点位于某一投影面的同一条投影线上时,则此两点在该投影面上的投影重合,这两点称为对该投影面的重影点。

图1-13(a)中, A C 两点处于对 V 面的同一条投影线上,它们的 V 面投影 a' c' 重合, A C 两点就称为对 V 面的重影点。同理, A B 两点处于对 H 面的同一条投影线上, A B 两点就称为对 H 面的重影点。

当空间两点为重影点,其中必有一点遮挡另一点,这就存在着可见性的问题。图1-13(b)中, A 点和 C 点在 V 面上的投影重合为 a' c' ), A 点在前遮挡 C 点,其正面投影 a' 是可见的,而 C 点的正面投影( c' )不可见,加括号表示(称前遮后,即前可见后不可见)。同时, A 点在上遮挡 B 点, a 为可见,( b )为不可见(称上遮下,即上可见下不可见)。同理,也有左遮右的重影状况(左可见右不可见),如 A 点遮住 D 点。

图1-13 重影点的可见性

(a)空间状况;(b)投影图

【例1-3】 求点 C 与点 D 的正面投影,说明它们的相对位置,并判别其可见性(图1-14)。

图1-14 重影点的投影和可见性

【解】 作图如图1-15(b)所示。

从图1-14可知,点 C 与点 D X 坐标与 Z 坐标均相等,因此,这两点位于对 V 面的同一投射线上,它们是正面重影点,如图1-15(a)所示。点 D V 面近,所以点 D 不可见。

图1-15 作图结果

(a)重影点;(b)作图结果

1.2.2 直线的投影

直线一般用线段表示,在不考虑线段本身的长度时,也常把线段称为直线。从几何学得知,直线的空间位置可以由直线上任意两点的位置来确定。所以,直线的投影可由直线上两点在同一投影面上的投影(称为同面投影)相连而得。

直线按其与投影面相对位置的不同,可分为一般位置线、投影面平行线和投影面垂直线,后两种直线统称为特殊位置直线。

(1)一般位置直线

对三个投影面均倾斜的直线称为一般位置直线,又称倾斜线。

图1-16(a)为通常位置直线的直观图,直线和它在某一投影面上的投影所形成的锐角,称为直线对该投影面的倾角。对 H 面的倾角用 α 表示,对 V W 面的倾角分别用 β γ 表示。从图1-16(b)中看出,一般位置直线的投影特性为:

①线的三个投影仍为直线,但不反映实长;

②直线的各个投影都倾斜于投影轴,并且各个投影与投影轴的夹角,都不反映该直线与投影面的真实倾角。

图1-16 一般位置直线

(a)直观图;(b)投影图

(2)投影面平行线

只平行于一个投影面,倾斜于其他两个投影面的直线,称为某投影面的平行线。它有以下三种状况。

①水平线:与 H 面平行且与 V W 面倾斜的直线,如表1-1中的 AB 直线。

②正平线:与 V 面平行且与 H W 面倾斜的直线,如表1-1中的 CD 直线。

③侧平线:与 W 面平行且与 H V 面倾斜的直线,如表1-1中的 EF 直线。

由表1-1各投影面平行线的投影特性,可概括出它们的共同特性为:投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长,并且该投影与相应投影轴的夹角,反映直线与其他两个投影面的倾角;直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,但是不反映实长。

表1-1 投影面平行线的投影特性

(3)投影面垂直线

指只垂直于一个投影面,同时平行于其他两个投影面的直线。投影面垂直线也有三种状况。

①铅垂线只垂直于 H 面,同时平行于 V W 面的直线,如表1-2中的 AB 线。

②正垂线只垂直于 V 面,同时平行于 H W 面的直线,如表1-2中的 CD 线。

③侧垂线只垂直于 W 面,同时平行于 V H 面的直线,如表1-2中的 EF 线。

综合表1-2中的投影特性,可知投影面垂直线的共同特性为:投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点;直线在另两个投影面上的投影反映实长,并且垂直于相应的投影轴。

表1-2 投影面垂直线的投影特性

(4)直线投影的识读

识读直线的投影图,判别它们的空间位置,主要是依据直线在三投影面上的投影特性来确定。

【例1-4】 判别图1-17所示几何体三面投影图中直线 AB CD EF 的空间位置。

图1-17 直线的空间位置

【解】 判别:图中直线 AB 的三个投影都呈倾斜,所以它为投影面的一般位置线;直线 CD H 面和 W 面上的投影分别平行于 OX 轴和 OZ 轴,而在 V 面上的投影呈倾斜,所以它为 V 面的平行线(即正平线);直线 EF H 面上的投影积聚成一点,在 V 面、 W 面上的投影分别垂直于 OX 轴和 OY W 轴,所以它为 H 面的垂直线(即铅垂线)。

