上节我们介绍了方阵的一种分解方式，如果矩阵不是方阵，是否能分解？如果能，该如何分解？这节我们介绍一种一般矩阵的分解方法，称为奇异值分解，这种方法应用非常广泛，如降维、推荐系统、数据压缩等。

矩阵非常重要，所以其分解方法也非常重要，方法也比较多，除了特征分解法，还有一种奇异值分解法（SVD）。它将矩阵分解为奇异向量和奇异值。通过奇异分解，我们会得到一些类似于特征分解的信息。然而，奇异分解有更广泛的应用。

每个实数矩阵都有一个奇异值分解，但不一定都有特征分解。例如，非方阵的矩阵就没有特征分解，这时我们只能使用奇异值分解。

奇异分解与特征分解类似，只不过这回我们将矩阵A分解成三个矩阵的乘积：

假设A是一个m×n矩阵，那么U是一个m×m矩阵，D是一个m×n矩阵，V是一个n×n矩阵。这些矩阵每一个都拥有特殊的结构，其中U和V都是正交矩阵，D是对角矩阵（注意，D不一定是方阵）。对角矩阵D对角线上的元素被称为矩阵A的奇异值。矩阵U的列向量被称为左奇异向量，矩阵V的列向量被称右奇异向量。

SVD最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。奇异值分解，看起来很复杂，如果用Python来实现，却非常简单，具体请看如下示例：

---

import numpy as np

Data=np.mat([[1,1,1,0,0],  
             [2,2,2,0,0],  
             [3,3,3,0,0],  
             [5,5,3,2,2],  
             [0,0,0,3,3],  
             [0,0,0,6,6]])
u,sigma,vt=np.linalg.svd(Data)
#print(u)
print(sigma)
#转换为对角矩阵
diagv=np.mat([[sigma[0],0,0],[0,sigma[1],0],[0,0,sigma[2]]])  
print(diagv)
#print(vt)

---

打印结果： 8450gMvDvA5U70YcbpcHT4epqtg6kORNb70MYQ9VvvlJvmS9Tlv2zJcSngBT9Plx

---

[  1.09824632e+01   8.79229347e+00   1.03974857e+00   1.18321522e-15
   2.13044868e-32]
[[ 10.98246322   0.           0.        ]
 [  0.           8.79229347   0.        ]
 [  0.           0.           1.03974857]]

---