2.4　直线的投影方法

直线常以线段的形式表示。直线的投影可由直线上任意两点的投影确定，分别连接两点在同一投影面的投影（简称同面投影）即可得到直线的投影。在三面投影体系中，根据直线对投影面的相对位置可分为一般位置直线与特殊位置直线等两类。

（1）一般位置直线

一般位置直线是指在三面投影体系中与三投影面均倾斜的直线，也称倾斜线，如图2-4-1所示。倾斜线与它在某投影面上投影之间的夹角即为它与该投影面的倾角（直线与 H 面的倾角以 α 表示；与 V 面的倾角以 β 表示；与 W 面的倾角以 γ 表示）。显然，一般位置直线的三个投影均小于直线实长，它在 H 面的投影 ab = AB · cosα ；在 V 面的投影 a ^′ b ^′ = AB · cosβ ；在 W 面的投影 a ^″ b ^″ = AB · cosγ 。由此可知，当某一倾角为零时其直线的投影长度等于直线实长；当某一倾角为90°时其直线的投影长度等于零（积聚为一点）。而一般位置直线的投影既不能反映直线实长也无积聚性，其投影均为直线段，三投影与相应轴的夹角也不反映直线与投影面的倾角。

（2）特殊位置直线

特殊位置直线是指投影面平行线和投影面垂直线。投影面平行线是指平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线。在三投影面体系中的投影面平行线有三种：水平线，平行于 H 面的直线；正平线，平行于 V 面的直线；侧平线，平行于 W 面的直线。水平线、正平线与侧平线的投影特征可归纳投影面平行线的投影特征，即投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映实长，且反映与另两投影面的倾角；在另两投影面上的投影平行于相应的投影轴。

投影面垂直线指垂直于一个投影面而与另两个投影面平行的直线。在三投影面体系中投影面垂直线有三种：铅垂线，垂直于 H 面的直线；正垂线，垂直于 V 面的直线；侧垂线，垂直于 W 面的直线。铅垂线、正垂线与侧垂线的投影特征可得到投影面垂直线的投影规律，即投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在另两投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映直线实长。

（3）倾斜线的实长及其与投影面的倾角

如图2-4-2所示，斜线的各投影均不反映其实长及与投影面的倾角。但只要利用空间线段与其投影之间的几何关系就可以用图解的方法求得其实长和倾角。线段 AB 与它的各面投影、及投射线可构成三个直角三角形，其中斜边均为直线 AB 的实长，而直角三角形的斜边与投影长所形成的直角边之间的夹角即为 AB 相对于投影面的倾角，如 α 、 β 、 γ 。因此欲求线段的实长或倾角，只需作出其中某一个直角三角形即可，只要有直线段的两投影即可作出能反映线段实长和倾角 α 之直角三角形实形，用这种方法求得倾斜线的实长及其与投影面的倾角称为直角三角形法。求倾斜线的实长及其与 V 面的倾角 β 或与 W 面的倾角 γ 其原理相同，作图方法类似（但应注意求不同倾角所用的投影不同）。当用直角三角形法求线段的实长及其对某投影面的倾角时应以线段在该投影面上的投影长度为一直角边，以线段两端点至该投影面的距离差为另一直角边，斜边与投影长度的夹角即为空间直线对该投影面的倾角。

（4）直线上的点

点与直线是从属关系。当点在直线上时点的投影必在直线的同面投影上，点的水平投影在直线的水平投影上，点的正面投影在直线的正面投影上，点的侧面投影在直线的侧面投影上，且符合点的投影规律。直线上的点分割线段之比等于其投影分线段同面投影之比（等比关系），可利用定比关系求直线上的点。

（5）两直线的相对位置

两直线的相对位置有四种情况，即平行、相交、交叉、垂直。若两直线平行则同面投影平行（反之，若两直线的同面投影平行则空间的两直线平行）。两直线相交必有交点，因此，两直线相交其同面投影相交且投影的交点连线垂直于相应的投影轴。反之，若同面投影相交且交点连线垂直于相应投影轴则两直线在空间也相交。既不平行又不相交的两直线称交叉二直线（也称异面线），交叉二直线的投影有可能在某投影面上平行，但不可能在三投影面上都平行，交叉二直线的投影也可能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴，交叉二直线投影的交点是交叉二直线上两个点的重影，因此交叉两直线投影的交点不符合点的投影规律（即连线不与投影轴垂直）。两直线垂直有两种情况，即相交垂直或交叉垂直，在一般情况下，无论哪种垂直情况在投影图中都不反映直角，但当两直线同时平行某投影面时，在它们所平行的投影面上反映直角。如，当两直线中的其中一直线平行某投影面时，在该直线所平行的那个投影面上两直线的投影反映为直角。交叉垂直二直线的投影具有同样的结果，此种两直线垂直的投影特征称为直角定则。 vbb+bfzTGTTiEaVX3Z3ECHyMEmH20SU9yW5UhZ+AUgR6kMlMbUBrdzQy9/VDocr2