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磨课是新课程教学提倡的一种校本研修方式，也是促进教师专业成长的重要途径。磨课，一定要“见人”，教学只有基于学生，以学定教，顺学而导，才能准确定位目标，学生才会由被动转向主动，课堂才会由沉闷转向活跃，真实的学习、深度的学习才可能在课堂发生，课堂才能更理性、更饱满。
本案例内容是人教版四年级下册第五单元“三角形”中的第二课时。教学内容是理解并掌握三角形的内角和是180°，并能应用这一结论解决相关问题。如何让学生经历“猜想—验证—得出结论”的学习过程，归纳三角形的内角和是180°，体会转化、推理、极限等数学思维方法，培养大胆质疑、动手操作、合作交流的能力是本节课的重要任务。在这样的任务驱动下，笔者对两次执教的过程做了细致的记录与分析，现把两次磨课过程简要介绍如下。
师：什么叫三角形的内角和呢？你能结合黑板上的三角形说一说吗？
师：同学们猜一猜，三角形三个内角和是多少度？
师：研究三角形的内角和，只研究这个锐角三角形行不行？（学生反对）你有什么好办法？
生：我们可研究锐角、钝角、直角三角形就可以了。
材料袋里的三种不同的三角形，以小组为单位验证。
不管什么类型三角形全班惊人的都是180°。
师：还有其他的方法验证吗？
因为前面给学生铺垫的方法很少，仅一个小组想到了把三角形折成平角的方法。
于是，教师只有安排学生按照教材上所介绍的方法进行“折叠”实验。教师巡回指导，确保每个学生都能实验成功。
练习1.分别出示锐角、钝角、直角三角形其中的两个内角，计算出第3个内角的度数。
练习2.讨论：一个三角形中最多有几个直角？几个钝角？为什么？
练习3.课件出示两个完全一样的三角形，如果把这两个三角形拼成一个四边形，这个四边形的内角和是多少度了？如果拼成一个大的三角形，这个大三角形的内角和是多少度了？
师：拼成四边形为什么不减少180°，而拼成一个大三角的内角和为什么又减少了180°，减少的180°少在哪里了？
学生顿时语塞，部分学生开始搞混，开始说正确的同学居然出现倒戈现象。
感悟： 先让学生猜测三角形的内角和是多少，度量是容易想到的验证方法，因度量误差而难以得到确切的结论，从而激发学生寻找更为有效的折、拼验证方法。但在实际操作时，各种不同的三角形测量结果惊人的都是180度。而后，因为跳过对学生思维启发的过程，学生找不到其他验证方法，最终不得不由教师“包办代替”。在练习环节中，预设的核心问题是：两块同样的三角板拼成的一个大三角形或四边形的内角和分别是多少度？学生会在180°和360°不同答案上碰撞，碰撞的结果是学生进一步认识三角形的内角和是一个普遍规律，不会因三角形的大小而改变，不因拼、折等图形变换而改变。这样，既深化了认知，又积累了思维活动经验，更渗透了“变中有不变”的数学思想。但因为前面学生内角和的概念不强，同时没有经过静心思考，动手操作的过程来培养空间观念的意识，学生出现了答案不肯定的现象。同时，整节课的教学中虽然也重视体现知识的形成过程，但学生总体没有探究的欲望和主动性，课堂气氛越来越低落。
课前准备一个熟的鸡蛋。
师：你能想办法把这个鸡蛋立在讲台上吗？
同学兴趣高涨，从失败到把鸡蛋靠在粉笔盒旁，再到打破鸡蛋等多种方法完成任务。
师：有时候，我们为了达成目标，可以打破原有的规则，改变原来物体的形状和位置。
（1）师：什么叫三角形内角和？你能结合大屏幕这个三角形来说一说吗？
（2）师：你能在三角形上，按序号∠1、∠2、∠3标出它的三个角内角吗？
这样既熟悉内角和概念，又为拼，撕三角形内角做上标记。
（1）师：研究一个问题可以从特殊的或者熟悉的情况开始，今天我们就从特殊的直角三角形开始研究。三角尺这两个直角三角形还记得它们的内角分别是多少度吗？
