模糊数学基础及应用最新章节_阎少宏著

§2.2　模糊关系

客观世界中各个客体之间普遍存在着某种联系，本书第1章中提到的普通集合论中的“关系”就是这种联系的抽象结果。通常来说，普通的“关系”描述了客体间的“精确性”联系，而“模糊关系”则从更深刻的意义上表现了客体间更宽泛的内在联系。本节着重介绍模糊关系的定义、性质、运算和简单应用。

2.2.1　模糊关系的概念

一般来说，两个事物间要么存在某种关系，要么不存在这种关系，往往是泾渭分明的。然而在实际问题中，事物之间的很多关系很难用“有”或“无”来回答，如子女与父母的长相是否相像，有时就很难做出肯定或否定的判断。两者间的“相像”关系并非非此即彼，而是亦此亦彼，体现在相像程度上的差异。我们把具有程度上差异的关系叫做 F 关系。

普通关系定义为直积 U × V 的普通子集，很自然地可以考虑把 F 关系定义为 U × V 的 F 子集。相应地有：

定义2.12 设 R 是 U × V 上的一个 F 子集（简称 F 集），它的隶属函数

R ： U × V →[0，1]

确定了 U 中的元素 u 与 V 中的元素 v 的关系程度（关联度），则称 R 为从 U 到 V 的一个 F 关系。

可见， F 关系 R 由隶属函数 R ： U × V →[0，1]所刻画，即 U × V 上的 F 集确定了 U 到 V 的 F 关系。反之， F 关系也是 U × V 上的一个 F 集。因此，所有从 U × V 的 F 关系的集合可记为 F （ U × V ）。

由定义2.12可知， F 关系 R 的论域为 U × V 。

特别的， F （ U × U ）表示从 U 到 U 的 F 关系，即表示 U 中的二元 F 关系，也称之为 U 上的 F 关系，如图2.6所示。若 F 关系 R 的论域为 n 个集合的笛卡尔积 U ₁ × U ₂ ×…× U _n ，则称 R 为 n 元 F 关系。

图2.6　有限集到有限集的 F 关系示意

若 F 关系 R ， S 的论域都是 U × V ，（ u ， v ）∈ U × V ，当 R （ u ， v ）= S （ u ， v ）时，称为 R 与 S 相等，记为 R = S 。

例2.18 设论域 U 是所有人的集合， R 表示 U 上的相像关系，对 u ₁ ， u ₂ ∈ U ， R （ u ₁ ， u ₂ ）表示 u ₁ 与 u ₂ 的相像程度。若 R （ u ₁ ， u ₂ ）=0.7，说明 u ₁ 与 u ₂ 的相像程度达到70％。

例2.19 设 X 表示横坐标， Y 表示纵坐标，则 X × Y 构成平面 R ² ，如果建立 X 到 Y 上的 F 关系 R 为“ x 远远大于 y ”，其隶属函数可用下式表示。

