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概率分布用来描述随机变量（含随机向量）在每一个可能状态的可能性大小。概率分布有不同方式，这取决于随机变量是离散的还是连续的。
对于随机变量X，其概率分布通常记为P（X=x），或X～P（x），表示X服从概率分布P（x）。概率分布描述了取单点值的可能性或概率，但在实际应用中，我们并不关心取某一值的概率，特别是对连续型随机变量，它在某点的概率都是0，这个后续章节将介绍。因此，我们通常比较关心随机变量落在某一区间的概率，为此，引入分布函数的概念。
定义：设X是一个随机变量，xk是任意实数值，函数：
称为随机变量X的分布函数。
由（4.1）式不难发现，对任意的实数x 1 、x 2 （x 1 ＜x 2 ），有：
成立。式（4.2）表明，若随机变量X的分布函数已知，那么可以求出X落在任意一区间[x 1 ，x 2 ]的概率。
设x 1 ，x 2 ，…，x n 是随机变量X的所有可能取值，对每个取值x i ，X=x i 是其样本空间S上的一个事件，为描述随机变量X，还需知道这些事件发生的可能性（概率）。
设离散型随机变量X的所有可能取值为x i （i=1，2，…，n）：
称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。
我们常用表格的形式来表示X的概率分布：
由概率的定义可知，Pi（i=1，2，...）必然满足：
1）P i ≥0 i=1，2，...，n
2）
例1 ：某篮球运动员投中篮圈的概率是0.8，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布。
解：X可取0，1，2为值，记A i ={第i次投中篮圈}，i=1，2，则P（A 1 ）=P（A 2 ）=0.8
由此不难得到下列各情况的概率：
投了两次两次都投中，即：P（X=2）=P（A 1 A 2 ）=P（A 1 ）P（A 2 ）=0.8×0.8=0.64
且P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=0.04+0.32+0.64=1
于是随机变量X的概率分布可表示为：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布：
则由概率的可列可加性，可得随机变量X的分布函数为：
例如，设X的概率分布由例1给出，则
常见的离散随机变量的分布有：
若随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为P（X=1）=p，P（X=0）=l-P，其中（0<P<1），则称X服从参数为p的两点分布，记作X～B（1，p）。其分布函数为：
二项分布是重要的离散概率分布之一，由瑞士数学家雅各布·伯努利（Jokab Bernoulli）提出。一般用二项分布来计算概率的前提是，每次抽出样品后再放回去，并且只能有两种试验结果，比如黑球或红球，正品或次品等。二项分布指出，假设某样品在随机一次试验出现的概率为p，那么在n次试验中出现k次的概率为：
假设随机变量X满足二项分布，且知道n、p、k等参数，我们如何求出各种情况的概率值呢？方法比较多，这里介绍一种比较简单的方法，利用scipy库的统计接口stats即可，具体如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
from scipy import stats
%matplotlib inline
n = 20
p = 0.3
k = np.arange(0,41)
#定义二项分布
binomial = stats.binom.pmf(k,n,p)
#二项分布可视化
plt.plot(k, binomial, 'o-')
plt.title('binomial:n=%i,p=%.2f'%(n,p),fontsize=15)
plt.xlabel('number of success')
plt.ylabel('probalility of success', fontsize=15)
plt.grid(True)
plt.show()
运行后的二项分布图如图4-1所示。
图4-1 二项分布图
若随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，它取各个值的概率为：
这里介绍了离散型随机变量的分布情况，如果X是连续型随机变量，其分布函数通常通过密度函数来描述，具体请看下一节。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量采用概率密度函数来描述变量的概率分布。如果一个函数f（x）是密度函数，满足以下三个性质，我们就称f（x）为概率密度函数。
1）f（x）≥0，注意这里不要求f（x）≤1。
2）
。
3）对于任意实数x 1 和x 2 ，且x 1 ≤x 2 ，有：
第2个性质表明，概率密度函数f（x）与x轴形成的区域的面积等于1，第3个性质表明，连续随机变量在区间[x 1 ，x 2 ]的概率等于密度函数在区间[x 1 ，x 2 ]上的积分，也即与X轴在[[x 1 ，x 2 ]内形成的区域的面积，如图4-2所示。
图4-2 概率密度函数
连续型随机变量在任意一点的概率处处为0。
假设有任意小的实数Δx，由于{X=x}⊂{x-Δx＜X≤x}，由式（4.1）分布函数的定义可得：
令Δx→0，由夹逼准则，式（4.5）可求得：
式（4.6）表明，对于连续型随机变量，它在任意一点的取值的概率都为0。因此，在连续型随机变量中，当讨论区间的概率定义时，一般对开区间和闭区间不加区分，即：P（x 1 ≤X≤x 2 ）=P（x 1 ＜X≤x 2 ）=P（x 1 ≤X＜x 2 ）=P（x 1 ＜X＜x 2 ）成立。
最常见的正态分布的密度函数为：
这个连续分布被称为正态分布，或者高斯分布。其密度函数的曲线呈对称钟形，因此又称为钟形曲线，其中μ是平均值，σ是标准差（何为平均值、标准差后续我们会介绍）。正态分布是一种理想分布。
正态分布如何用Python实现呢？同样，我们可以借助其scipy库中stats来实现，非常方便。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline
#平均值或期望值
mu=0
#标准差
sigma1=1
sigma2=2
#随机变量的取值
x=np.arange(-6,6,0.1)
y1=stats.norm.pdf(x,0,1) #定义正态分布的密度函数
y2=stats.norm.pdf(x,0,2) #定义正态分布的密度函数
plt.plot(x,y1,label='sigma is 1')
plt.plot(x,y2,label='sigma is 2')
plt.title('normal $\mu$=%.1f,$\sigma$=%.1f or %.1f '%(mu,sigma1,sigma2))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('probability density')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()
sigmal系统与正态分布如图4-3所示。
图4-3 sigmal系统与正态分布
正态分布的取值范围是负无穷到正无穷。这里我们为便于可视化，只把X数据定义在[-6，6]之间，用stats.norm.pdf得到正态分布的概率密度函数。另外从图形可以看出，上面两图的均值u都是0，只是标准差（σ）不同，这就导致图像的离散程度不同，标准差大的更分散，个中原因，我们将在介绍随机变量的数字特征时进一步说明。