下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
线性系统的分析方法很多，本书仅针对时域分析的基础进行介绍，以此作为选矿自动化的入门知识。
时域分析法是一种直接在时域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。本章主要研究线性控制系统性能分析的时域法。
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。
（1）动态过程
动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦以及其他一些原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数选择情况，动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。显然，一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的。动态过程除提供系统稳定性信息外，还可以提供响应速度及阻尼情况等信息。这些信息用动态性能描述。
（2）稳态过程
稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间 t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述。
稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。
（1）动态性能
通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。
描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间 t 的变化状况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。对于图1-12所示单位阶跃响应 h （ t ），其动态性能指标通常如下：
图1-12 单位阶跃响应
延迟时间 t d ：指响应曲线第一次达到其终值一半所需的时间。
上升时间 t r ：指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。
峰值时间 t p ：指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
调节时间 t s ：指响应到达并保持在终值±5%内所需的最短时间。
超调量 σ ：指响应的最大偏离量 h （ t p ）与终值 h （∞）的差与终值 h （∞）比的百分数，即
若 h （ t p ）< h （∞），则响应无超调。超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。
上述五个动态性能指标，基本上可以体现系统动态过程的特征。在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。通常用 t r 或 t p 评价系统的响应速度；用 σ 评价系统的阻尼程度； t s 是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出，除简单的一阶、二阶系统外，要精确确定这些动态性能指标的解析表达式是很困难的。
（2）稳态性能
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
本节仅对最简单的一阶系统进行相应的分析，分别讨论一阶系统（无滞后）在各种输入扰动下的响应特性，在此基础上能够更加深入地理解线性系统的响应特性。
（1）一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃函数表达式为： r （ t ）=1（ t ）
其复数域表达式为：
根据一阶系统的模型可以得到其阶跃响应为：
推导过程参加拉普拉斯变化与一阶微分方程的通解。
系统阶跃响应曲线如图1-13所示。
图1-13 一阶系统的单位阶跃响应曲线
一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上升到终值 h ss =1的曲线，图1-13表明，一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个特点：
①可用时间常数 T 去度量系统输出量的数值。
②响应曲线的斜率初始值为1/ T ，并随时间推移而下降。
根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为：
显然，峰值时间 t p 和超调量 σ 都不存在。
由于时间常数 T 反映系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小，其响应过程越快；反之，惯性越大，响应越慢。
（2）一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲函数表达式为： r （ t ）= δ （ t ） t =0
其复数域表达式为：1
根据一阶系统的模型可以得到其脉冲响应为：
如果令 t 分别等于 T 、2 T 、3 T 和4 T ，可绘制出一阶系统的单位脉冲响应曲线，见图1-14。
图1-14 一阶系统的单位脉冲响应曲线
由图1-14可见，一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线。若定义该指数曲线衰减到其初始的5%所需的时间为脉冲响应调节时间，则仍有 t s =3 T ，故系统的惯性越小，响应过程的快速性越好。
工程上无法得到理想单位脉冲函数，因此常用具有一定脉宽 b 和有限幅度的矩形脉动函数来代替。为了得到近似度较高的脉冲响应函数，要求实际脉动函数的宽度 b 远小于系统的时间常数 T ，一般规定 b <0 . 1 T 。
（3）一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡函数表达式为： r （ t ）= t t ≥0
其复数域表达式为：
根据一阶系统的模型可以得到其斜坡响应为：
式中，（ t - T ）为稳态分量； T e - t/T 为瞬态分量，上式表明一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间滞后 T 的斜坡函数，因此在位置上存在稳态跟踪误差，其值正好等于时间常数 T ；一阶系统单位斜坡响应的瞬态分量为衰减非周期函数。
根据斜坡响应表达式绘出的一阶系统的单位斜坡响应曲线如图1-15所示。
图1-15 一阶系统的单位斜坡响应曲线
比较图1-13和图1-15可以发现一个现象：在阶跃响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间减小，最后趋于零，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的初始斜率也最大；在斜坡响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间增大，最后趋于常值 T ，惯性越小，跟踪的准确度越高，而在初始状态下，初始位置和初始斜率均为零。
（4）一阶系统的单位加速度响应
单位加速度函数表达式为：
其复数域表达式为：
根据一阶系统的模型可以得到其斜坡响应为：
系统的跟踪误差为
上式表明，跟踪误差随时间推移增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
单位脉冲函数与单位阶跃函数的一阶导数及单位斜坡函数的二阶导数的等价关系，对应有单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数及单位斜坡响应的二阶导数的等价关系。这个等价对应关系表明：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
（1）位式调节
位式调节应用于对象惯性极大、纯滞后较小、控制要求不高、允许有持续小幅度波动的场合，如矿浆泵池液位等。带有上下限检测仪表都可方便地实现位式调节。位式调节结构简单，使用方便，但被控量总是在波动，不宜在控制要求稍高的场合使用。
位式调节方式很多，这里仅以有中间区的双位调节为例。其调节规律：当偏差 e ≥ Δ 时，阀门全开，当 e ≤- Δ 时，阀门全关；当- Δ < e < Δ 时，阀门保持原来位置。
（2）线性调节
线性调节规律一般指比例、积分、微分调节规律（即PID调节规律），是目前应用最广泛的基本调节规律。
①比例调节规律（P控制） P控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。控制器的输出仅与被控量与设定值之间的误差成比例关系。
如图1-16所示， r （ t ）表示系统被控量设定值， c （ t ）表示被控量的采样值；
图1-16 比例调节规律
K p 称为比例系数，在控制系统的调节过程中，加大控制器增益 K p ，可以减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性。因此，在系统校正设计中，很少单独使用比例控制规律。
②比例-微分（PD）控制规律 具有比例-微分控制规律的控制器，称为PD控制器，其输出 m （ t ）与输入。 e （ t ）的关系如下式所示：
式中， τ 为微分时间常数； K p 与 τ 都是可调的参数。PD控制器如图1-17所示。
图1-17 比例-微分调节规律
比例-微分调节规律的含义在于在调节过程中，不仅考虑到采样值与设定值之间的误差大小，同时还考虑到了该误差的变化速度，若误差逐渐减小，但是减小速度较快，则会造成过度调节。
③积分（I）控制规律 具有积分控制规律的控制器，称为I控制器。I控制器的输出信号 m （ t ）与其输入信号 e （ t ）的积分成正比，即：
其中 K i 为可调比例系数。由于I控制器的积分作用，当其输入信号 e （ t ）消失后，输出信号 m （ t ）有可能是一个不为零的常量。该控制规律的含义是对执行部件的调节只与某段时间内的误差积分成比例关系，这种控制方式的缺陷在于当某时间点调节完成且没有误差时，系统还会根据之前一段时间的误差对系统继续调节，该方式会导致系统的不稳定，因此很少单独使用该控制规律。
④比例-积分（PI）控制规律 具有比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器，其输出信号 m （ t ）同时成比例地反映输入信号 e （ t ）及其积分，即：
式中， K p 为可调比例系数； T i 为可调积分时间常数。PI控制器如图1-18所示。
该控制方式主要用来改善系统的稳态性能。
⑤比例-积分-微分（PID）控制规律 具有比例-积分-微分控制规律的控制器，称为PID控制器。这种组合具有三种基本规律各自的特点，其运动方程为：
PID控制器如图1-19所示。
图1-18 比例-积分调节规律
图1-19 比例-积分-微分调节规律
在工业过程控制系统中，广泛使用PID控制器。PID控制器各部分参数的选择，在系统现场调试中最后确定。通常积分部分提高系统的稳态性能；微分部分改善系统的动态性能。