可得 R （2，1）=1/101， R （11，1）=0.5， R （1001，1）=10000/10001。

2.2.2　模糊关系的运算与性质

由于 F 关系就是由直积构成的论域上的 F 集，所以 F 集的一些运算定义对它一样成立，在此我们不再做深入讨论，只简单叙述如下：

设 R ， R ₁ ， R ₂ 都是 U 到 V 上的 F 关系，对于（ u ， v ）∈ U × V ，若有

（1） R ₁ = R ₂ R ₁ （ u ， v ）= R ₂ （ u ， v ），称之为 R ₁ 等于 R ₂ ；

（2） R ₁ R ₂ R ₁ （ u ， v ）≤ R ₂ （ u ， v ），称之为 R ₁ 包含于 R ₂ ；

（3）（ R ₁ ∪ R ₂ ）（ u ， v ）= R ₁ （ u ， v ）∨ R ₂ （ u ， v ），称之为 R ₁ 与 R ₂ 的并；

（4） R ₁ ∩ R ₂ （ u ， v ）= R ₁ （ u ， v ）∧ R ₂ （ u ， v ），称之为 R ₁ 与 R ₂ 的交；

（5） R ^c （ u ， v ）=1- R （ u ， v ），称 R ^c 为 R 的补关系；

（6）若 R ₁ （ u ， v ）=0， R ₂ （ u ， v ）=1，分别称之为 U 到 V 的零关系和全称关系，本书用 O 和 E 表示。

特别的，两个 F 关系的并与交可以推广到任意一个 F 关系的并与交。如，设 T 为指标集，则，其中∨表示取上确界。，其中∧表示取下确界。

关于 F 关系的性质，不做证明，叙述如下：

（1）（ R ^c ） ^c = R ，表示 R 的补集的补集等于 R ；

（2） R ∪ E = E ， R ∩ E = E ；

（3） R ∪ O = R ， R ∩ O = O ；

（4） O R E ；

（5） R S ⇒ R ^c ⊇ S ^c 。

当所讨论的论域为有限集时， F 关系可用 F 矩阵来表示，下面给出 F 矩阵的具体内容。

定义2.13 设矩阵 R =（ r _ij ） _{m × n} ， r _ij ∈[0，1]，则称 R 为 F 矩阵， r _ij 为 F 矩阵的代表元素。

特别地，若满足 r _ij ∈{0，1}，则 R 退化为普通的布尔矩阵。

由定义可见， F 矩阵与普通矩阵的形状一样，唯一不同的地方是 F 矩阵的元素都要求是[0，1]中的数。

对于有限论域 U ={ u ₁ ， u ₂ ，…， u _m }， V ={ v ₁ ， v ₂ ，…， v _m }，若定义元素 r _ij = R （ u _i ， v _j ），表示 u _i 与 v _j 具有 F 关系的程度，则 F 矩阵 R =（ r _ij ） _m×n 恰好表示了从 U 到 V 的一个 F 关系，或者说一个 F 矩阵确定一个 F 关系。

例2.20 设 X ={ u ₁ ， u ₂ ， u ₃ }表示三个人构成的有限论域，在其上建立了“信任”关系 R ，可用如下 F 矩阵表示：

其中，矩阵元素 r _ij = R （ u _i ， u _j ）表示 u _i 对 u _j 的信任程度，如 r ₃₂ =0.3，表明 u ₃ 对 u ₂ 的信任程度为0.8，而 r ₂₃ =1，表明 u ₂ 对 u ₃ 的信任程度为1，是百分百的信任。这一 F 矩阵真实地反映了人与人之间的现实信任关系。

当矩阵元素 r _ij 只取0，1两个值时， R =（ r _ij ） _m×n 表示从 U 到 V 的一个普通关系。因此，普通关系是 F 关系的特殊情况。可见，一个 F 关系与一个 F 矩阵一一对应；一个普通关系与一个布尔矩阵一一对应。所以，在有限论域上， F 关系和 F 矩阵可看作一回事。如上例2.20， F 矩阵 R 也可看做 F 关系 R 。正因此，在有限论域的前提下 F 关系和 F 矩阵均可用 R 表示。

F 矩阵除了限制它的元素在闭区间［0，1］上外，它的运算与普通矩阵也有所不同。由于 F 关系是 U × V 上的 F 集，所以 F 矩阵的运算与 F 集的运算类似，因此有如下定义。

定义2.14 设 μ _m _× _n 表示所有 m 行 n 列的 F 矩阵构成的集合， R =（ r _ij ） _{m × n} ∈ μ _m _× n ， S =（ s _ij ） _m _× _n ∈ μ _m _× _n ，对于 i ， j ，规定：

