黄金分割与五角星的故事

黄金分割和黄金矩形

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。这个比值约为0.618，被公认为最美的比例，叫作黄金分割比或黄金分割率。

如果用线段表示，就是把一条线段 AB 分割为两部分，

使较长部分 AC 与全长 AB 的比值等于较短部分 CB 与较长部分 AC 的比值，即

设 AC = a ， CB = b ，则得 a ² = b ( a + b )。经过移项配方，可得

开方再合并同类项，得到 b 与 a 的比值为

当线段长度 a 和 b 满足上述比例关系时， C 点就被称为“黄金分割点”。

除了黄金分割，还有黄金矩形，即短边与长边之比为0.618的矩形。黄金分割和黄金矩形都能给人以美感，令人愉悦。我们在很多艺术品和大自然中都能找到它，希腊雅典的帕特农神庙就是一个很好的例子，达·芬奇画中人物的脸部构图也符合黄金矩形。

任给一条线段，如何作延长线，使延长线与该线段的比为黄金分割比？古希腊人的方法是先作出一个黄金矩形，黄金分割比自然而然就有了。如下图所示，先作一个边长为1的正方形 ABCD ，连接上下两条边的中点 E 与 F ，把正方形均分为左右两部分。

以 F 点为圆心、 FC 为半径画圆弧，交 AD 的延长线于 G 点。过 G 点作垂线，交 BC 的延长线于 H 点，则四边形 ABHG 就是一个黄金矩形。这是因为，由毕达哥拉斯定理（勾股定理）可知， 。所以矩形 ABHG 的宽与长的比为

对线段 AG 而言， D 点就是黄金分割点。

五角星与正五边形

五角星是5条等长的线段构成的星形图案。如下图所示，它的每个尖角都是36度。

五角星可能最早出现在两河流域的美索不达米亚。在苏美尔人发明的象形文字中，五角星表示墙角、隐蔽处、小房间、空洞、陷阱等意思。而在古巴比伦文明中，它又有了占星术的意味，代表5个星球：木星、水星、火星、土星和金星。

一直以来，五角星都与人类对金星的崇拜有密切关系。在造成这一关系的各种可能的原因里，最可信的是古代天文学家的观察。在地球上遥望天空，金星的绕日轨道每8年重复一次，它自成的5个交叉点恰好构成一个近乎完美的五角星。

在太阳系的八大行星里，地球离太阳是第三近的，金星离太阳是第二近的。金星绕太阳的公转周期约为224.70地球日，这个数字与地球的公转周期365.26天的比值接近于黄金分割率。事实上，地球每绕太阳运行8圈，差不多相当于金星绕太阳运行13圈，8和13是两个相邻的斐波那契数（斐波那契数列的第6项和第7项）。

由五角星可以得到正五边形，只要把5个顶点连接起来或把5个伸展出来的三角形去掉就可以了。反之，有了正五边形之后，分别延长5条边，原本不相接的两边相交之后，连同原先的正五边形，就构成了一个大的五角星。有意思的是，美丽的牵牛花外形是正五边形，而花蕊恰好是五角星。

可以证明，五角星（或正五边形）中也存在着黄金分割率，而且错综复杂。举例来说，任取五角星所包含的那个正五边形的一个顶点，它与五角星最近的尖点的距离，与它到这两点连线延长线上的另一五角星尖点的距离的比值，恰好是黄金分割率，即0.618…。

五角星是毕达哥拉斯学派的徽章，据说门徒们身上都佩戴着这样的徽章。由此可见，毕达哥拉斯（Pythagoras）和他的门徒们已经知道黄金分割率了。事实上，毕达哥拉斯生活的年代要比帕特农神庙的兴建时间早，这就合乎情理了。

传说公元前6世纪的一天，毕达哥拉斯走过一个铁匠铺时，觉得铁匠打铁的声音很好听，便驻足倾听。毕达哥拉斯发现打铁声音的高低与铁锤的重量有关，于是，他比较了不同重量的铁锤发出的不同音高之间的比例关系，从而测量出各种音调的数学关系，这可能就是他后来探究黄金分割率的开始。

在发现了音乐中的数字比例之后，毕达哥拉斯进一步提出了“万物皆数”的观点，这是他“宇宙和谐论”的主要论点，后来被柏拉图所继承。以倡导宇宙起源于“大爆炸”的理论而闻名的俄裔美国物理学家乔治·伽莫夫（G. Gamow）曾经赞叹：“发现音乐与数字比例之间的秘密，这大概是物理学定律的第一次数学公式表达。”

因为黄金分割率是无理数，不能表示成两个正整数的比值，因此要精确地画出五角星，徒手或只用直尺是不可能做到的。在一些非正式的图形中，不精确的五角星反而给人轻松的感觉，但用在国旗、国徽中或其他正式场合，五角星则必须是精确的，这就需要借助工具——圆规和直尺（可以没有刻度）来作图了。这种方法被称为尺规作图法，又叫欧几里得作图法。

