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§1.1 经典集合

模糊集合是模糊数学的理论基础。可以认为模糊集合是经典集合的推广和扩充,因此经典集合论是学习模糊数学理论的必备知识。这里只简单介绍模糊数学理论中涉及的集合论中的基本内容。

1.1.1 基本概念

集合是一个没有精确定义的基本数学概念,一般地说,集合是具有某种特定性质的事物的全体。常用大写英文字母 A B X Y 等表示。构成集合的事物称为集合的元素,常用小写英文字母 a b c ,…表示。本书有时称集合为普通集合或经典集合,这是为了区别于模糊集合。 a 属于 A ,记为 a A a 不属于 A ,记为 a A 。不含有任何元素的集合称为空集,记为∅。例如,“曲线上所有的点”,“教室里所用的桌子”,“方程组的所有解”……都是集合,而该曲线上的每个点都是“曲线上所有的点”这个集合中的元素、教室里的每张桌子都是“教室里所用的桌子”这个集合里的元素、方程组的任意解都是“方程组的所有解”这个集合里的元素。

根据集合中元素个数是否为有限多个,集合可分为有限集合和无限集合。只含有有限个元素的集合,称为有限集。有限集所含元素的个数称为集合的基数。包含无限个元素的集合称为无限集。以集合作为元素的集合称为集合族。

集合的表示法主要有以下两种。

(1)枚举法 如由15以内的质数组成的集合可表示为 A ={2,3,5,7,11,13};自然数集可表示为 N ={1,2,3,…}。

(2)描述法 使 p x )成立的一切 x 组成的集合可表示为{ x|p x )},如{ x |-∞< x <+∞}是实数集,简记为 R ;又如集合 B ={ x|x 2 -1=0, x R },实际上是由元素-1和1组成的集合。

所谓论域是指所论及对象的全体,它也是一个集合,常用 X Y ,…, U V ,…等表示,有时也称全集。给定论域 U U 中的某一部分元素构成的集合叫做 U 上的一个集合。论域是具有相对性的概念。例如,实数集对于整数集、有理数集而言是论域,而整数集对于偶数集、奇数集而言是论域。下面给出幂集的定义。

定义1.1 设有集合 A A 的所有子集所组成的集合称为 A 的幂集,记为 P A ),即 P A )={ B|B A }。

A ={ a b },则 A 的幂集为 P A )={∅,{ a },{ b },{ a b }}。

由定义知,幂集是集合,集合里的元素是 A 的子集,由此可见,集合是具有相对性的。

A U 的子集有两种记法: A U 或者 A P U )。

经典集合具有两条最基本的属性:元素彼此相异及范围边界分明。给定论域 U ,以及 U 上的集合 A ,那么对于 U 中的任何元素 x x 与集合 A 的关系是:要么属于 A ,要么不属于 A ,二者必居其一且仅居其一。也就是说,经典集合的概念服从二值逻辑。

1.1.2 集合的关系和运算

集合的包含概念是集合之间的一种重要相互关系。

定义1.2 设集合 A B ,若集合 A 的每个元素都属于集合 B ,即 x A x B ,则称 A B 的子集,记为 A B B A ,读作“ A 包含于 B 中”或“ B 包含 A ”。

显然 A A ,空集∅是任何集合 A 的子集,即∅ A 。又若 A B B C ,则 A C

定义1.3 设集合 A B ,若 A B B A ,则称集合 A 与集合 B 相等,记为 A = B

集合的运算主要有交、并、余等。

定义1.4 A B P X ), X 是论域,规定:

A B ={ x|x A x B },称为 A B 的并集;

A B ={ x|x A x B },称为 A B 的交集;

A c ={ x|x A },称为 A 的余集。

集合运算(∪,∩, c )的性质:

定理 A B C P X ), X 是论域,则有

幂等律: A A = A A A = A

交换律: A B = B A A B = B A

结合律:( A B )∪ C = A ∪( B C ),( A B )∩ C = A ∩( B C );

吸收律: A ∪( A B )= A A ∩( A B )= A

分配律:( A B )∩ C =( A C )∪( B C ),( A B )∪ C =( A C )∩( B C );

0-1律: A U = U A U = A A ∪∅= A A ∩∅=∅;

还原律:( A c c = A

对偶律:( A B c = A c B c ,( A B c = A c B c

排中律: A A c = U A A c =∅。

这些性质均可由并、交及余集的定义直接推出,集合的并、交运算可推广到任意多个集合的并、交运算。

1.1.3 集合的特征函数

现在给出集合的特征函数的定义,它在把经典集合推广为模糊集合的过程中起到重要作用,是定义模糊集合的关键。

定义1.5 A P U ),具有如下性质的映射

χ A U →{0,1}, ;称为集合 A 的特征函数。

由定义可知,集合 A 与其特征函数 χ A x )互相唯一确定。

下面是特征函数与集合之间的几个基本关系: U 为论域, x U 中任意元素。

(1) A = U χ A x )≡1, A = ϕ χ A x )≡0;

(2) A B P U χ A x )≤ χ B x );

(3) A = B P U χ A x )= χ B x )。

这个性质表明 U 的任一子集 A 完全由它的特征函数确定。

特征函数还满足:

χ A∪B x )= χ A x )∨ χ B x );

χ A∩B x )= χ A x )∧ χ B x );

χ A c x )=1- χ A x )。

此处“∨”是上确界“sup”或理解为“取大”,“∧”是下确界“inf”或理解为“取小”。 QONgOSpYklIsJVlurH+t1ZfHzNwir1V5jHHFgGRtOKv3Q5C9yGYrVUFgnVqUMpgr

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