（1） R = S r _ij = s _ij ，表示两个 F 矩阵相等；

（2） R S r _ij ≤ s _ij ，表示包含关系；

（3） R ∪ S =（ r _ij ∨ s _ij ） _m _× _n ∈ μ _m _× _n ，表示矩阵的并关系；

（4） R ∩ S =（ r _ij ∧ s _ij ） _m _× _n ∈ μ _m _× n ，表示矩阵的交关系；

（5） R ^c =（1- r _ij ） _m _× _n ∈ μ _m _× n ，表示补矩阵。

例2.21 设

则

对于 F 矩阵，可给出类似于 F 关系的并、交、余运算，具体运算律如下，其中 R ， S ， T ∈ μm × n ：

（1）交换律 R ∪ S = S ∪ R ， R ∩ S = S ∩ R ；

（2）结合律　（ R ∪ S ）∪ T = R ∪（ S ∪ T ），（ R ∩ S ）∩ T = R ∩（ S ∩ T ）；

（3）分配律　（ R ∪ S ）∩ T =（ R ∩ T ）∪（ S ∩ T ），（ R ∩ S ）∪ T =（ R ∪ T ）∩（ S ∪ T ）；

（4）幂等律 R ∪ R = R ， R ∩ R = R ；

（5）吸收律　（ R ∪ S ）∩ S = S ，（ R ∩ S ）∪ S = S ；

（6）复原律　（ R ^c ） c = R ；

（7）对偶律　（ R ∪ S ） c = R ^c ∩ S ^c ，（ R ∩ S ） ^c = R ^c ∪ S ^c 。

对于 F 矩阵，还有如下性质，其中 R ， S ， R ₁ ， R ₂ ， S ₁ ， S ₂ ∈ μm × n ：

性质1 E ∪ R = E ， E ∩ R = R ，0∪ R = R ，0∩ R =0，0 R E ，其中0= 分别称为零矩阵、全矩阵，这相当于有限论域上的零关系和全称关系。

性质2 R S R ∪ S = S ， R S R ∩ S = R ， R S R ^c ⊇ S ^c 。

性质3 若 R ₁ S ₁ ， R ₂ S ₂ ，则 R ₁ ∪ R ₂ S ₁ ∪ S ₂ ， R ₁ ∩ R ₂ S ₁ ∩ S ₂ 。

注意： R ∪ R ^c 不恒等于 E ， R ∩ R ^c 不恒等于0，即互补律不成立。

以上运算律和性质，可直接用定义给出证明。

F 矩阵的并、交运算可推广到更一般的情形。

设 T 是任意指示集，， t ∈ T ，则可定义它们的“并与交”运算：

性质4 ，。

证明：

因为 S =（ s _ij ） _m×n ，， t ∈ T ，由定义得

性质5 。

证明：

因为， t ∈ T ，由定义得

2.2.3　模糊关系的合成

作为数学领域的著名猜想，六度空间理论指出：你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个人，也就是说，最多通过五个中间人你就能够认识任何一个陌生人，这就是六度分割理论，也叫小世界理论。这一理论非常好地体现了关系的传递作用，当然 F 关系也具有这种性质，而这种传递性需要用到 F 关系的合成运算。

定义2.15 设 Q ∈ F （ U × V ）， R ∈ F （ V × W ），所谓 Q 与 R 的合成，是指 U 到 W 的一个 F 关系，记作。它具有的隶属函数为

其中， u ∈ U ， v ∈ V ， w ∈ W ，也称为 Q 与 R 的复合 F 关系。

特别的，当 R ∈ F （ U × U ）时，记

例2.22 设 R 为“ x 远大于 y ”的 F 关系，其隶属函数为

则合成关系应为“ x 远大于 y ”。求 R ² （ x ， y ）。

解：

根据定义，有，其中

（1）当 x ≤ y 时，对于 z ∈ R ，有 R ² （ x ， y ）=0，如图2.7所示。

图2.7　当 x ≤ y 时的情形

（2）当 x > y 时，对于 z ∈ R ，有 R ² （ x ， y ）= R （ x ， z ₀ ）= R （ z ₀ ， y ），如图2.8所示。

实际上，当 x > y 时的合成运算就是求使 R （ x ， z ）与 R （ z ， y ）相等的 z ₀ 。令 R （ x ， z ）= R （ z ， y ），即，解得，将 z = z ₀ 代入 R （ x ， z ）中，得

图2.8　当 x > y 时的情形

由于有限论域中的 F 关系可用 F 矩阵唯一的表示，故 F 关系的合成亦可用 F 矩阵的乘积来表示。

定理2.2 设 Q =（ qik ） _m×l ∈ F （ U × V ）， R =（ r _kj ） _l×n ∈ F （ V × W ），则 Q 与 R 的合成为

其中（ i =1，2，…， m ，j=1，2，…， n ）。

F 矩阵的合成也称为 F 矩阵的乘积或简称 F 乘法。它与普通矩阵乘法的运算过程基本一样，只需将矩阵元素间的先乘后加改为先取小再取大运算即可。

例2.23 设，，

则

其中 s ₁₁ =（0.3∧0.8）∨（0.7∧0.1）∨（0.2∧0.5）=0.3

s ₁₂ =（0.3∧0.3）∨（0.7∧0.8）∨（0.2∧0.6）=0.7

s ₂₁ =（1∧0.8）∨（0∧0.1）∨（0.9∧0.5）=0.8

s ₂₂ =（0.3∧1）∨（0∧0.8）∨（0.9∧0.6）=0.6

即

例2.24 设 F 关系 R ， S 分别表示某个家庭中子女与父母，父母与祖父母外貌相像的程度，可分别表示为如下 F 矩阵

则有

合成结果表示了孙子女与祖父母外貌相像的 F 关系，也就是说，在该家庭中孙子与祖父、祖母的相像程度分别为0.5和0.7，而孙女与祖父、祖母的相像程只有0.1。仔细分析例2.24，我们会发现 F 矩阵相乘时先取小后取大是有现实意义的，正因为如此，有人认为取大取小运算法则是模糊数学的“特别美妙之处”。

