4.4　平面解析几何

平面解析几何在宏程序运用中应用非常广泛。其中二次曲线尤为重要，二次曲线的定义是：从动点 P 到定点 F 的距离 PF 与到定直线 l 的距离 PH 之比为定值 ε ，即 PF : PH = ε 。如果 ε ＜1，则动点 P 的轨迹为椭圆。如果 ε =1，则动点 P 的轨迹为抛物线。如果 ε ＞1，则动点 P 的轨迹为双曲线。

定点 F 称为焦点，定比 ε 称为离心率，定直线 l 称为准线。椭圆和双曲线称为有心二次曲线，抛物线称为无心二次曲线。

现在从点开始，进行一一探讨。

4.4.1　点

点 P 、 Q 、 M 的坐标分别为（ x ₁ ， y ₁ ），（ x ₂ ， y ₂ ），（ x ₀ ， y ₀ ）。

①

②定比分点公式 。

③过 P 、 Q 两点的直线斜率为 。

4.4.2　直线与圆

①直线方程见表4-5。

②两条直线关系见表4-6。

③圆的方程见表4-7。

4.4.3　曲率与曲率半径

曲率表示曲线弯曲程度的量。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

曲率的倒数就是曲率半径。圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。曲率半径越大，圆弧越平缓；曲率半径越小，圆弧越陡。曲率半径的倒数就是曲率。曲率 k =（转过的角度／对应的弧长）。当角度和弧长同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。而对于圆，曲率不随位置变化。

例： 设一工件内轮廓为一椭圆（见图4-1），现要用砂轮磨削其内表面，问选择多大的砂轮比较合适？

设椭圆方程为 ）。由上可知椭圆在（± a ，0）的曲率最大，即曲率半径最小，且为

显然，砂轮半径不超过 时，才不会产生过量磨损，或有的地方磨不到的问题。

4.4.4　椭圆

椭圆方程见表4-8。

4.4.5　双曲线

双曲线方程见表4-9。

4.4.6　抛物线

抛物线方程见表4-10。

4.4.7　摆线

半径为 a 的圆沿定直线滚动时，（动圆）圆周上的定点描出的轨迹线称为摆线。摆线方程见表4-11。

半径为 a 的圆沿半径 b 的定圆在其外侧滚动时，（动圆）圆周上的定点描出的轨迹线称为外摆线。外摆线方程见表4-12。

半径为 a 的圆沿半径 b 的定圆在其内侧滚动时，（动圆）圆周上的定点描出的轨迹线称为内摆线。内摆线方程见表4-13。

4.4.8　渐开线

将缠在圆柱上的线解开时，线的端点描出的轨迹线称为圆的渐开线。渐开线方程见表4-14。

4.4.9　螺线

螺线包括阿基米德螺线、抛物螺线、双曲螺线、对数螺线四种。表4-15中图为阿基米德螺线，其他螺线与其相似。