大家常说，数学是科学的语言，或至少是物理科学的语言。显而易见的，想要确切描述物理定律，只能使用数学方程式，无法诉诸日常书写或口语的文字。但是只把数学当成一门语言，对这个学科全然不公平，因为语言这个字眼让人有错误的印象，以为数学除了挑挑叙述的毛病并稍微改正之外，就清清楚楚、了无新意。

但这其实谬误之极。虽然数学家在数千年的历史过程中，为数学打造了坚实的基础，但今天的数学仍然兴盛与活跃如昔。数学并不是静止稳定的知识体系，而是充满活力、不断在演变中的科学，和其他科学一样，每天都有崭新的洞识与发现。只是，除非解决几个世纪的难题，数学的发展鲜少能登上头条新闻，不像其他科学，经常有发现新基本粒子、新星体，或新抗癌疗程等热门议题。

但是对于能品赏数学真谛的人，数学绝不只是一种语言而已，而是通往真理最确定的道路，是整座物理科学大厦所依凭的坚实磐石。这个学科的力量，并不仅止于解释或彰显实在的物理世界，因为对数学家来说，数学就是实在的世界。我们证明的几何形体与空间，其真实性绝不亚于构成所有物质的基本粒子。不过我们认为数学结构比起大自然的粒子更为基本，因为除了厘清粒子行为之外，数学还能解释形形色色的日常生活现象，从脸部轮廓到花朵的对称性等。面对现实世界的熟悉模式与形体，或许最能令几何学家兴奋的，正是其背后抽象原理的力量与美感。

对我而言，研究数学——尤其是我的专长几何学，真的就像探险家去勘探未知之地一样。我仍然清楚记得，当我读研究所一年级，作为初牛之犊的二十岁新手，初接触到爱因斯坦引力论时，所感受到的震撼与悸动。我非常惊讶引力和曲率这两个概念，竟可视为一体的两面，毕竟我在香港的大学时代，早已着迷于曲面的理论。这些形体就这样沁入胸臆深处，我不清楚原因，却无法将它们逐出脑海。听到曲率位于爱因斯坦广义相对论的核心，不禁让我期盼某天，也能以某种方式对宇宙知识做出贡献。

《大宇之形》这本书描述我在数学领域的探索，并特别聚焦于一项协助物理学家建立宇宙模型的发现。没有人能断言这些模型最终是否正确，但是作为这些模型基础的几何理论，却无疑蕴含着我无从抗拒的美感。

我研究几何学与偏微分方程，显然比用非母语的英文写作更在行，因此写这样一本书无疑是一项挑战。数学方程的清晰与优雅，经常难以用口语表述（甚至有人说这不可能），这点颇令人感到挫折，就像没有任何实景照片，却尝试描述珠穆朗玛峰，或尼加拉瀑布的壮阔气势一样。

幸运的是，在这方面我获得了绝佳的臂助。尽管这整个故事是通过我的双眼，以我的口说来陈述，但我的合作者却帮我将抽象与深奥的数学，试着转译成流利的文字。

当我证明了卡拉比猜想（本书的中心主题）后，我将该篇证明的论文献给我的父亲丘镇英先生，他是一位教育家与哲学家，教导我抽象思考的力量。现在我将这本书，献给他与我的母亲梁若琳女士，他们两人深刻影响了我智识上的成长。此外，我特别要感谢我的妻子友云，她的气度与容忍，使我在甚为繁忙纠缠的研究与访问行程中，还有余裕来写这本书。另外也感谢我颇以为傲的两个儿子，丘明诚与丘正熙。

我也要把这本书献给卡拉比（Euggenio Calabi），他是前述猜想的提出者，我们相识将近四十年。卡拉比是一位很有原创性的数学家，我和他通过某些几何空间彼此相系，已逾四分之一世纪，那就是卡拉比—丘流形（Calabi-Yau manifolds），也是本书的主题。Calabi-Yau这个词自从1984年出现之后，使用者极多，我几乎都快觉得卡拉比是我的名字了。而如果这真的是我的名字，或至少在公众的心里如此，我将引以为荣。

我的研究工作，大部分往来于数学与理论物理交汇的领域。我很少孤立完成这些研究，经常大量地受益于与朋友或同僚的互动。在这许多人里，我底下将只提到与我直接合作，或曾予我启发的少数人。