F 关系合成性质如下：

（1）结合律。

推论：

（2）0—1律，。

其中　0为零关系 0（ u ， v ）=0

I 为恒等关系

（3）或者。

推论： Q R ⇒ Q ⁿ R ⁿ 。

（4）对并运算的分配律

证明：

此处仅证明（4）

因为（ u ， w ）∈ U × W ，有

所以，

类似地，也成立，该性质可推广到无限多个并运算上去。

请读者思考一下，（4）式中的∪可否改成∩运算？（自证）

事实上，，。

例2.25 设 F 关系，，，分别求与，验证。

解：

因为，，则，，所以。

2.2.4　特殊的模糊关系

由于 F 关系也是一种 F 集，因此， F 集的 λ 截集的概念也可以推广到 F 关系和 F 矩阵中来。

定义2.16 设 R 是论域 U 上的 F 关系，记

R _α ={（ x ， y ）| R （ x ， y ）≥ α }　　（2.36）

为 R 的 α 截关系。如果 U 为有限论域，设 F 关系 R 对应的 F 矩阵为 R =（ r _ij ） _m×n ， α ∈[0，1]，记

R _α =（ r _ij （ α ）） _m×n （2.37）

其中

则称 R _α 为 R 的 α 截矩阵。

可见截关系满足截集的所有性质， R 的 α 截矩阵实际为布尔矩阵。

截矩阵具有下面的性质。设 R ， S 为论域 U 上的 α 截矩阵，有

（1） R S α ∈[0，1]， R _α S _α ；

（2）（ R ∪ S ） _α = R _α ∪ S _α ，（ R ∩ S ） _α = R _α ∩ S _α 。

证明略。

第1章讨论过的普通的等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的二元关系，利用等价关系可以对一个集合进行分类。同样的，当 F 关系具有自反性、对称性和传递性时，就成为一个 F 等价关系。 F 等价关系是某些 F 聚类方法的理论基础。

定义2.17 设 R 是论域 U 上的一个 F 二元关系，即 R ∈ F （ U × U ）。

（1） u ∈ U ，有 R （ u ， u ）=1，则称 R 具有 F 自反性；

（2） u ， v ∈ U ，有 R （ u ， v ）= R （ v ， u ），则称 R 具有 F 对称性；

（3）如果 R ² R ，则称 R 具有 F 传递性。

注意： 在有限论域下，判断 F 关系 R 是否具有自反性可根据 F 关系对应的 F 矩阵主对角线元素是否为1来判定。根据 F 矩阵是否为对称矩阵可判定 F 关系 R 是否具有对称性。

例2.26 设论域 U ={150，50，2}， R 表示“大得多”的 F 关系，且，问 R 是具有传递性的 F 关系吗？

解：

因为，所以 R 是具有传递性的 F 关系。

命题2.1 F 关系 R 具有自反性 α ∈[0，1]， R _α 是普通的自反关系。

证明：

设 R 具有自反性⇒ u ∈ U ， R （ u ， u ）=1≥ α （ α ∈[0，1]），即（ u ， u ）∈ R _α ⇒ R _α 是普通的自反关系。

反之， α ∈[0，1]， R _α 是普通的自反关系⇒ R 的1截集 R ₁ 具有自反性，⇒（ u ， u ）∈ R ₁ ⇒ R （ x ， x ）≥1，即 R （ x ， x ）=1。

命题2.2 F 关系 R 具有对称性 α ∈[0，1]， R _α 是普通的对称关系。

证明：

设 R 具有对称性，且（ u ， v ）∈ R _α ，则 R （ u ， v ）≥ α ，故 R （ v ， u ）= R （ u ， v ）≥ α ，由此可知（ v ， u ）∈ R _α ，因此 R _α 是普通的对称关系。

