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已知尺寸为 a 、 d 及角 α 。只要求出 r 、 r ′即可直接作展开图。求 r 和 r 的方法可分为图解法和计算法两种。
a.图解法。先画出角 β 等于已知 α 的1/2（ β = α /2），取 AA ′等于管外径的1/2，取 AC ′等于管内径的1/2。由点 A ′、 C ′引上垂线，与斜线得交点为 B 、 C ，即得出所求 r ， r ′，如图3-69（a）所示。
图3-69 两节圆管任意角度弯头展开图
b.计算法。计算式为
c.展开图画法。画水平线 DE 等于中心径展开长度。由 D 、 E 分别引对 DE 的直角线 D —4， E —4。取 D —4（ E —4）等于已知尺寸 a 的距离。12等分4-4，等分点为4、3、2、1、2、…、6、7、6、5、4。由各等分点分别作垂线。以点4为中心，以 r 、 r ′作半径画同心1/4圆周。3等分1/4圆周，等分点为1′、2′、3′、4′，4′、5′、6′、7′。由各等分点向左引水平线对应交点连成曲线，即得出所求展开图，如图3-69所示。
已知尺寸为 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 h 、 t 。异向两节圆管弯头实物投影如图3-70所示。由图可知，在主视图上管中心线表示实长，左视图下管中心线表示实长，因此须先求出辅视图，然后再作展开图。
图3-70 异向两节圆管弯头展开图
①辅视图的画法。作 B ′ C ″线与左视图 BC 平行且相等， BB ′、CC′垂直于BC，再由A引与BB的平行线，与以B′为中心，以主视图a作半径画圆弧得交点为A′。直线连接A′B′，则A′B′、B′C′即为两管的中心线，∠A′B′C′即为实际角。再用已知半径的距离引与中心线的对称平行线对应交点连线，即得出接合线EH，再由点A′、C′分别引对中心线的垂直线得交点为F、G、I、D，即完成辅视图。
②展开图画法。在 ID 延长线上截取 MN 等于中心径展开长度。由 M 、 N 引对 MN 的直角线4— M 、4— N 。取4— M 、4— N 等于辅视图 B ′ C ′。12等分4—4，等分点为4、5、6、7、6、…、2、1、2、3、4。由各等分点引对4-4垂直线，与由接合线点 E （里皮）、 B ′、 H （外皮）引与 ID 平行线对应交点为7′、4、1′。以点4为中心以7′—4、4—1′作半径画同心1/4圆周。分别3等分1/4圆周，等分点为1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′。由各等分点向下引与4—4平行线，与等分线对应交点连成曲线，即得出下管展开图。再用主视图 a 的距离引与4—4的平行线 M ′ N ′，则4— N ′— M ′—4即为异向两节圆管弯头展开图。
已知尺寸为 a 、 b 、 c 、 t 。
①椭圆等分的作法。由图3-71所示的断面图可知，一个近似椭圆形可以由4个圆弧构成。因此，作椭圆等分时则按圆弧分别来求。将断面图的4个组成椭圆的圆弧，各自分为4等分，等分点为1、2、3、…、8、9。其等分点均以中心径为准。
图3-71 两节椭圆管90°弯头展开图
②主视图接合线的求法。用已知尺寸画出主视图。由断面图中心径点9向左引水平线，与 A ′ H 里皮交点为9′。再由断面图中心径点1向左引水平线，与 B ′ I 外径交点为1′。连接9′— O ′、 O ′—1′，即为板厚处理后的接合线。
③展开图画法。在 KJ 延长线上截取5—5等于断面图中心径伸直长度，并照录等分点向左引水平线；由断面图中心径的等分点向左引水平线，与接合线9′— O ′、 O ′—1′相交，由各交点向上引与 JK 的平行线，与水平线对应交点连成曲线，即得出所求的展开图，如图3-71所示。
已知尺寸为 d 1 、 d 2 、 R 、 t 及角 α 。圆锥管两节任意角度弯头实物投影如图3-72所示。
图3-72 圆锥管两节任意角度弯头结构
①接合线的求法。先用已知尺寸画出弯头的中心线
T
1
T
2
、
T
2
T
3
。以
T
1
为中心取
CD
等于大头板厚中心径，以
T
3
为中心取
AB
等于小头板厚中心径。以
T
2
为中心、
r
为半径作圆。以直线分别连接点
A
、
B
、
C
、
D
与圆的切点得交点为
E
、
F