师：能算出内角和吗？
（2）请同学们仔细地观察，这两个三角形的内角和有什么共同特征呢？
生1：三角尺上的这两个三角形的内角和是180°。
师：其中这两个锐角的和，又有什么共同点了？
生2：它们的锐角的和是90°。
师：按你的意思如果把这两个锐角合起来拼在一起会怎样了？动画演示。
师：刚才通过计算我们研究了这两个直角三角形内角和是180度。其他直角三角形的内角和是多少度呢？
师：猜想是学习研究的开始，有了大胆的猜想，下面我们还要做什么？
生：验证。
师：请同学们拿出准备好的直角三角形，以发挥大家的智慧，在小组中合作验证。
有了前面的引导，有的小组通过测量、计算的方法验证，也有小组把两个锐角折成一个直角，还有小组把三个内角撕、拼成了一个平角的方法验证，每种方法孩子们都进行了激烈的思维碰撞。
师：刚才折一折或者撕下来拼的方法有什么相同点？
渗透用旧知解新知的转化思想。
师：刚才我们用各种办法，验证了直角三角形的内角和是180°，你还有什么猜想？接下来你还想验证什么？
生：锐角三角形和钝角三角形的内角和会是180°吗？
合作验证后分别交流展示验证过程。
板书：所有三角形内角和都是180度。
师：刚才我们的研究因为时间关系，研究的三角形个数较少，我们来看看更多的三角形。演示“几何画板”分别拉动直角、钝角、锐角三角形的过程。（软件分别标出每次的内角及内角和）
通过观察让学生明白不管三角形的形状、大小怎么变化，它的内角和永远不变。
感悟： 在这次教学中，应用不完全归纳推理法，从特殊的直角三角形到一般直角三角形，再到一般三角形。另外，对于验证方法，基于学生除了量一量，而其他方法却很难打开思维的现状，课前谈话时通过“不破不立”的游戏，给学生以启发，并在直角三角形中观察两个锐角的和有什么共同点，给学生第二次启发，打开学生思维，所以学生在第二次验证时想出多种验证方法。在教学知识的同时，还注重渗透数学思想，让学生经历猜想、验证、得出结论、并应用结论解决数学问题的过程；在学习过程中，让学生感悟运用转化思想；借助几何画板演示，理解三角形的内角和为什么是180°，体会变与不变、极限的思想，加深学生对三角形的内角和本质的把握。同时，以问题一条线，串起一节课，每一个思维过程的开始都是一个迷惑、疑难或纷乱的情境，结束是一个澄清、统一和解决的情境，让学生得到制胜和愉快的直接体验。
分别求出指定角度数。
（1）已知三角形两个角度数。
（2）直角三角形，已知一个锐角度数。
（3）等腰三角形，已知一个底角度数。
（4）出示等边三角形。
师：拿出两个一样的三角形，这两个三角形内角和分别是？
（1）师：如果把他们合成一个大三角形，内角和是多少度了？
师：一个三角形180°，两个合在一起不是360°吗？还有180°到哪去了？你能拼一拼然后告诉同学们吗？
（2）师：如果把这两个三角形拼成一个四边形，你觉得这个四边形内角和会是多少度了？
师：奇怪，怎么这次又没有少180°了？你能拼一拼然后告诉同学们吗？
同学们，这节课你们经历了猜想—验证—得出结论的过程，并能运用结论解决数学问题。这个四边形的内角和是360°，那么其他四边形的内角和是多少度呢？五边形，六边形，甚至是十边形的内角和又是多少度了，相信你们能用今天所学的知识解决。
感悟： 两次执教，采用了不同的设计方法，第一次执教带来的遗憾，促使备课组的教师重新审视教材，思考如何深度理解教材特别是理清教材中知识间的逻辑关系；在分析学生学习的心理和已有知识经验的基础上，思考如何尊重教材，基于学生设计富有挑战性的数学活动。以饱满演绎和谐课堂，使学生在体验中学习，在活动中思考，发展了学生的数学思维和问题意识，体验到学习数学的乐趣，经历课堂的美好，这正是“新美课堂”饱满的追求。
（撰稿：蒋成羽）