首先，我要感谢我的老师与长辈们，这一长串名单中包括了陈省身、莫瑞（Charles Morrey）、劳森（Blaine Lawson）、辛格（Isadore Singer）、尼伦柏格（Louis Nirenberg），以及卡拉比。我也很感谢1973年时，辛格在一次斯坦福大学的学术会议邀请格罗赫（Robert Geroch）来演讲，这促成我和孙理察（Richard Schoen）在正质量猜想方向的研究工作。我后续与物理相关的数学研究，辛格都经常予我鼓励。

我十分感谢在访问剑桥大学时，和霍金与吉朋士（Gary Gibbons）讨论相对论的谈话。我的量子场论是从这个领域的大师大卫·格罗斯学来的。记得1981年当我还是高等研究院的研究员时，戴森（Freeman Dyson）带了一位新任物理组研究员到我办公室，这位刚到普林斯顿的新人就是威滕，他告诉我他有一个简洁的正质量猜想的证明，这个结果我和孙理察已经用非常不同的方法证明过了。我非常惊讶于威滕的数学能力，而且这绝非唯一的一次。

在这段研究岁月里，我十分享受和一些人的紧密合作，除了前述的孙理察，还有郑绍远、汉米尔顿（Richard Hamilton）、李伟光、密克斯（William Meeks）、赛门（Leon Simon），以及乌兰贝克（Karen Uhlenbeck）。其他以各种方式参与这段旅程的朋友，还包括多纳森（Simon Donaldson）、罗勃·格林恩（Robert Greene）、奥瑟曼（Robert Osserman）、杨宏风（Duong Hong Phong），以及伍鸿熙。

我觉得自己很幸运，过去二十余年能在哈佛大学研究讲学，这是能让数学和物理产生互动的理想环境。在这期间，我从与哈佛数学系同事的交谈中，获得许多数学上的看法，其中包括伯恩斯坦（Joseph Bernstein）、艾尔基斯（Noam Elkies）、盖茨郭利（Dennis Gaitsgory）、迪克·格罗斯（Dick Gross）、哈里斯（Joe Harris）、广中平祐（Heisuke Hironaka）、杰菲（Arthur Jaffe，他也是物理学家）、卡兹当（David Kazdhan）、克农海默（Peter Kronheimer）、梅哲（Barry Mazur）、马克穆蓝（Curtis McMullen）、曼弗德（David Mumford），史密德（Wilfried Schmid）、萧荫堂、史滕伯格（Shlomo Sternberg）、泰特（John Tate）、陶布思（Cliff Taubes）、泰勒（Richard Taylor）、姚鸿泽，以及2005年过世的波特（Raoul Bott）与马凯（George Mackey）。当然，我与麻省理工学院数学系的教授们也有许多值得回忆的交谈。另外在物理方面，我和史聪闵格（Andy Strominger）与瓦法（Cumrun Vafa）则有着数不尽的丰饶对话。

在过去十年，我曾经两度荣任哥伦比亚大学的爱林伯格访问教授，和数学系的教授有许多令人兴奋的讨论，尤其是哥费德（Dorian Goldfeld）、汉米尔顿、杨宏风以及张寿武。我也曾任加州理工学院的费尔柴客座教授与莫尔客座教授，从索恩（Kip S.Thorne）和史瓦兹（John Schwarz）那里学到许多物理知识。

在过去二十余年，我曾获得美国政府的大力补助（通过国科会、能源部以及国防高等计划局）。我大部分的博士后研究人员都是物理博士，这在数学领域中殊属异类。但这样的安排让双方都受益，他们跟我学数学，我则从他们身上学到一些物理知识。我很高兴许多这些有物理背景的博士后，日后成为大学数学系的杰出教授，包括布朗戴斯大学、哥伦比亚大学、西北大学、牛津大学、东京大学等。我的一些博士后在卡拉比—丘流形上有重要贡献，其中许多人协助完成这本书，包括爱梭耳（Mboyo Esole）、布莱恩·格林恩（Brian Greene）、赫罗维兹（Gary Horowitz）、细野忍（Shinobu Hosono）、贺布胥（Tristan Hubsch）、克雷姆（Albrecht Klemm）、连文豪、史巴克斯（James Sparks）、曾立生，山口哲（Satoshiyamaguchi），以及札斯洛（Eric Zaslow）。最后，我之前的一些研究生也在这个领域里有杰出的贡献，包括来自中国大陆的李骏、刘克峰，以及来自中国台湾的王慕道、王金龙、刘秋菊，其中一些成就将在书中叙述。