反之，若 α ， R _α 具有对称性，则对于 u ， v ∈ U ，令 α = R （ u ， v ），则（ u ， v ）∈ R _α ，从而（ v ， u ）∈ R _α ，于是 R （ v ， u ）≥ α = R （ u ， v ），类似可得 R （ u ， v ）≥ R （ v ， u ），故 R （ u ， v ）= R （ v ， u ）。

命题2.3 F 关系 R 具有传递性 u ， v ， w ∈ U ， R （ u ， w ）≥ R （ u ， v ）∧ R （ v ， w ）。

证明：

设 R 具有传递性，有

特别的，如果 U 是有限论域， R 为其上的一个 F 传递关系， R =（ r _ij ） _n×n ，此时的传递性可表述如下：

对于 u _i ， u _j ， u _k ∈ U ， R （ u _i ， u _k ）≥ R （ u _i ， u _j ）∧ R （ u _j ， u _k ）可转化为 i ， j ， k ， r _ik ≥ r _ij ∧ r _jk 。

命题2.4 F 关系 R 具有传递性 α ∈[0，1]， R _α 是普通的传递关系。

证明：

设 R 具有 F 传递性，若（ u ， v ）∈ R _α 且（ v ， w ）∈ R _α ，则 R （ u ， v ）≥ α ， R （ v ， w ）≥ α ，有 R （ u ， w ）≥ R （ u ， v ）∧ R （ v ， w ）≥ α ，即（ u ， w ）∈ R _α ， R _α 是普通的传递关系。

反之，设 α ∈[0，1]， R _α 是普通的传递关系，对于 u ， v ， w ，取 α = R （ u ， v ）∧ R （ v ， w ），则 R （ u ， v ）≥ α ， R （ v ， w ）≥ α ，即（ u ， v ）∈ R _α ，（ v ， w ）∈ R _α ，由 R _α 的传递关系得（ u ， w ）∈ R _α ，于是得 R （ u ， w ）≥ α = R （ u ， v ）∧ R （ v ， w ）。

定义2.18 设 R 是论域 U 上的一个 F 关系，若 R 具有 F 自反、对称、传递关系，则称 R 是一个 F 等价关系。若 R 仅具有 F 自反、对称关系，则称 R 是一个 F 相似关系。

例2.27 设 F 关系，0≤a≤1，验证R是一个F等价关系。

解：

R 是对称阵且主对角线元素全为1，故 R 具有模糊对称及自反性，又因为 R ² = = ，从而 R 是 F 等价关系。

定理2.3 F 关系 R 是 F 等价关系 α ∈[0，1]， R _α 是普通的等价关系。

证明：

结合命题2.1、命题2.3、命题2.4，可知对于 α ∈[0，1]， R _α 是普通的传递关系。

定理2.3表明，在有限论域上的 F 等价关系确定后，对给定的 α ∈[0，1]，便可相应得到一个普通等价关系 R _α ，于是由 R _α 便可决定一个 α 水平的分类。显然，不同的 α 对应着不同的分类，当 α 从1下降到0时，分类也随之变化，形成一个动态的图像。那么，由于 α 的变化而分出的类具有何种特征呢？这就是下面的定理2.4所要描绘的内容。

定理2.4 0≤ α < β ≤1，则 R _β 所分出的每一个类必然是 R _α 所分出的子类。

证明：

设 R _β 分类时 u ， v 分为一类，则 R _β （ u ， v ）=1，即 R （ u ， v ）≥ β ，因为 α < β ，所以有 R （ u ， v ）≥ α ，从而 R _α （ u ， v ）=1，即（ u ， v ）∈ R _α ，所以元素 u ， v 按 R _α 分类时也归为一类，即 R _β 所分出的类是 R _α 所分出的子类。

定理2.4指出， α 越大，分类结果越细。因此若要把问题分得细一些，只需增大截关系的水平 α 即可。

2.2.5　传递闭包

对于有限论域 U ， F 相似关系对应的 F 矩阵称之为 F 相似矩阵， F 等价关系对应的 F 矩阵称之为 F 等价矩阵。在实际应用中，通常只能获得具有自反和对称关系的相似矩阵，能否基于 F 相似矩阵对论域 U 进行分类呢？这一问题的关键点就是如何将 F 相似矩阵改造为 F 等价矩阵。下面先给出传递闭包的介绍，再利用传递闭包法完成 F 相似矩阵到 F 等价矩阵的改造。