，
EF
即为所求接合线。再画出板厚。由图可以看出点
E
是外皮先接触，点
F
是里皮先接触，是和圆管弯头板厚处理相似的。将管Ⅱ
ABFE
掉转180°与管相接，即成为圆锥管，
EF
即为圆锥管的斜截线，由于板厚的影响产生出两条线
F
—3°、
E
—3°°。
②展开图画法。以 T 1 为中心按板厚中心径画半圆周。由4等分半圆周的等分点引上垂线与1—5得交点并与 O 1 连线，与 F —3°、 E —3得出交点向右引水平线与 O 1 —5得出交点。在以 O 1 为中心以 O 1 —5作半径画圆弧，截取3—3等于半周伸直长度的2倍，并照录各等分点与 O 1 连成直线，与以点 O 1 为中心 O 1 —5各点至 O 1 分别作半径画同心圆弧对应交点连成曲线， A 1 — A 2 —3°°— F — E —3°°为Ⅱ展开图。3°°— F — E —3°°—3—3即为Ⅰ展开图，如图3-73所示。
图3-73 圆锥管两节任意角度弯头展开图
已知尺寸为 a 、 l 、 d 、 b 、 t 、 R 及角 α 。首先用已知尺寸画主视图。由接合线点 G 1 、 G 、 G 2 和 E 引对 BC 的垂直线，得出 r 、 r ′、 C 的距离即为画展开图所需要的尺寸，而不必全部放出实样，如图3-74所示。
图3-74 三节圆管任意角度弯头展开图
如弯头很大时可不用放样，用计算法最为简便。计算式为
；
；
；
①管Ⅱ展开图画法。画水平线 AB 等于中心径展开长度，由 AB 引对 AB 的直角线 A —4、 B —4。取 A —4（ B —4）等于已知尺寸 b 的一半，以直线连接4—4，12等分4—4，等分点为4、3、…、5、4。以4为中心主视图 r 、 r ′作半径画同心1/4圆周。3等分两个1/4圆周，等分点为1′、2′、3′、4′和4′、5′、6′、7′。由各等分点向左引水平线与由4—4线各等分点所引垂线对应交点连成曲线，并在 AB 下边画对称曲线，得出Ⅱ展开图。
②管Ⅲ展开图画法。画 CD 等于中心径展开长度，由 C 、 D 引对 CD 的直角线 C —4、 D —4。取 C —4等于主视图 a ，由4向右引与 CD 的平行线对应交点为4，12等分4—4，等分点为4、5、…、3、4。以4为中心以 r 、 r ′作半径画同心1/4圆周。3等分两1/4圆周，等分点为1′、2′、3′、4′和4′、5′、6′、7′。由各等分点向左引水平线，与由4—4线各等分点所引垂线对应交点连成曲线，即得出所求管Ⅲ的展开图。
③卡样板的作法。画水平线1—2，由2引与水平线成α角的线2—3。以2为中心任意长度作半径画圆弧与1—2、2—3，得交点为4、5。分别以4、5为中心任意长度作半径画圆弧得交点为6，连接2—6，取主视图 c 的距离引与2—6对称的平行线，得与1—2、2—3的交点为7、8。1—7—8—3即为所求的卡样板。
已知尺寸为 a 、 b 、 c 、 d 、 h 、 R 、 t 。异向三节圆管弯头实物投影如图3-75所示。由A部放大图可知，管外径为 d ，板厚为 t ，半径为 R ，中间有一节连接管。
图3-75 异向三节圆管弯头展开图
管件在主视图和左视图都不能表示出实长和实角，根据变换图面的方法先用已知尺寸直接画出俯视图和辅视图（主视图和左视图可以不画）。首先画俯视图，作直角 ABC ，取 AB 等于已知尺寸 b ，取 BC 等于已知尺寸 a 。 AC 即为俯视图圆管弯头的中心线。再用已知半径画圆管断面和俯视图的外形。再画辅视图，作 A ′ D 线平行于 AC 且相等， AA ′、 CD 垂直于 AC ，在 CD 延长线上截取 DE 等于已知尺寸 c ，取 EF 等于已知尺寸 h ，以直线连接 A ′ E ，则角 A ′ EF 即为实角。用已知尺寸 R 的距离引与 A ′ E 、 EF 平行线交点为 O ′。以 O ′为中心 R 作半径画圆弧 A ′ F ，由 O ′分别作 A ′ E 、 EF 垂直线，得垂足为 A ′、 F 。4等分圆弧 A ′ F ，将各等分点为 O ′连线，并延长于 A ′ E 、 EF ，交点为 G 、 H 。直线连接 GH ，则 A ′ G 、 GH 、 HF 即为辅视图圆管中心线。再用已知圆管半径的距离引与中心线的对称平行线，对应交点连线，即得出辅视图的外形和接合线 G ′ G ″、 H ′ H ″。