丘成桐，麻省剑桥，2010年3月

人的运气就是这样，当初如果不是康奈尔大学的物理学家戴自海（Henry Tye，丘成桐的朋友）介绍，我根本不可能知道这个著作计划。他当时给我建议，说我未来的合著者或许能指点我一两个有趣的故事。戴自海说得对，他一向都对。我很感谢他，让我踏上这段意料之外的旅程，并且在沿途许多岔口提供协助。

就像丘成桐经常说的，在数学上选定一条路，根本无法预料最后会通往哪里。其实写书也一样，当我们第一次见面时，就十分同意要合写一本书，然后花了很长一段时间，才确定这本书的主题。就某种意义而言，你也可以说，直到这本书完成了，我们才真正知道这本书的主旨。

对于这项合作的结晶，我想先说明几点，以免造成阅读时的混淆。我的合作者是一位数学家，他的研究和本书的多数故事紧密相关，书中凡是他身为主要参与者的章节，经常采用第一人称行文，其中的“我”指的一定是丘成桐。不过尽管这本书相当程度涉及个人叙事，却不适合归类为丘成桐的自传或传记，因为他并不全认识书中讨论所牵涉的人物，有些人更早在他出生前就已过世。而且有些描述的内容，例如实验物理与宇宙学，也超出他的专业领域，在这样的章节，我采用的多半是第三人称观点，内容的来源大部分是访谈，以及我曾做过的一些资料研究。

本书称得上是一项特殊的产物，结合了我们不同的背景与观点。最好的合作方式，似乎就是说出一个双方都认为值得一谈的故事。而将故事落实成书的工作，相当依赖于我的合作者对数字的非凡掌握，同时希望我的文字能力也能不辱使命。

关于本书是否应该视为一本自传，还有一点要谈。虽然本书的确绕着丘成桐的研究打转，我仍然要提醒读者，本书的主角并不是丘成桐自己，而是他参与发明的几何空间，也就是卡拉比—丘流形。

广泛来说，本书的主旨是如何通过几何学理解宇宙。20世纪以几何学描述引力而获得惊人成功的广义相对论，即是此中典范。弦论则是另一个更具野心、走得更深远的尝试，不但几何学活跃其中，六维的卡拉比—丘流形尤其占有特定的地位。本书试图呈现一些几何与物理的必要概念，以理解卡拉比—丘流形的渊源，以及数学家和物理学家认为这些流形重要的原因。本书将聚焦于这类流形的不同面向：作为定义的特色、导致发现的数学理论、弦论学者迷上它的理由，以及这些形体是否真的掌握了通往我们的宇宙（乃至于其他宇宙）的钥匙。

至少，这就是《大宇之形》这本书想要阐述的，至于是否真的达成这项使命，只能由读者来决定。

但我心中很明白，如果没有许多人提供专业、编辑或者情感上的支持，这本书绝对无法完成。这份名单实在太长了，恐怕不可能全部列出来，不过我会尽量试试。

丘成桐前述名单中的人物，给我提供了许多协助。其中包括卡拉比、多纳森、布莱恩·格林恩、贺布胥、史聪闵格、瓦法、威滕以及最重要的罗勃·格林恩、连文豪、曾立生。后面三位朋友在写作过程中，教导我相关的数学和物理课程，他们精辟的解说与非凡的耐性，让我由衷感激。尤其是罗勃·格林恩，他在百忙中仍然一周数天引领我穿越微分几何的荆棘道路，没有他，我早不知道溺毙几回了。连文豪帮我踏上思考几何分析的起点；在我们改不胜改的书稿定稿的最后时刻，曾立生提供了大量的协助。

物理学家Allan Adams,Chris Beasley,Shamit Kachru,Liam McAllister和Burt Ovrut常常不分昼夜地为我解答问题，引导我度过许多思考瓶颈。其他慷慨拨冗相助的还有Paul Aspinwall,Melanie Becker,Lydia Bieri,Volker Braun,David Cox,Frederik Denef,Robbert Dijkgraaf,Ron Donagi,Mike Douglas,Steve Giddings,Mark Gross,Arthur Hebecker,Petr Horava,Matt Kleban,Igor Klebanov,Albion Lawrence,Andrei Linde,Juan Maldacena,Dave Morrison,Lubos Motl,Hirosi Ooguri,Tony Pantev,Ronen Plesser,Joe Polchinski,Gary Shiu（萧文礼），Aaron Simons,Raman Sundrum,Wati Taylor,BretUnderwood,Deaneyang和Xiyin（尹希）。

