§1.1　经典集合

模糊集合是模糊数学的理论基础。可以认为模糊集合是经典集合的推广和扩充，因此经典集合论是学习模糊数学理论的必备知识。这里只简单介绍模糊数学理论中涉及的集合论中的基本内容。

1.1.1　基本概念

集合是一个没有精确定义的基本数学概念，一般地说，集合是具有某种特定性质的事物的全体。常用大写英文字母 A ， B ， X ， Y 等表示。构成集合的事物称为集合的元素，常用小写英文字母 a ， b ， c ，…表示。本书有时称集合为普通集合或经典集合，这是为了区别于模糊集合。 a 属于 A ，记为 a ∈ A ， a 不属于 A ，记为 a ∉ A 。不含有任何元素的集合称为空集，记为∅。例如，“曲线上所有的点”，“教室里所用的桌子”，“方程组的所有解”……都是集合，而该曲线上的每个点都是“曲线上所有的点”这个集合中的元素、教室里的每张桌子都是“教室里所用的桌子”这个集合里的元素、方程组的任意解都是“方程组的所有解”这个集合里的元素。

根据集合中元素个数是否为有限多个，集合可分为有限集合和无限集合。只含有有限个元素的集合，称为有限集。有限集所含元素的个数称为集合的基数。包含无限个元素的集合称为无限集。以集合作为元素的集合称为集合族。

集合的表示法主要有以下两种。

（1）枚举法　如由15以内的质数组成的集合可表示为 A ={2，3，5，7，11，13}；自然数集可表示为 N ={1，2，3，…}。

（2）描述法　使 p （ x ）成立的一切 x 组成的集合可表示为{ x|p （ x ）}，如{ x |-∞< x <+∞}是实数集，简记为 R ；又如集合 B ={ x|x ² -1=0， x ∈ R }，实际上是由元素-1和1组成的集合。

所谓论域是指所论及对象的全体，它也是一个集合，常用 X ， Y ，…， U ， V ，…等表示，有时也称全集。给定论域 U ， U 中的某一部分元素构成的集合叫做 U 上的一个集合。论域是具有相对性的概念。例如，实数集对于整数集、有理数集而言是论域，而整数集对于偶数集、奇数集而言是论域。下面给出幂集的定义。

定义1.1 设有集合 A ， A 的所有子集所组成的集合称为 A 的幂集，记为 P （ A ），即 P （ A ）={ B|B A }。

设 A ={ a ， b }，则 A 的幂集为 P （ A ）={∅，{ a }，{ b }，{ a ， b }}。

由定义知，幂集是集合，集合里的元素是 A 的子集，由此可见，集合是具有相对性的。

A 是 U 的子集有两种记法： A U 或者 A ∈ P （ U ）。

经典集合具有两条最基本的属性：元素彼此相异及范围边界分明。给定论域 U ，以及 U 上的集合 A ，那么对于 U 中的任何元素 x ， x 与集合 A 的关系是：要么属于 A ，要么不属于 A ，二者必居其一且仅居其一。也就是说，经典集合的概念服从二值逻辑。

1.1.2　集合的关系和运算

集合的包含概念是集合之间的一种重要相互关系。

定义1.2 设集合 A 和 B ，若集合 A 的每个元素都属于集合 B ，即 x ∈ A ⇒ x ∈ B ，则称 A 是 B 的子集，记为 A B 或 B ⊇ A ，读作“ A 包含于 B 中”或“ B 包含 A ”。

显然 A A ，空集∅是任何集合 A 的子集，即∅ A 。又若 A B ， B C ，则 A C 。

定义1.3 设集合 A 和 B ，若 A B 且 B A ，则称集合 A 与集合 B 相等，记为 A = B 。

集合的运算主要有交、并、余等。

定义1.4 设 A ， B ∈ P （ X ）， X 是论域，规定：

A ∪ B ={ x|x ∈ A 或 x ∈ B }，称为 A 与 B 的并集；

A ∩ B ={ x|x ∈ A 且 x ∈ B }，称为 A 与 B 的交集；

A ^c ={ x|x ∈ A }，称为 A 的余集。

集合运算（∪，∩， ^c ）的性质：

定理 设 A ， B ， C ∈ P （ X ）， X 是论域，则有

幂等律： A ∪ A = A ， A ∩ A = A ；

交换律： A ∪ B = B ∪ A ， A ∩ B = B ∩ A ；

结合律：（ A ∪ B ）∪ C = A ∪（ B ∪ C ），（ A ∩ B ）∩ C = A ∩（ B ∩ C ）；

吸收律： A ∪（ A ∩ B ）= A ， A ∩（ A ∪ B ）= A ；

分配律：（ A ∪ B ）∩ C =（ A ∩ C ）∪（ B ∩ C ），（ A ∩ B ）∪ C =（ A ∪ C ）∩（ B ∪ C ）；

0-1律： A ∪ U = U ， A ∩ U = A ， A ∪∅= A ， A ∩∅=∅；

还原律：（ A ^c ） ^c = A ；

对偶律：（ A ∪ B ） ^c = A ^c ∩ B ^c ，（ A ∩ B ） c = A ^c ∪ B ^c ；

排中律： A ∪ A ^c = U ， A ∩ A ^c =∅。

这些性质均可由并、交及余集的定义直接推出，集合的并、交运算可推广到任意多个集合的并、交运算。

1.1.3　集合的特征函数

现在给出集合的特征函数的定义，它在把经典集合推广为模糊集合的过程中起到重要作用，是定义模糊集合的关键。

定义1.5 设 A ∈ P （ U ），具有如下性质的映射

χ _A ： U →{0，1}， ；称为集合 A 的特征函数。

由定义可知，集合 A 与其特征函数 χ _A （ x ）互相唯一确定。

下面是特征函数与集合之间的几个基本关系： U 为论域， x 为 U 中任意元素。

（1） A = U χ _A （ x ）≡1， A = ϕ χ _A （ x ）≡0；

（2） A B ∈ P （ U ） χ _A （ x ）≤ χ _B （ x ）；

（3） A = B ∈ P （ U ） χ _A （ x ）= χ _B （ x ）。

这个性质表明 U 的任一子集 A 完全由它的特征函数确定。

特征函数还满足：

χ _A∪B （ x ）= χ _A （ x ）∨ χ _B （ x ）；

χ _A∩B （ x ）= χ _A （ x ）∧ χ _B （ x ）；

χ _A c （ x ）=1- χ _A （ x ）。

此处“∨”是上确界“sup”或理解为“取大”，“∧”是下确界“inf”或理解为“取小”。 LvlbAsR7Ds/8W2PFIo9stxhXfrMT6tqXamMiyP7FOU1n7QQ3ajfB/yyn5hBtkCTl