①中间管展开图画法。在 O ′ E 延长线上截取3—3等于中心径展开长度。8等分3—3，等分点为3、4、…、2、3。由各等分点引对3—3的直角线，与由接合线点 H ′（外皮点）、 H 、 H ″（里皮交点）引与 OE 的平行线，对应交点为1′、 O 、5′。以 O 为中心以1′— O 、 O —5′作半径画两个同心圆1/4圆周。分别2等分1/4圆周，等分点为1′、2′、3′、4′、5′。由各等分点引与3—3的平行线与3—3线各等分点的垂线对应交点连成曲线，并在3—3上边画对称曲线，即完成所求的展开图。
②上、下管展开图画法。因为上下管大小相同，所以只求出一节展开图即可。在 F ′ F ″延长线上截取 JK 等于中心径展开长度。由 J 、 K 引对 JK 的直角线3— K 、 O — J 。由接合线点 H 引与 F ′ F ″的平行线，与3— K 、 O — J 交点为3、 O 。8等分3— O ，等分点为3、4、…、2、 O 。由各等分点引对3— O 的垂直线。由接合线点 H ′（外皮点）、 H ″（为里皮交点）引与 F ′ F ″的平行线对应交点为5′、1′。以 O 为中心1′— O 、 O —5′作半径画两个同心圆1/4圆周，分别2等分1/4圆周，等分点为1′、2′、3′、4′、5′。由各等分点引与3— O 的平行线，与3— O 线各等分点的垂线对应交点连成曲线，即得出所求的展开图。
已知尺寸为 a 、 b 、 c 、 d 、 h 、 t 。三节组合的蛇形弯管实物投影如图3-76所示。管Ⅰ和管Ⅲ在俯视图和主视图上都是水平的，只有管Ⅱ是倾斜的。因此，须作出蛇形管的辅视图，求出接合的实角才能作展开图。
图3-76 三节组合的蛇形弯管展开图
①辅视图画法。首先用已知尺寸画出主视图的中心线 AB 、 BC 、 CD 。然后应用三角法求出管Ⅱ中心线的实长。由 B 引对 BC 的直角线 BJ ，取 BJ 等于俯视图已知尺寸 a ，直线连接 CJ 即为管Ⅱ中心线的实长。再画辅视图。作 A ′ B ′线平行于 AB 且相等， AA ′、 BB ′垂直于 AB 。由 C 引与 BB ′平行线，与以 B ′为中心、管Ⅱ中心线实长作半径画圆弧交点为 C ′。过 C ′向右引水平线，与由主视图 D 向上引与 CC ′的平行线，交点为 D ′。则 A ′ B ′、 B ′ C ′、 C ′ D ′即为辅视图的中心线。再用圆管已知半径的距离引与中心线对称的平行线，即得辅视图的外形和接合线 E ′ F ′、 EF 。
②管Ⅰ展开图画法。画 OH 等于辅视图 C ′ D ′。由 O 、 H 引对 OH 的直角线 O —3、 H — G 。取 O —3和 H — G 等于中心径展开长度。8等分 O —3，等分点为 O 、2、…、4、3。通过各等分点画水平线。以 O 为中心、辅视图 r 、 r ′作半径画两个同心圆1/4圆周，分别2等分1/4圆周，等分点为1′、2′、3′和3′、4′、5′。由各等分点向下引对 O —3的平行线，与水平线对应交点连成曲线，即得出管Ⅰ展开图。管Ⅲ展开图和管Ⅰ展开图画法相同。
③管Ⅱ展开图画法。画水平线 O — O ′等于辅视图 B ′— C ′，在由 O 、 O ′引对 OO ′的直角线，取 O —3和 O ′—3等于中心径展开长度。8等分 O —3，等分点为 O 、2、…、4、3。过各等分点画水平线。以 O 为中心、辅视图 r 、 r ′作半径画两个同心圆1/4圆周，分别2等分1/4圆周，等分点为1′、2′、3′和3′、4′、5′。由各等分点向下引与 O —3的平行线与水平线对应交点连成曲线。再8等分 O ′—3，等分点为 O ′、4、…、2、3。通过各等分点画水平线，以 O ′为中心以 r 、 r ′作半径画两个1/4圆周，分别2等分1/4圆周，等分点为1′、2′、3′和3′、4′、5′。由各等分点向下引与 O ′—3的平行线，与水平线对应交点连成曲线，即完成所求管Ⅱ的展开图。
已知尺寸为 a 、 b 、 d 、 t 、 R 及角90°。四节圆管90°弯头实物投影如图3-77所示。由主视图可见，弯头的首尾两节相加等于中间一节（ b =2 a ），中间两节大小相同，因此画展开图形时只求出两节即可。画水平线 OA ″，由 O 引与水平线成15°角的斜线 OB ″，在水平线上取 OA 等于已知尺寸 R ， A ′ A ″等于已知直径 d ，由 A ′、 A 、 A ″引上垂线，与 OB ″得交点为 B ′、 B 、 B ″。 B ′ B ″即为中间管的接合线。由接合线 B ′、 B 向右引与 A ′ A ″的平行线，得出 r ′、 r 、 c 的距离，即为作展开图的必需尺寸。