1.2.3 平面的投影

(1)平面的表示法

平面的表示方法有以下几种,如图1-18所示。

图1-18 几何元素表示平面

(a)不在同一直线上的三点;(b)一直线和直线外一点;(c)两相交直线

平面与投影面之间按相对位置的不同,可分为:一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面,后两种统称为特殊位置平面。

(2)一般位置平面

与三个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面,也称倾斜面。图1-19所示为一般位置平面的投影,从中可知,它的任何一个投影,既不反映平面的实形,也无积聚性。因此,一般位置平面的各个投影,为原平面图形的类似形。

图1-19 一般位置平面的投影

(a)直观图;(b)投影图

(3)投影面平行面

平行于某一投影面,因而垂直于另两个投影面的平面,称为投影面平行面。投影面平行面有以下三种状况。

①水平面:与 H 面平行,同时垂直于 V W 面的平面,见表1-3中 P 平面。

②正平面:平行于 V 面,同时垂直于 H W 面的平面,见表1-3中 Q 平面。

③侧平面:平行于 W 面,同时垂直于 V H 的平面。见表1-3中 R 平面。

表1-3 投影面平行面的投影特性

综合表1-3中的投影特性,可知投影平行面的共同特性为:投影面平行面在它所平行的投影面的投影反映实形,在其他两个投影面上投影积聚为直线,并且与相应的投影轴平行。

(4)投影面垂直面

垂直于一个投影面,同时倾斜于其他投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面也有三种状况,其状况如下。

①铅垂面:垂直于 H 面,倾斜于 V W 面的平面,见表1-4中的 P 平面。

②正垂面:垂直于 V 面,倾斜于 H W 面的平面,见表1-4中的 Q 平面。

③侧垂面:垂直于 W 面,倾斜于 H V 面的平面,见表1-4中的 R 平面。

表1-4 投影面垂直面的投影特性

综合表1-4中的投影特性,可知投影面垂直面的共同特性为:投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线,它与相应投影轴的夹角,反映该平面对其他两个投影面的倾角;在另两个投影面上的投影反映该平面的类似形,且小于实形。

【例1-5】 已知四边形 ABCD 的水平投影 abcd ,完成四边形 ABCD 的正面投影,如图1-20(a)所示。

图1-20 完成四边形的正面投影

(a)平面图形 ABCD ;(b)作图过程

【解】 (1)分析

四边 ABCD 是一平面图形,所以点 D 可以看作是三角形 ABC 确定的平面上的点。根据点在平面内的几何条件知,则点 D 一定在 ABC 平面的某条直线上。为此,可先过点 D 在已知平面内作一条辅助线 BD ,再根据点在直线上的从属性求得点 D 的正面投影 d ',最后连线即可。

(2)作图[如图1-20(b)所示]

①连接 AC 的同面投影 ac a'c' ,得到三角形 ABC 的两面投影。

②连接 bd bd ac 相交于 e BD AC 是平面 ABC 的一对相交直线, e 为其交点。

③由 e a'c' 上求得 e'

④连接 b'e' ,延长后得 d'

⑤连接 a'd' c'd' ,完成四边形的正面投影。

【例1-6】 已知等腰三角形 ABC 的顶点 A ,该三角形为铅垂面,水平投影积聚成直线 bac ,高为25mm, β =30°,底边 BC 为水平线,长等于20mm,如图1-21所示,试过点 A 作等腰三角形的投影。

图1-21 作等腰三角形的投影

【解】 ①过 a bc ,与 X 轴成30°且使 ba =ac=10mm。

②过 a '向正下方截取25mm,并作 BC 的正面投影 b'c'

③根据水平投影及正面投影,完成侧面投影,如图1-22所示。

图1-22 作图结果

(a)过 a '向正下方截取25mm,并作 BC 的正面投影 b'c' ;(b)根据水平投影及正面投影,完成侧面投影 sOOBQxBq3Fp3faysimB8WKnXULzVs00ORTER6bnncrajH696NIjCsMh46H79dzzk

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