针对一个系统进行控制，其前提是对该系统建立数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此可对系统进行性能分析。

建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列出相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。

1.2.1　控制系统的时域数学模型

时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。

以线性元器件为例，对基本的电阻电容电感无源网络建立微分方程，如图1-2所示。

设回路电流为 i （ t ），由基尔霍夫定律可写出回路方程为：

消去中间变量 i （ t ），便得到描述网络输入、输出关系的微分方程为：

上述方程即为该无源网络的时域数学模型。

以弹簧拉力系统为例，图1-3是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统，当质量为 m 的物体在外力 F （ t ）作用下发生位移时，其位移的时域运动方程可做如下分析。设质量 m 相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为 x （ t ）、d x （ t ）/d t 、d ² x （ t ）/d t ² 。由牛顿运动定律有：

式中， F ₁ （ t ）= f d x （ t ）/d t 是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，大小与运动速度成正比例； f 是阻尼系数； F ₂ （ t ）= Kx （ t ）是弹簧的弹力，其方向与运动方向相反，其大小与位移成正比例， K 是弹性系数。将 F ₁ （ t ）和 F ₂ （ t ）代入式（1-3）中，经整理后即得该系统的微分方程为：

上述两个例子完整解释了控制系统的时域数学模型及系统微分方程的建立过程。

综合上述实例分析，建立系统时域模型微分方程的方法可分为如下几步：

①根据元件的工作原理及在系统中所起到的作用，确定输入量和输出量；

②分析元件所遵循的物理或者化学规律，列出相应的微分方程；

③消除中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程即可得到系统的时域数学模型。

1.2.2　控制系统的复数域数学模型

微分方程的建立可以直观地描述系统的动态性能，然而当系统结构发生变化时，需要重新建立微分方程，不利于对系统进行分析和设计。

用拉普拉斯变换求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域内的数学模型——传递函数。传递函数可以表征系统的动态性能，还可以研究系统结构变化对系统性能的影响。

（1）传递函数的定义

我们将线性定常系统的传递函数定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

当系统微分方程列出来后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法和拉普拉斯变换法（以下简称拉氏变换）两种，拉氏变换将复杂的微分运算简化成代数运算，降低了控制系统微分方程求解的难度，下面对无源网络的微分方程进行拉氏变换，从而引出传递函数。

在零初始条件下对微分方程中各项进行拉氏变换，并令

可以得到 s 的代数方程：

由此可以得到传递函数：

对任意一个线性定常系统而言，可用如下微分方程进行描述：

式中， C （ t ）是系统输出量； r （ t ）是系统输入量； a _i （ i =1，2，…， n ）和 b _i （ j =1，2，…， m ）是与系统结构和参数有关的常系数。设 r （ t ）和 C （ t ）及其各阶导数在 t =0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令

得到 s 的代数方程为

于是，由定义得系统传递函数为

式中

（2）传递函数的性质

①传递函数是复变量的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质， m ≤ n ，且所有系数均为实数。

②传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。因此，可以用图1-4的方块图来表示一个具有传递函数 G （ s ）的线性系统。

图中表明，系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数联系起来。

③传递函数与微分方程有相通性。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。故在零初始条件下，将微分方程的算符d/d t 用复数 s 置换，便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量 s 用算符d/d t 置换便得到微分方程。例如，由传递函数

可得 s 的代数方程：（ a ₀ s ² + a ₁ s + a ₂ ） C （ s ）=（ b ₁ s + b ₂ ） R （ s ）。

在零初始条件下，用微分算符d/d t 置换 s ，便得到相应的微分方程

④传递函数 G （ s ）的拉氏反变换是脉冲响应 g （ t ）。脉冲响应（也称脉冲过渡函数） g （ t ）是系统在单位脉冲 δ （ t ）输入时的输出响应。

传递函数是在零初始条件下定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义：一是指输入量在 t ≥0时才作用于系统，因此，在 t =0时，输入量及其各阶导数均为零；二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即输出量及其各阶导数在 t =0时的值也为零，现实的工程控制系统多属于此类情况。因此，传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应。 Dcqx/YNhToExN8HkNdAeSQ1sOHg2q1nJUn3UPuPTIBsTzWc4F2waotBmcMtEobuR