4.5　空间解析几何

4.5.1　曲面及方程

空间中的一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。平面是最简单的曲面，又称为一次曲面，在一般情况下，如果曲面 S 与三元方程

F （ x ， y ， z ）=0　　（4-1）

有以下关系：

①曲面 S 上任一点的坐标（ x ， y ， z ）均满足方程（4-1）。

②任一坐标满足方程（4-1）的点都在曲面 S 上，则称 F （ x ， y ， z ）=0为曲面 S 的方程，也称曲面 S 为方程 F （ x ， y ， z ）=0的图形。

有时，空间曲线也可用下面形式的方程

Z = f （ x ， y ）　　（4-2）

来表示，这里 f （ x ， y ）是关于自变量 x ， y 的二元函数。例如：对于球面方程 x ² + y ² + z ² = R ² ，可解出

及

显然，前者是上半球面的方程，而后者是下半球面的方程。

4.5.2　柱面及旋转曲面

（1）柱面

平行于定直线 L 并沿定曲线 C 移动的直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。柱面方程见表4-16。

（2）旋转柱面

曲线绕定直线旋转一周得到的曲面叫做旋转曲面，曲线叫做母线，定直线叫做旋转曲面的旋转轴。见表4-17。

4.5.3　二次曲面

三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面，对这类曲面形状的探讨，采用截痕法，即用平行于坐标轴的平面与曲面相截来考察相应交线的形态，从而得到曲面的全貌。在此直接给出曲面方程。如表4-18所示。