图3-77 四节圆管90°弯头展开图
①尾节展开图画法。画水平线 AB 等于中心径展开长度，由 A 、 B 引对 AB 的直角线 A —4、 B —4。取 A —4等于已知尺寸 a ，由4向右画水平线，对应交点为4。连接点4、4，12等分4—4，等分点为4、3、…、5、4。由各等分点引4—4的垂线，与以点4为中心以 r 、 r ′作半径画两个同心1/4圆周。3等分两1/4圆周，等分点为1′、2′、3′、4′和4′、5′、6′、7′。由各等分点向左引与 AB 的平行线，对应交点连成曲线，即得出所求尾节（首节）展开图。
②中间节展开图画法。在 A —4延长线上取 C —4′，等于已知尺寸6的一半，由 C 、4′向右引与 AB 的平行线与 B —4延长线对应交点为 D 、4。12等分4′—4，等分点为4′、5、…、3、4。由各等分点引4′—4的垂线，与在1′— D 线上照录首尾节展开图上1′— B 线上各点向左引与 CD 的平行线，对应交点连成曲线，并在 CD 下边画对称曲线，得出中间管的展开图。
③卡样板的作法。画直角1—2—3，取1—2和2—3分别等于
，由点1、3分别取
c
的距离得点4、5。以点4、5分别为中心、2
c
作半径画圆弧得交点为6。直线连接4—6和5—6，即得出所求的卡样板。
已知尺寸为 a 、 b 、 c 、 d 1 、 d 2 、 R 、 t 及角 α 。圆锥管三节任意角度弯头结构如图3-78所示。
图3-78 圆锥管三节任意角度弯头结构
①接合线的求法。根据已知尺寸 a + b + c 和 d 1 、 d 2 ，画出圆锥管如图3-79所示。由点 O 2 、 O 4 作垂直于7— A 的线，得出 r 2 、 r 4 。再画弯头的主视图如图3-80所示。以点 O 2 、 O 4 分别为中心、以 r 2 、 r 4 分别为半径作圆，由点 A 、 B 、1、7分别与圆的切点连线，再连两个圆的公切线得出交点连成直线，即得出所求接合线。将弯头的内外侧线 a 1 、 a 2 、 b 1 、 b 2 、 c 1 、 c 2 移到图3-79所示的圆锥管两侧，画出锥管的斜截线。
图3-79 圆锥管展开图
图3-80 圆锥管三节任意角度弯头主视图
②展开图画法。由6等分半圆周的等分点引上垂线，与7—1得出交点，各交点与 O 6 连线与斜截线得出交点，由各交点向右引水平线与 O 6 —1得出交点。在以点 O 6 为中心、以 O 6 —1为半径所画圆弧上截取4—4等于 O 1 圆周长，并照录各等分点与 O 6 连线，与以 O 6 为中心、以1— O 6 上各点至 O 6 的距离分别为半径画同心圆弧相交，将对应交点连成曲线，即得出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ展开图。
已知尺寸为 d 1 、 d 2 、 R 、 t 及角90°。圆锥管四节90°弯头实物投影如图3-81所示。
图3-81 圆锥管四节90°弯头投影图
①接合线的求法。先用已知尺寸画出主视图的中心线，如图3-82所示。将中心线伸直，再用已知大、小头直径画出圆锥管，如图3-83所示。由点 O 2 、 O 3 、 O 4 分别垂直于 A —1即得出 r 2 、 r 3 、 r 4 。在图3-82上以点 O 2 、 O 3 、 O 4 分别为中心、以 r 2 、 r 3 、 r 4 分别作半径画圆。由圆的切点分别连成切线，直线连接内、外切线的交点，即得出所求接合线。将各节内、外侧线移到图3-83所示的圆锥管两侧线上，得出各点连成斜截线。
图3-82 圆锥管四节90°弯头主视图
图3-83 圆锥管四节90°弯头展开图
②展开图画法。延长两侧线求出锥的顶点 O 6 。由6等分半圆周的等分点引与 O 6 —4平行线，与7—1得出交点，与 O 6 连线，与各斜线得出交点。由各斜线的交点分别引与7—1平行线，与 O 6 —7得出交点。在以点 O 6 为中心，以 O 6 —7作半径画圆弧上截取4—4，等于 O 1 圆周长，并照等分点与 O 6 连线，与以点 O 6 为中心以 O 6 —7各点至 O 6 分别作半径画同心圆弧对应交点连成曲线，即得出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ展开图。