以上所举还只是一小部分，除此之外，协助我的还有Eric Adelberger,Saleem Ali,Bruce Allen,Nima Arkani-Hamed,Michael Atiyah,John Baez,Thomas Banchoff,Katrin Becker,George Bergman,Vincent Bouchard,Philip Candelas,John Coates,Andrea Cross,Lance Dixon,David Durlach,Dirk Ferus,Felix Finster,Dan Freed,Ben Freivogel,Andrew Frey,Andreas Gathmann,Doron Gepner,Robert Geroch,Susan Gilbert,Cameron Gordon,Michael Green,Paul Green,Arthur Greenspoon,Marcus Grisaru,Dick Gross,Monica Guica,Sergei Gukov,Alan Guth,Robert S.Harris,Matt Headrick,Jonathan Heckman,Dan Hooper,Gary Horowitz,Stanislaw Janeczko,Lizhen Ji（季理真），Sheldon Katz,Steve Kleiman,Max Kreuzer,Peter Kronheimer,Mary Levin,Avi Loeb,Feng Luo（罗锋），Erwin Lutwak,Joe Lykken,Barry Mazur,William McCallum,John McGreevy,Stephen Miller,Cliff Moore,Steve Nahn,Gail Oskin,Rahul Pandharipande,Joaquín Pérez,Roger Penrose,Miles Reid,Nicolai Reshetikhin,Kirill Saraikin,Karen Schaffner,Michael Schulz,John Schwarz,Ashoke Sen,Kris Snibbe,Paul Shellard,Eva Silverstein,Joel Smoller,Steve Strogatz,Leonard Susskind,yan Soibelman,Erik Swanson,Max Tegmark,Ravi Vakil,Fernando Rodriguez Villegas,Dwight Vincent,Dan Waldram,Devin Walker、Brian Wecht,Toby Wiseman,Jeff Wu（吴建福），Chen NingYang（杨振宁），Donald Zeyl等人。

本书中的许多概念是很难描绘的，我们很幸运能在绘图方面得到石溪大学计算机科学系Xiaotian（Tim）Yin和Xianfeng（David）Gu卓越的电脑帮助，而他们又得到Huayong Li和Wei Zeng的协助。绘图方面大力帮忙的还有Andrew Hanson（卡拉比—丘流形最重要的视觉呈现者），John Oprea和Richard Palais等人。

我要感谢我的亲友，包括Will Blanchard,John De Lancey,Ross Eatman,Evan Hadingham,Harris McCarter和John Tibbetts，他们或者读过本书的撰述计划、章节草稿，或者在写作过程中提供建议和鼓励。

此外，丘成桐和我还要感谢Maureen Armstrong,Lily Chan,Hao Xu和Gena Bursan等人宝贵的行政支援。

有几本书提供了很有价值的参考，其中包括布莱恩·格林恩的《宇宙的琴弦》（ The Elegant Universe ）、曼罗迪诺（Leonard Mlodinow）的《欧几里得之窗》（ Euclid’s Window ）、奥瑟曼的《宇宙的诗篇》（ Poetry of the Universe ）以及萨斯金的《宇宙的景观》（ The Cosmic Landscape ）。

而若不是有Brockman,Inc.文学经纪公司的John Brockman,Katinka Matson.Michael Healey,Max Brockman和Russell Weinberger等人的大力协助，《大宇之形》根本不可能成书。Basic Books的T.J.Kelleher对我们书稿一直保持信心，还有他与同事Whitney Casser努力让书能够成形付梓。Basic Books的专案编辑Kay Mariea指挥了从草稿到出版的各个阶段，还有Patricia Boyd精湛的文字编辑造诣，使我明白“the same”和“exactly the same”原来是完全同义的词语。

最后，我特别要感谢我家人的支持——Melissa,Juliet和Pauline，以及我的双亲Lorraine和Marty，我的兄弟Fred和姊妹Sue。他们犹如六维卡拉比—丘流形，是世上最迷人之物，但却不自知这些流形其实超出尘世之外。

纳迪斯，麻省剑桥，2010年3月 STLfv5QCP1W6AnvnS48KSAmzUXKL7eY7AIieYVRvd46iwB21Nxi1Uumfx0LiGWbJ