五角星有不同的作图法，下面这种方法比较简洁，但要完全理解还需动些脑筋，读者不妨先行跳过。

1. 在白纸上画一个任意半径的圆 O ，在其中画两条互相垂直的直径 AB 和 CD 。取 OB 的中点 E ，连接 CE ，如下页图a。

2. 以 E 为圆心， CE 的长为半径画圆弧交 OA 于点 F 。以 C 为圆心， CF 的长为半径画圆弧交圆 O 于点 G ，再以点 G 为圆心， CF 的长为半径画圆弧交圆 O 于点 H ，以此类推，得到点 M 、 N ，这样， C 、 G 、 H 、 M 、 N 五个点即为圆 O 的五等分点，如下页图b。

3. 连接 CH 、 CM 、 GM 、 GN 和 HN ，即得到五角星，如下页图c。

1796年，不满19岁的德国青年高斯（C. F. Gauss）证明上述作图法可以推广，并发现了它与著名的费尔马素数之间的秘密关系。

所谓费尔马素数是形如

的素数。已知 F ₀ = 3， F ₁ = 5， F ₂ = 17， F ₃ = 257， F ₄ = 65537均为素数，1642年，法国数学家费尔马（Fermat）曾猜测对所有的非负整数 n ， F _n 均为素数。但在1732年，客居俄罗斯的瑞士数学家欧拉（L. Euler）发现，641是 F ₅ 的真因子，因此 F ₅ 是合数。到目前为止，还没有人发现一个大于5的整数 n ，使得 F _n 是素数。可是，也没有人能够证明费尔马素数仅有5个。

高斯给出了正十七边形的欧几里得作图法，解决了2 000多年前古希腊人留下的数学难题。从那以后，他便下决心献身数学，后来成为同行赞誉的“数学王子”。只不过，正十七边形不再与黄金分割率有关，而是与 这个数有关。

从柏拉图到开普勒

帕特农神庙建于公元前477年至前432年，它坐落在希腊首都雅典卫城的最高点上，是为了庆祝雅典战胜波斯而建。帕特农是雅典保护神雅典娜的别号，意为“处女”。这座神庙历经2 500多年的沧桑巨变，如今庙顶坍塌，雕像荡然无存，浮雕剥蚀严重，但从仍巍然屹立的柱廊不难想象神庙当年的雄伟，可以说它代表了古希腊建筑和雕刻艺术的最高水准。

从外表看，帕特农神庙气势非凡，光彩照人。它在继承传统的基础上又有许多创新。神庙的南北长、东西短，东西两面各宽31米，顶部距离地面19米。也就是说，其立面的高与宽比例为19∶31，接近古希腊人喜爱的“黄金分割率”。庙内原有一尊黄金和象牙镶嵌的雅典娜女神像，由著名雕塑家菲迪亚斯（Phidias）创作，女神身材的比例（肚脐高与身高之比）也符合黄金分割率。

在帕特农神庙建成的一个世纪以后，哲学家柏拉图在他的著作《蒂迈欧篇》里提到了5种仅有的正多面体，即正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体，世人称之为“柏拉图多面体”。但也有人认为它们并非柏拉图本人的发现。

公元前3世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》里第一次给出了黄金分割率的严格定义，他称之为“中外比”。此书共13卷，这个定义出现在第6卷，并随着1607年利玛窦和徐光启合作的《几何原本》前6卷简译本而被引入中国。在第8卷，欧几里得在讲述正十二面体和正二十面体的构成时，反复利用了“中外比”及其相关性质。

之后，中世纪欧洲最著名的数学家、意大利人斐波那契在他的《算经》里提出了“兔子问题”，引出了斐波那契数列。如前文所说，这个数列的前两项均为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和，即 F _n = F _n–2 + F _n–1 。

更为有趣的是，斐波那契数列前一项与后一项比值的极限趋近于黄金分割率。即

不过，这一事实直到4个世纪以后的1611年，才被德国天文学家、数学家开普勒（J. Kepler）发现。他还从柏拉图多面体中获得启示，相信天体的运行轨道应是几何图形，由此提出了行星运动的三大定律。至于这个极限的证明，则要等到19世纪，由法国数学家比内（J. P. M.Binet）给出，利用以他自己的名字命名的公式。

1909年，美国数学家马克·巴尔（M. Barr）建议，用希腊大写字母Ф来表示黄金分割率，并沿用至今。除此以外，人们还用它对应的小写字母 ϕ 或 φ 来表示黄金分割率的倒数1.618…。

除了古典艺术以外，黄金分割率在20世纪的艺术领域里也有应用。1912年巴黎举办过黄金分割画派的展览，参展的有后来移居美国的法国画家马塞尔·杜尚（M. Duchamp）。在西班牙画家萨尔瓦多·达利（S. Dali）和瑞士建筑师勒·柯布西埃（Le Corbusier）的作品里，也都有黄金矩形这一元素。1953年，美国统计学家杰克·基弗（J.Kiefer）提出了优选学中的黄金分割法，20世纪70年代中国数学家华罗庚对其进行了推广。 TISQs5iu9coLblVcIZ0ME3HTewKg4Y7eSPoi49H+eF+bvoR4VI7zhH9vvLDoJuyE